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@@ -1110,6 +1110,176 @@ für alle partiell differenzierbaren Vektorfelder $v:B\to\mathbb{R}^d$.
\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Warum gilt der Satz von Gauß?}
+
+ Einfaches Gebiet: Quader $Q = [a_1,b_1] \times [a_2, b_2]$
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [thick] (0,0) rectangle (4,2);
+ \node at (-0.3,1) {$S_1$};
+ \node at (4.3,1) {$S_2$};
+ \node at (2,-0.3) {$S_3$};
+ \node at (2,2.3) {$S_4$};
+ \end{tikzpicture}
+
+ \end{center}
+
+ \medskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item Rand besteht aus vier Stücken: $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$
+
+ \item Normalenvektoren dazu: $-e_1$, $e_1$, $-e_2$, $e_2$
+ \end{itemize}
+
+ \medskip
+
+ Stetig differenzierbares Vektorfeld auf $Q$:
+ \begin{equation*}
+ v(x,y)
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ v_1(x,y) \\
+ v_2(x,y)
+ \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Warum gilt der Satz von Gauß?}
+
+ Das Integral über den vertikalen Rand:
+
+ \begin{align*}
+ \int_{S_2} v \cdot d\vec{O} + \int_{S_1} v \cdot d\vec{O}
+ & =
+ \int_{a_2}^{b_2} v(b_1,y) \cdot e_1\,dy \\
+ & \qquad \qquad + \int_{a_2}^{b_2} v(a_1,y) \cdot (-e_1)\,dy \\
+ & =
+ \int_{a_2}^{b_2} \big( v_1(b_1,y) - v_1(a_1,y) \big)\,dy \\
+ & =
+ \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y) \,dy \\
+ & =
+ \int_Q \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y)\, dQ
+ \end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Warum gilt der Satz von Gauß?}
+
+ \bigskip
+
+ Eben gezeigt:
+ \begin{align*}
+ \int_{S_2} v \cdot d\vec{O} + \int_{S_1} v \cdot d\vec{O}
+ & =
+ \int_Q \frac{\partial}{\partial x} v_1(x,y)\, dQ
+ \end{align*}
+
+ \bigskip
+
+ Ebenso:
+ \begin{align*}
+ \int_{S_4} v \cdot d\vec{O} + \int_{S_3} v \cdot d\vec{O}
+ & =
+ \int_Q \frac{\partial}{\partial y} v_2(x,y)\, dQ
+ \end{align*}
+
+ \bigskip
+
+ Zusammen:
+ \begin{align*}
+ \int_{\partial Q} v \cdot d\vec{O} = \int_Q \Div v \,dQ
+ \end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Satz von Gauß: Allgemeinere Gebiete}
+
+ $Q = Q_1 \cup Q_2 \cup Q_3$
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [thick] (0,0) rectangle (3,1.5);
+ \node at (1.5,0.75) {$Q_1$};
+ \draw [thick] (3,0) rectangle (6,1.5);
+ \node at (4.5,0.75) {$Q_2$};
+ \draw [thick] (3,-1.5) rectangle (6,0);
+ \node at (4.5,-0.75) {$Q_3$};
+ \end{tikzpicture}
+
+ \end{center}
+
+ \begin{equation*}
+ \sum_i \int_{\partial Q_i} v \cdot d \vec{O}
+ =
+ \sum_i \int_{Q_i} \Div v\,dQ
+ \end{equation*}
+
+ \bigskip
+ \pause
+
+ Es gilt
+ \begin{equation*}
+ \int_{\partial Q} v \cdot d \vec{O}
+ =
+ \sum_i \int_{\partial Q_i} v \cdot d \vec{O}
+ =
+ \sum_i \int_{Q_i} \Div v\,dQ
+ =
+ \int_Q \Div v \,dQ
+ \end{equation*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel}
+
+ Sei
+ $\displaystyle v(x,y,z)
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ x^2 y z \\
+ x y^2 z \\
+ -2 x y z^2
+ \end{pmatrix}
+$\qquad\qquad \begin{tikzpicture}
+ \coordinate (center) at (6,2.5);
+ \shade [ball color=white] (center) circle [radius=1.0cm];
+ \draw[thick] (center) circle (1.0cm);
+ \end{tikzpicture}
+
+ \bigskip
+
+ Berechne den Fluss $F$ durch die Oberfläche der Einheitskugel $K$
+ \begin{equation*}
+ F = \int_{\partial K} v \cdot d \vec{O}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ Das Vektorfeld $v$ ist divergenzfrei:
+ \begin{equation*}
+ \Div v = 2xyz + 2xyz - 4xyz = 0.
+ \end{equation*}
+
+ \medskip
+
+ Deshalb gilt mit dem Satz von Gauß:
+ \begin{equation*}
+ F = \int_{\partial K} v \cdot d \vec{O} = \int_K \Div v\,dK = 0.
+ \end{equation*}
+
+\end{frame}
+
\begin{frame}
\frametitle{Greensche Integralformeln}
@@ -1235,6 +1405,101 @@ Dies entspricht der Aussage dass Kurvenintegrale über Gradientenfelder
nur von den Werten am Anfang und am Ende der Kurve abhängen.
\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Warum gilt der Satz von Stokes?}
+
+Wir motivieren den Satz von Stokes für einen Spezialfall.
+
+\medskip
+
+Wende den Satz von Stokes auf eine Fläche in $\R^2$ an.
+
+\bigskip
+
+Ebene Vektorfelder $v = (v_1, v_2, 0)^T$ haben die Rotation
+\begin{equation*}
+ \rot v = \Big(0, 0, \frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}\Big)^T
+\end{equation*}
+
+
+\begin{satz}[Satz von Green]
+Seien $B\subset\mathbb{R}^2$ eine offene Menge mit glattem Rand, und $v:B\to\mathbb{R}^2$
+ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist
+\begin{equation*}
+\int_B \left(
+\frac{\partial v_2}{\partial x}(x,y)
+- \frac{\partial v_1}{\partial y}(x,y)
+\right)
+d(x,y)
+=
+\int_{\partial B} v\cdot d\vv{s}.
+\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Warum gilt der Satz von Green/Stokes?}
+
+ Einfaches Gebiet: Quader $Q = [a_1,b_1] \times [a_2, b_2]$
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [thick] (0,0) rectangle (4,2);
+ \node at (-0.3,1) {$\gamma_4$};
+ \node at (4.3,1) {$\gamma_2$};
+ \node at (2,-0.3) {$\gamma_1$};
+ \node at (2,2.3) {$\gamma_3$};
+ \end{tikzpicture}
+
+ \end{center}
+
+ Parametrisierungen:
+ \begin{alignat*}{2}
+ \gamma_1(t) & = (t,\; a_2)^T \qquad & t \in [a_1,b_1] \\
+ \gamma_2(t) & = (a_1,\; t)^T \qquad & t \in [a_2,b_2] \\
+ \gamma_3(t) & = (b_1 + a_1 -t,\; b_2)^T \qquad & t \in [a_1,b_1] \\
+ \gamma_4(t) & = (a_1,\; a_2 + b_2 - t)^T \qquad & t \in [a_2,b_2]
+ \end{alignat*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Warum gilt der Satz von Green/Stokes?}
+
+ \vspace*{-0.5cm}
+
+ \begin{align*}
+ \int_{\partial Q} v \cdot \,d\vec{s}
+ & =
+ \int_{j=1}^4 \int_{\gamma_j} v \cdot \,d\vec{s} \\
+ & =
+ \int_{a_1}^{b_1} v_1(x,a_2)\,dx
+ +
+ \int_{a_2}^{b_2} v_2(b_1,y)\,dy \\
+ & \quad
+ -
+ \int_{a_1}^{b_1} v_1(x,b_2)\,dx
+ -
+ \int_{a_2}^{b_2} v_2(a_1,y)\,dy \\
+ %
+ & =
+ \int_{a_1}^{b_1} \big( v_1(x,a_2) - v_1(x,b_2) \big) \,dx \\
+ & \quad
+ +
+ \int_{a_2}^{b_2} \big( v_2(b_1,y) - v_1(a_1,y) \big) \,dy \\
+ %
+ & =
+ - \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \frac{\partial v_1(x,y)}{\partial y}\,dy\,dx
+ +
+ \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} \frac{\partial v_2(x,y)}{\partial x}\,dx\,dy \\
+ %
+ & =
+ \int_{Q} \Big[ \frac{\partial v_2(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial v_1(x,y)}{\partial y} \Big]\,dQ
+ \end{align*}
+\end{frame}
+
+
\subsection{Anwendung}
\begin{frame}