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...@@ -812,15 +812,20 @@ Betrachte noch einmal die Jacobi-Rechenvorschrift: ...@@ -812,15 +812,20 @@ Betrachte noch einmal die Jacobi-Rechenvorschrift:
\begin{equation*} \begin{equation*}
x_i^{k+1} x_i^{k+1}
= =
\frac{1}{a_{ii}} \left(b_i-a_{i1}x_1^{k} - a_{i2}x_2^{k}- \frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-A_{i1}x_1^{k} - A_{i2}x_2^{k}-
\ldots -a_{i,i-1}x_{i-1}^k - a_{i,i+1}x_{i+1}^k - \ldots - a_{in}x_n^k \right). \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^k - A_{i,i+1}x_{i+1}^k - \ldots - A_{in}x_n^k \right).
\end{equation*} \end{equation*}
Eigentlich haben wir für $x_1,\ldots,x_{i-1}$ schon bessere Werte als $x_1^k,\ldots,x_{i-1}^k$, nämlich $x_1^{k+1},\ldots,x_{i-1}^{k+1}$. Eigentlich haben wir für $x_1,\ldots,x_{i-1}$ schon bessere Werte als $x_1^k,\ldots,x_{i-1}^k$, nämlich $x_1^{k+1},\ldots,x_{i-1}^{k+1}$.
\medskip
Gauß-Seidel-Verfahren: Gauß-Seidel-Verfahren:
\begin{align*} \begin{align*}
x_i^{k+1} & =\frac{1}{a_{ii}} \left(b_i-a_{i1}x_1^{k+1} - \ldots -a_{i,i-1}x_{i-1}^{k+1}-a_{i,i+1}x_{i+1}^k-\ldots-a_{in}x_n^k \right) \\ x_i^{k+1}
& = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{k+1} -\sum_{j=i+1}^n a_{ij} x_j^k \right). & =
\frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-A_{i1}x_1^{k+1} - \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^{k+1}-A_{i,i+1}x_{i+1}^k-\ldots-A_{in}x_n^k \right) \\
& =
\frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} A_{ij}x_j^{k+1} -\sum_{j=i+1}^n A_{ij} x_j^k \right).
\end{align*} \end{align*}
$x_i^{k+1}$ hängt von $x_{i-1}^{k+1}$ ab $\implies$ keine Parallelisierung möglich. $x_i^{k+1}$ hängt von $x_{i-1}^{k+1}$ ab $\implies$ keine Parallelisierung möglich.
...@@ -848,7 +853,7 @@ Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert, wenn ...@@ -848,7 +853,7 @@ Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert, wenn
\begin{example} \begin{example}
Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet. Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es gilt $\rho(I-(D-L)^{-1}A) = ( \rho (I-D^{-1}A ) )^2$. \item Es gilt $\rho(I-(D+L)^{-1}A) = ( \rho (I-D^{-1}A ) )^2$.
Das heißt der Spektralradius der Jacobi-Methode ist das Quadrat Das heißt der Spektralradius der Jacobi-Methode ist das Quadrat
des Spektralradius der Gauß-Seidel Methode. Laut \citet{dahmen_reusken:2008} des Spektralradius der Gauß-Seidel Methode. Laut \citet{dahmen_reusken:2008}
steht das bei \cite{hackbusch:1994}. steht das bei \cite{hackbusch:1994}.
...@@ -861,7 +866,7 @@ Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet. ...@@ -861,7 +866,7 @@ Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
% %
\item Deshalb \item Deshalb
\begin{equation*} \begin{equation*}
\rho(I-(D-L)^{-1}A) = \cos^2(\pi h) \rho(I-(D+L)^{-1}A) = \cos^2(\pi h)
\end{equation*} \end{equation*}
\item Taylor-Entwicklung für $\cos^2$ \item Taylor-Entwicklung für $\cos^2$
......
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