Commit 40f450c0 authored by Sander, Oliver's avatar Sander, Oliver
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Detailverbesserungen bei Kurvenintegralen

parent f2a5cd4e
......@@ -136,16 +136,13 @@
% erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
\justifying
% ======================================================================
% Kurve
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Mehr Spaß mit Integralen}
\bigskip
Bisher:
\structure{Bisher:}
\begin{itemize}
\item Integrale von Funktionen $f : [a,b] \to \R$
\item Interpretation als \glqq Flächen unter einer Kurve\grqq
......@@ -154,7 +151,7 @@
\pause
\bigskip
Jetzt:
\structure{Jetzt:}
\begin{itemize}
\item Mehr Anwendungen
\item Länge von Kurven
......@@ -178,7 +175,7 @@
\bigskip
Ziel: Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graph von $f$ und der $x$-Achse.
\structure{Ziel:} Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graph von $f$ und der $x$-Achse.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5, trim= 175 500 140 145, clip]{integral} %\hspace{0.2cm}
......@@ -441,7 +438,11 @@ zticklabel=\empty,
\bigskip
\pause
Dieser Vektor ist tangential zur Kurve.
Dieser Vektor heißt \cblue{Geschwindigkeitsvektor}.
\medskip
Er ist tangential zur Kurve.
\bigskip
\pause
......@@ -807,7 +808,7 @@ yticklabels={$-a$,$a$},
\bigskip
\pause
Beispiel:
\structure{Beispiel:}
\begin{itemize}
\item Spur ist physisches Objekt, z.B.\ ein Draht
\item $f$ ist die Massendichte
......@@ -817,7 +818,7 @@ yticklabels={$-a$,$a$},
\bigskip
\pause
Ebenso:
\structure{Ebenso:}
\begin{itemize}
\item Funktion $F : \R^d \to \R$
\item Integriere die Restriktion von $F$ auf $\Spur \gamma$
......@@ -843,7 +844,7 @@ gesucht: & Integral von $f$ über $S$
\structure{Schritt I: Berechne einen Näherungswert}
\begin{enumerate}
\item Zerlege die Kurve in kurze Stücke \pause
\item Auf jedem Stück ist der Integrand $f$ \glqq fast konstant \grqq \pause
\item Auf jedem Stück ist der Integrand $f$ \glqq fast konstant\grqq \pause
\item Näherungswert für das gesuchte Integral
\begin{equation*}
G_n
......@@ -958,11 +959,6 @@ Integral:
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Beispiel: Schraubenlinie, Radius $r=1$ und Windung $c=1$}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Quiz}
......@@ -1042,36 +1038,62 @@ Integral:
\begin{frame}
\frametitle{Arbeitsintegral}
\frametitle{Integral einer vektorwertigen Funktion auf einer Kurve}
\begin{tabular}[t]{@{}ll}
gegeben: &
Kurve $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$\\
& Kraftfeld $k:\Spur\gamma\to\mathbb{R}^d$ stetig\\[1em]
& Kraftfeld $k:\Spur\gamma\to \R^{\cred{d}}$ \\[1em]
gesucht: & Arbeit, um Massepunkt entlang der Kurve zu bewegen
\end{tabular}
\bigskip
\pause
Arbeit auf einen Teilstück der Kurve
\[
a_i = k_t\Delta s_i = (k\cdot T) \Delta s_i
= (k\cdot T) \big|\dot{\gamma}(t)\big| \Delta t_i
= (k\cdot \dot{\gamma}) \Delta t_i
\]
mit
\begin{itemize}
\item Tangentialkomponente $k_t = k\cdot T$ von $k$
\item Tangenteneinheitsvektor $\displaystyle
T = \frac{\dot{\gamma}(t)}{\big|\dot{\gamma}(t)\big|}$
\end{itemize}
\structure{Schritt I: Berechne einen Näherungswert}
\begin{enumerate}
\item Zerlege die Kurve in kurze Stücke \pause
\item Auf jedem Stück ist der Integrand $k$ \glqq fast konstant\grqq \pause
\item Näherungswert für das gesuchte Integral
\begin{equation*}
K_n
=
\sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma^{\ast}_i) \cdot (\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i))
\end{equation*}
Dabei ist $\gamma^\ast_i$ ein beliebiger Punkt auf dem $i$-ten Teilstück.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Integral einer vektorwertigen Funktion auf einer Kurve}
Näherungswert für das gesuchte Integral
\begin{equation*}
K_n
=
\sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma_i^\ast)\cdot (\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i))
\end{equation*}
mit $\gamma_i^\ast$ einem beliebigen Punkt auf dem $i$-ten Teilstück.
\bigskip
\structure{Schritt II: Grenzübergang}
\begin{equation*}
K_n
=
\sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma_i^\ast) \cdot \frac{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)}{t_{i+1}-t_i}
\cdot (t_{i+1} - t_i)
\end{equation*}
\pause
Grenzübergang
\[
A_n := \sum_{i=1}^n a_i \to \int_a^b k\big(\gamma(t)\big)\cdot
\dot{\gamma}(t)\,dt
\]
\bigskip
Für $n \to \infty$:
\begin{equation*}
K_n \to \int_a^b k\big(\gamma(t)\big) \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt
\end{equation*}
\end{frame}
% ======================================================================
% Kurvenintegral 2. Art
% ======================================================================
......
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