Wiederholung Finite Elemente

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skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -14,6 +14,7 @@
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 \usepackage{caption}
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 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{tikz}
 
@@ -51,6 +52,7 @@
 \renewcommand{\div}{\operatorname{div}}
 \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
 \DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
+\newcommand{\Gammatight}[1]{{\Gamma\hspace{-0.8mm}_{#1}}}  % A \Gamma with a subscript, and extra kerning
 
 % Bold letters
 \newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
@@ -121,6 +123,278 @@ To view a copy of this license, visit \url{http://creativecommons.org/licenses/b
 \thispagestyle{empty}
 \setcounter{page}{0}
 
+\chapter{Finite Elemente Methoden}
+
+In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Methode der Finiten Elemente.
+Damit legen wir die Grundlagen, und motivieren die weiteren Auführungen.
+
+\section{Schwache Formulierung}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+  \begin{overpic}[width=0.3\textwidth]{gfx/gebiet}
+   \put(50,82){$\Gamma_D$}
+   \put(25,2){$\Gamma_N$}
+   \put(30,40){$\Omega$}
+  \end{overpic}
+ \end{center}
+\caption{Einfaches Gebiet $\Omega$ mit Dirichletrand $\Gamma_D$ und Neumannrand
+$\Gamma_N$.}
+\label{fig:gebiet}
+\end{figure}
+
+Sei $\Omega \subset \R^d$ ein Gebiet und $f : \Omega \to \R$.
+Der Rand $\partial \Omega$ von $\Omega$ sei zerlegt in zwei disjunkte Teile $\Gammatight{D}$ und $\Gammatight{N}$,
+und wir bezeichnen die äußere Einheitsnormale mit $\nu$.
+Wir betrachten als Beispiel die {\em Poisson-Gleichung}
+\begin{equation}
+\label{eq:starke_formulierung}
+ - \Delta u \colonequals - \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f
+\qquad \text{auf $\Omega$},
+\end{equation}
+mit den Randbedingungen
+\begin{align}
+\nonumber
+ u & = 0 \qquad \text{auf $\Gammatight{D}$}, \\
+ \label{eq:neumann_randbedingungen}
+\frac{\partial u}{\partial \nu} & = g \qquad \text{auf $\Gammatight{N}$}.
+\end{align}
+Wir bezeichnen mit $H^1(\Omega)$ den Raum aller skalarer $L^2$-Funktionen auf
+$\Omega$ mit schwacher Ableitung in $L^2(\Omega)$.
+Als Raum von Testfunktionen führen wir
+\begin{equation*}
+ H^1_{\Gammatight{D}} (\Omega)
+=
+\{ v \in H^1(\Omega) \; | \; v|_{\Gammatight{D}} = 0 \}
+\end{equation*}
+ein, wobei $v|_{\Gammatight{D}}$ im Sinne des Spursatzes zu verstehen ist.
+Zur Abkürzung setzen wir $H \colonequals H^1_{\Gammatight{D}} (\Omega)$.
+
+Multiplikation von \eqref{eq:starke_formulierung} mit einer Testfunktion
+$v \in H^1_{\Gammatight{D}} (\Omega)$ und Integration über $\Omega$ ergibt
+\begin{equation*}
+ - \int_\Omega \Delta u \cdot v \, dx = \int_\Omega f v \, dx.
+\end{equation*}
+Wir wenden darauf die Greensche Formel an, und erhalten
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega \nabla u \nabla v \, dx
+=
+\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial \nu} v \, ds
++
+\int_\Omega f v \, dx.
+\end{equation*}
+Nach Voraussetzung besteht $\partial \Omega$ aus den zwei Teilen $\Gammatight{D}$ und $\Gammatight{N}$.
+Die Testfunktion $v$ wurde so konstruiert, dass $v|_{\Gammatight{D}} = 0$.  Mithin bleibt
+nur ein Integral über $\Gammatight{N}$ übrig.  Dort können wir die Neumannrandbedingungen~\eqref{eq:neumann_randbedingungen}
+einsetzen und erhalten
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega \nabla u \nabla v \, dx
+=
+\int_{\Gamma_N} g v \, ds
++
+\int_\Omega f v \, dx.
+\end{equation*}
+Wir schreiben dies als
+\begin{equation}
+\label{eq:schwache_formulierung}
+ a(u,v) = l(v)
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation*}
+ a(v,w) = \int_\Omega \nabla v \nabla w \, dx
+\quad \text{und} \quad
+ l(v) = \int_{\Gamma_N} g v \, ds
++
+\int_\Omega f v \, dx.
+\end{equation*}
+Man nennt \eqref{eq:schwache_formulierung} die {\em schwache Formulierung}
+(oder {\em Variationsformulierung})
+von \eqref{eq:starke_formulierung}.
+
+$a(\cdot, \cdot)$ ist eine symmetrische Bilinearform.  Hat $\Gammatight{D}$
+positives $d-1$-dimensionales Maß, so ist $a(\cdot,\cdot)$
+$H^1_{\Gamma_D}$-elliptisch (siehe z.B.\ \cite{braess:2013}), d.h.\ es existieren $\gamma, \Gamma > 0$
+so daß
+\begin{equation*}
+ \gamma \norm{v}^2_H \le a(v,v)
+\qquad
+\abs{a(v,w)} \le \Gamma \norm{v}_H \norm{w}_H
+\qquad
+\text{für alle $v,w \in H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$}.
+\end{equation*}
+
+
+\begin{theorem}[Lax-Milgram-Lemma \cite{braess:2013}]
+Sei $a(\cdot,\cdot)$ $H$-elliptisch (nicht notwendig symmetrisch!).
+Dann hat die Variationsgleichung
+\begin{equation*}
+ u \in H
+\quad : \quad
+a(u,v) = l(v)
+\qquad v \in H
+\end{equation*}
+for jedes $l \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
+\end{theorem}
+
+
+
+
+\section{Diskretisierung (Galerkin-Verfahren)}
+
+Sei $V_h$ ein endlichdimensionaler Teilraum von $H^1_{\Gammatight{D}}$ (mit Dimension $n$).
+Der Index $h$
+bezeichne einen Ordnungsparameter.  Die {\em diskrete Variationsformulierung}
+lautet
+\begin{equation}
+\label{eq:diskrete_formulierung}
+ u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h,v_h) = l(v_h)
+\qquad \text{für alle $v_h \in V_h$}.
+\end{equation}
+Anwendung des Lax--Milgram-Lemmas ergibt wieder Existenz und Eindeutigkeit
+von Lösungen.
+
+Sei $\{\varphi_i\}, 0 \le i < n$, eine Basis von $V_h$. Dann ist
+\eqref{eq:diskrete_formulierung} äquivalent zu
+\begin{equation*}
+%\label{eq:diskrete_formulierung}
+ u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h, \varphi_i) = l(\varphi_i)
+\qquad \text{für alle $0 \le i < n$}.
+\end{equation*}
+Dies wiederum entspricht dem linearen Gleichungssystem
+\begin{equation*}
+ A\bar{u} = b,
+\end{equation*}
+wobei
+\begin{alignat*}{2}
+A &\in \R^{n \times n},
+\qquad &A_{ij} & = a(\varphi_i, \varphi_j)
+=
+\int_\Omega \nabla \varphi_i \nabla \varphi_j \, dx \\
+%
+b &\in \R^n,
+\qquad &
+b_i & = l(\varphi_i)
+=
+\int_{\Gamma_N} g \varphi_i \, ds
++
+\int_\Omega f \varphi_i \, dx
+\end{alignat*}
+und $\bar{u} \in \R^n$ die Koeffizienten von $u_h$ bzgl.\ der Basis $\{\varphi_i\}$ sind.
+
+Die Matrix $A$ nennt man {\em Steifigkeitsmatrix}.  Dieser Ausdruck kommt aus den
+Anfangstagen der Finiten Elemente in der Ingenieurswelt, wo insbesondere mechanische
+Probleme gelöst wurden.  Die Matrix $A$ beschreibt dabei die Steifigkeit des simulierten
+Objekts, und der Vektor $b$ beschreibt die von außen wirkenden Kräfte.  Den Vektor $b$
+nennt man deshalb manchmal auch {\em Lastvektor}.
+
+\emph{Beachte:} Ohne weitere Annahmen ist an dieser Stelle davon auszugehen, dass $A$
+voll besetzt ist.  Das bedeutet, dass fast jeder Eintrag von $A$ von Null verschieden ist,
+wobei der Ausdruck \glqq fast jeder\grqq{} hier nicht mathematisch streng gemeint ist.
+
+\section{Finite Elemente}
+\label{sec:finite_elemente}
+
+Finite Elemente sind eine bestimmte Möglichkeit, den Teilraum
+$V_h$ zu wählen.
+
+Sei $\Omega$ von jetzt ab {\em polygonal berandet}.  Wir füllen
+$\Omega$ mit einer Triangulierung / einem {\em Gitter}.  Ein Beispielgitter für
+ein zweidimensionales Gebiet sieht man in Abbildung~\ref{fig:2d-Beispielgitter}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.5\textwidth]{dreiecksgitter}
+\end{center}
+\caption{Ein einfaches zweidimensionales Gitter}
+\label{fig:2d-Beispielgitter}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+\label{def:triangulierung}
+ Es sei $\Omega \subset \R^2$ polygonal berandet, und $\Gammatight{D}$ auf dem
+Rand aufgelöst.  Eine Menge $\mathcal{T}$
+von abgeschlossenen Dreiecken $t$ heißt {\em Triangulierung} von $\Omega$, falls gilt
+\begin{enumerate}
+ \item Die Menge der Dreiecke überdeckt den Abschluss des Gebiets
+\begin{equation*}
+ \overline{\Omega} = \bigcup_{t \in \mathcal{T}} t.
+\end{equation*}
+%
+\item Der Schnitt zweier Dreiecke aus $\mathcal T$ ist entweder eine
+gemeinsame Kante, ein gemeinsamer Eckpunkt, oder leer.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+Der Diskretisierungsparameter
+\begin{equation*}
+ h = \max_{t \in \mathcal{T}} \operatorname{diam} t,
+\end{equation*}
+der als Index in $V_h$ auftaucht, beschreibt traditionell die Feinheit des Gitters.
+Oft nennt man $h$ auch {\em Gitterweite}.
+
+\begin{definition}
+Der Raum
+\begin{equation*}
+ V_h^{(1)}
+\colonequals
+\{ v \in C(\overline{\Omega})
+\; | \;
+\text{$v$ ist affin auf $t$ für alle $t \in \mathcal{T}$, und $v|_{\Gamma_D} = 0$} \}
+\end{equation*}
+heißt Raum der Lagrange-Elemente erster Ordnung
+bezüglich der Triangulierung $\mathcal{T}$.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.4\textwidth]{generalP1function}
+\includegraphics[width=0.4\textwidth]{nodalP1basis}
+\end{center}
+\caption{Links: eine Finite-Elemente Funktion.  Rechts: ein Element der Knotenbasis}
+\label{fig:beispiel-fe-funktion}
+\end{figure}
+
+Als Basis von $V_h^{(1)}$ wählt man gewöhnlich die {\em Knotenbasis}.  Sei $\mathcal V$
+die Menge der Knoten des Gitters.  Dann ist die Knotenbasis die Menge
+der Funktionen $\varphi_i \in V_h^{(1)}$ mit
+\begin{equation*}
+ \varphi_i (v_j) = \delta_{ij}
+\qquad
+\text{für alle $v_j \in \mathcal{V}$}.
+\end{equation*}
+Es ist also insbesondere $\dim V_h^{(1)} = \abs{\mathcal V \setminus \mathcal{V}_{\Gamma_D}}$
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-fe-funktion}).
+
+{\em Wichtig:} Da die Basisfunktionen $\varphi_i$ einen `lokalen'
+Träger haben, so sind die meisten Matrixeinträge
+\begin{equation*}
+ A_{ij} = a(\varphi_i, \varphi_j)
+=
+\int_\Omega \nabla \varphi_i \nabla \varphi_j \, dx
+\end{equation*}
+gleich Null!  Die Matrix $A$ ist also {\em dünnbesetzt}.
+Das ist eine wichtige Eigenschaft, denn müsste man alle Einträge von $A$ in Betracht ziehen,
+so wären das \glqq zu viele\grqq{} (nämlich quadratisch viele).
+Nur bei einer dünnbesetzten Matrix bleibt der Aufwand handhabbar.
+Denn $n$ kann sehr groß werden; aktuell sind Werte im Bereich weniger Millionen auf einem
+einzelnen Rechner realistisch.  Auf einem großen Parallelrechner können es durchaus einige
+Milliarden werden.
+
+\begin{theorem}
+ Es sei $h$ klein genug, $u \in H^1_0(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$,
+$\Omega \in \R^2$.  Dann gilt die a priori Abschätzung
+\begin{equation*}
+ \norm{u - u_h}_1 \le C h \abs{u}_{2}
+\end{equation*}
+mit einer Konstanten $C$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+ \citet{braess:2013}
+\end{proof}
+
+
+
+
 \chapter{Mehrgitterverfahren}
 
 \section{Finite-Elemente-Verfahren für elliptische Gleichungen}