Detailverbesserungen bei Kurvenintegralen

Kapitel_Integralrechnung_in_Rn/Kapitel_Integralrechnung_in_Rn.tex

@@ -136,16 +136,13 @@
 % erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
 \justifying
 
-% ======================================================================
-% Kurve
-% ======================================================================
 
 \begin{frame}
  \frametitle{Mehr Spaß mit Integralen}
 
  \bigskip
 
- Bisher:
+ \structure{Bisher:}
  \begin{itemize}
   \item Integrale von Funktionen $f : [a,b] \to \R$
   \item Interpretation als \glqq Flächen unter einer Kurve\grqq
@@ -154,7 +151,7 @@
  \pause
  \bigskip
 
- Jetzt:
+ \structure{Jetzt:}
  \begin{itemize}
   \item Mehr Anwendungen
   \item Länge von Kurven
@@ -178,7 +175,7 @@
 
 \bigskip
 
-Ziel: Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graph von $f$ und der $x$-Achse.
+\structure{Ziel:} Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graph von $f$ und der $x$-Achse.
 
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5, trim= 175 500 140 145, clip]{integral}  %\hspace{0.2cm}
@@ -441,7 +438,11 @@ zticklabel=\empty,
  \bigskip
  \pause
 
- Dieser Vektor ist tangential zur Kurve.
+ Dieser Vektor heißt \cblue{Geschwindigkeitsvektor}.
+
+ \medskip
+
+ Er ist tangential zur Kurve.
 
  \bigskip
  \pause
@@ -807,7 +808,7 @@ yticklabels={$-a$,$a$},
  \bigskip
  \pause
 
- Beispiel:
+ \structure{Beispiel:}
  \begin{itemize}
   \item Spur ist physisches Objekt, z.B.\ ein Draht
   \item $f$ ist die Massendichte
@@ -817,7 +818,7 @@ yticklabels={$-a$,$a$},
  \bigskip
  \pause
 
- Ebenso:
+ \structure{Ebenso:}
  \begin{itemize}
   \item Funktion $F : \R^d \to \R$
   \item Integriere die Restriktion von $F$ auf $\Spur \gamma$
@@ -843,7 +844,7 @@ gesucht: & Integral von $f$ über $S$
 \structure{Schritt I: Berechne einen Näherungswert}
 \begin{enumerate}
  \item Zerlege die Kurve in kurze Stücke \pause
- \item Auf jedem Stück ist der Integrand $f$ \glqq fast konstant \grqq \pause
+ \item Auf jedem Stück ist der Integrand $f$ \glqq fast konstant\grqq \pause
  \item Näherungswert für das gesuchte Integral
   \begin{equation*}
    G_n
@@ -958,11 +959,6 @@ Integral:
 
 \end{frame}
 
-\begin{frame}
-\frametitle{Beispiel: Schraubenlinie, Radius $r=1$ und Windung $c=1$}
-
-\end{frame}
-
 \begin{frame}
  \frametitle{Quiz}
 
@@ -1042,36 +1038,62 @@ Integral:
 
 
 \begin{frame}
-\frametitle{Arbeitsintegral}
+\frametitle{Integral einer vektorwertigen Funktion auf einer Kurve}
 \begin{tabular}[t]{@{}ll}
 gegeben: &
 Kurve $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$\\
-& Kraftfeld $k:\Spur\gamma\to\mathbb{R}^d$ stetig\\[1em]
+& Kraftfeld $k:\Spur\gamma\to \R^{\cred{d}}$ \\[1em]
 gesucht: & Arbeit, um Massepunkt entlang der Kurve zu bewegen
 \end{tabular}
 \bigskip
+
 \pause
 
-Arbeit auf einen Teilstück der Kurve
-\[
-a_i = k_t\Delta s_i = (k\cdot T) \Delta s_i
-= (k\cdot T) \big|\dot{\gamma}(t)\big| \Delta t_i
-= (k\cdot \dot{\gamma}) \Delta t_i
-\]
-mit
-\begin{itemize}
-\item Tangentialkomponente $k_t = k\cdot T$ von $k$
-\item Tangenteneinheitsvektor $\displaystyle
-T = \frac{\dot{\gamma}(t)}{\big|\dot{\gamma}(t)\big|}$
-\end{itemize}
+\structure{Schritt I: Berechne einen Näherungswert}
+\begin{enumerate}
+ \item Zerlege die Kurve in kurze Stücke \pause
+ \item Auf jedem Stück ist der Integrand $k$ \glqq fast konstant\grqq \pause
+ \item Näherungswert für das gesuchte Integral
+  \begin{equation*}
+   K_n
+    =
+   \sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma^{\ast}_i) \cdot (\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i))
+  \end{equation*}
+  Dabei ist $\gamma^\ast_i$ ein beliebiger Punkt auf dem $i$-ten Teilstück.
+\end{enumerate}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Integral einer vektorwertigen Funktion auf einer Kurve}
+
+ Näherungswert für das gesuchte Integral
+  \begin{equation*}
+   K_n
+    =
+   \sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma_i^\ast)\cdot (\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i))
+  \end{equation*}
+  mit $\gamma_i^\ast$ einem beliebigen Punkt auf dem $i$-ten Teilstück.
+
+  \bigskip
+
+ \structure{Schritt II: Grenzübergang}
 
+\begin{equation*}
+K_n
+=
+\sum_{i=0}^{n-1} k(\gamma_i^\ast) \cdot \frac{\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)}{t_{i+1}-t_i}
+  \cdot (t_{i+1} - t_i)
+\end{equation*}
 \pause
-Grenzübergang
-\[
-A_n := \sum_{i=1}^n a_i \to \int_a^b k\big(\gamma(t)\big)\cdot
-\dot{\gamma}(t)\,dt
-\]
+\bigskip
+
+Für $n \to \infty$:
+\begin{equation*}
+K_n \to \int_a^b k\big(\gamma(t)\big)  \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt
+\end{equation*}
 \end{frame}
+
 % ======================================================================
 % Kurvenintegral 2. Art
 % ======================================================================