From 4085d907ce8fe30fbe5fb544f153be57d6d1d38a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Oliver Sander <oliver.sander@tu-dresden.de>
Date: Tue, 13 Jun 2023 06:17:35 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Detailverbesserungen=20bei=20Zufallsgr=C3=B6?=
 =?UTF-8?q?=C3=9Fen?=
MIME-Version: 1.0
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 .../Kapitel_Zufallsgr\303\266\303\237en.tex"  | 23 +++++++++++--------
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+++ "b/Kapitel_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Kapitel_Zufallsgr\303\266\303\237en.tex"
@@ -149,10 +149,12 @@
   \begin{definition}
   Sei $E$ die Menge der bei einem Zufallsexperiment möglichen Elementarereignisse und $Z$ eine $\sigma$-Algebra
   (ein Menge von Ereignissen).
-  Eine Funktion $X: E \to \mathbb{R}$ heißt \cblue{Zufallsgröße}, wenn das Urbild $X^{-1}(I)$ eines beliebigen Intervalls $I$ der Form $(-\infty, x)$ ein zufälliges Ereignis $A \in Z$ ist.
+  Eine Funktion $X: E \to \R$ heißt (reelle) \cblue{Zufallsgröße}, wenn für jedes $x \in \R$
+  die Menge $\{ e \in E \mid X(e) \leq x \}$ ein Ereignis in $Z$ ist.
   \end{definition}
 
   \bigskip
+
   (Bei endlichen $E$ ist diese Bedingung eigentlich immer erfüllt.)
 \end{frame}
 
@@ -173,9 +175,10 @@
    \item Zufallsgröße: $X(e_i) \colonequals i$
    \pause
 
-   \item Für $I = (-\infty, x)$ hat man
+   \item Ereignisse:
   \begin{equation*}
-    X^{-1}(I) = \begin{cases}
+    \{ e \in E \mid X(e) \leq x \}
+    = \begin{cases}
       \emptyset & \text{falls } x \le 1 \\
       e_1 & \text{falls } 1 < x \le 2 \\
       e_1 \cup e_2 & \text{falls } 2 < x \le 3 \\
@@ -202,9 +205,9 @@
 
   \pause
 
-  Für $I = (-\infty, x)$ hat man
   \begin{equation*}
-    X^{-1}(I) = \begin{cases}
+    \{ e \in E \mid X(e) \leq x \}
+    = \begin{cases}
       \emptyset & \text{falls } x \le 1 \\
       e_6 & \text{falls } 1 < x \le 2 \\
       e_5 \cup e_6 & \text{falls } 2 < x \le 3 \\
@@ -265,8 +268,9 @@
   \bigskip
 
   \begin{definition}
-  Sei $X$ eine Zufallsgröße.
-  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert annimmt, der kleiner als $x$ ist, heißt \cblue{Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion $F_X$ von $X$}:
+  Sei $X$ eine Zufallsgröße.  Die Funktion, die für alle $x \in \R$
+  die Wahrscheinlichkeit angibt dass $X$ einen Wert kleiner als $x$ annimmt,
+  heißt \cblue{Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion} $F_X$ von $X$:
   \begin{equation*}
     F_X(x) \colonequals P\{X<x\}.
   \end{equation*}
@@ -484,15 +488,14 @@
           \draw[red]        (\i - 1, \i - 1) -- (\i, \i - 1);
           \draw[red,dotted] (\i, \i - 1)     -- (\i, \i);
           \fill[red]        (\i,\i-1) circle[radius=2pt];
-          \fill[red]        (\i,\i)   circle[radius=2pt];
+          \draw[red]        (\i,\i)   circle[radius=2pt];
 
         }
         \draw[red] (6, 6) -- (7,6);
       \end{tikzpicture}
   \end{center}
-%%  TODO: (Hier bitte noch einmal das Bild von der Verteilungsfunktion des Würfelns.)
 
-  Offenbar gilt $\sum_{k=0}^\infty p_k = 1$.
+  Offenbar gilt $\sum_{k=0}^\infty p_k = \lim_{x\to \infty} F(x) = 1$.
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
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