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Jaap, Patrick
skript-mehrgitter
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46faca62
Commit
46faca62
authored
Apr 14, 2021
by
Sander, Oliver
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Tippfehler korrigiert
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c7934f55
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skript-mehrgitter-sander.tex
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46faca62
...
...
@@ -812,15 +812,20 @@ Betrachte noch einmal die Jacobi-Rechenvorschrift:
\begin{equation*}
x
_
i
^{
k+1
}
=
\frac
{
1
}{
a
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-
a
_{
i1
}
x
_
1
^{
k
}
-
a
_{
i2
}
x
_
2
^{
k
}
-
\ldots
-
a
_{
i,i-1
}
x
_{
i-1
}^
k -
a
_{
i,i+1
}
x
_{
i+1
}^
k -
\ldots
-
a
_{
in
}
x
_
n
^
k
\right
).
\frac
{
1
}{
A
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-
A
_{
i1
}
x
_
1
^{
k
}
-
A
_{
i2
}
x
_
2
^{
k
}
-
\ldots
-
A
_{
i,i-1
}
x
_{
i-1
}^
k -
A
_{
i,i+1
}
x
_{
i+1
}^
k -
\ldots
-
A
_{
in
}
x
_
n
^
k
\right
).
\end{equation*}
Eigentlich haben wir für
$
x
_
1
,
\ldots
,x
_{
i
-
1
}$
schon bessere Werte als
$
x
_
1
^
k,
\ldots
,x
_{
i
-
1
}^
k
$
, nämlich
$
x
_
1
^{
k
+
1
}
,
\ldots
,x
_{
i
-
1
}^{
k
+
1
}$
.
\medskip
Gauß-Seidel-Verfahren:
\begin{align*}
x
_
i
^{
k+1
}
&
=
\frac
{
1
}{
a
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-a
_{
i1
}
x
_
1
^{
k+1
}
-
\ldots
-a
_{
i,i-1
}
x
_{
i-1
}^{
k+1
}
-a
_{
i,i+1
}
x
_{
i+1
}^
k-
\ldots
-a
_{
in
}
x
_
n
^
k
\right
)
\\
&
=
\frac
{
1
}{
a
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-
\sum
_{
j=1
}^{
i-1
}
a
_{
ij
}
x
_
j
^{
k+1
}
-
\sum
_{
j=i+1
}^
n a
_{
ij
}
x
_
j
^
k
\right
).
x
_
i
^{
k+1
}
&
=
\frac
{
1
}{
A
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-A
_{
i1
}
x
_
1
^{
k+1
}
-
\ldots
-A
_{
i,i-1
}
x
_{
i-1
}^{
k+1
}
-A
_{
i,i+1
}
x
_{
i+1
}^
k-
\ldots
-A
_{
in
}
x
_
n
^
k
\right
)
\\
&
=
\frac
{
1
}{
A
_{
ii
}}
\left
(b
_
i-
\sum
_{
j=1
}^{
i-1
}
A
_{
ij
}
x
_
j
^{
k+1
}
-
\sum
_{
j=i+1
}^
n A
_{
ij
}
x
_
j
^
k
\right
).
\end{align*}
$
x
_
i
^{
k
+
1
}$
hängt von
$
x
_{
i
-
1
}^{
k
+
1
}$
ab
$
\implies
$
keine Parallelisierung möglich.
...
...
@@ -848,7 +853,7 @@ Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert, wenn
\begin{example}
Sei
$
A
$
die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
\begin{itemize}
\item
Es gilt
$
\rho
(
I
-(
D
-
L
)
^{
-
1
}
A
)
=
(
\rho
(
I
-
D
^{
-
1
}
A
)
)
^
2
$
.
\item
Es gilt
$
\rho
(
I
-(
D
+
L
)
^{
-
1
}
A
)
=
(
\rho
(
I
-
D
^{
-
1
}
A
)
)
^
2
$
.
Das heißt der Spektralradius der Jacobi-Methode ist das Quadrat
des Spektralradius der Gauß-Seidel Methode. Laut
\citet
{
dahmen
_
reusken:2008
}
steht das bei
\cite
{
hackbusch:1994
}
.
...
...
@@ -861,7 +866,7 @@ Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
%
\item
Deshalb
\begin{equation*}
\rho
(I-(D
-
L)
^{
-1
}
A) =
\cos
^
2(
\pi
h)
\rho
(I-(D
+
L)
^{
-1
}
A) =
\cos
^
2(
\pi
h)
\end{equation*}
\item
Taylor-Entwicklung für
$
\cos
^
2
$
...
...
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