Tippfehler und konsistentere Notation

Kapitel_Integralrechnung_in_Rn/Kapitel_Vektoranalysis.tex

@@ -768,17 +768,17 @@ Das gilt auch umgekehrt!
 \bigskip
 
 \begin{definition}
-Sei $D\subset\mathbb{R}^n$ offen und $v:D\to\mathbb{R}^n$ mit
-$v=(v_1,\dots,v_n)^T$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Der Operator
+Sei $D\subset\mathbb{R}^d$ offen und $v:D\to\mathbb{R}^d$ mit
+$v=(v_1,\dots,v_d)^T$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Der Operator
 \cblue{$\Div$} ordnet durch
 \begin{equation*}
 \Div v \colonequals \frac{\partial v_1}{\partial x_1}
-+ \dots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}
++ \dots + \frac{\partial v_d}{\partial x_d}
 \end{equation*}
 
 \medskip
 
-dem Vektorfeld $v:D \to \R^n$ das
+dem Vektorfeld $v:D \to \R^d$ das
 Skalarfeld $\Div v:D\to\mathbb{R}$ zu, welches als \cblue{Divergenz von $v$}
 bezeichnet wird.
 \end{definition}
@@ -976,10 +976,12 @@ Der Nabla-Operator ist
 \colonequals\begin{pmatrix}
 \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_1} &
 \dots &
-\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_n}
+\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_d}
 \end{pmatrix}^T.
 \end{equation*}
 \end{definition}
+
+\bigskip
 Damit schreibt man
 \begin{equation*}
 \grad\varphi = \nabla\varphi,
@@ -996,12 +998,12 @@ Damit schreibt man
 \bigskip
 
 \begin{definition}
-Seien $D\subset\mathbb{R}^n$ offen und $\varphi:D\to\mathbb{R}$ ein zweimal
+Seien $D\subset\mathbb{R}^d$ offen und $\varphi:D\to\mathbb{R}$ ein zweimal
 stetig partiell differenzierbares Skalarfeld. Der \cblue{Laplace-Operator
 $\Delta$} ordnet $\varphi$ durch
 \[
 \Delta\varphi\colonequals \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}
-+ \dots + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_n^2}
++ \dots + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_d^2}
 \]
 \medskip
 das Skalarfeld $\Delta\varphi:D\to\mathbb{R}$ zu,
@@ -1077,7 +1079,7 @@ für alle partiell differenzierbaren Vektorfelder $v:B\to\mathbb{R}^d$.
 \bigskip
 
   \begin{center}
-   \begin{tikzpicture}
+   \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
      \begin{axis}[
        axis line style={thick},
        tick style={thick, black},
@@ -1283,7 +1285,7 @@ $\qquad\qquad \begin{tikzpicture}
 \begin{frame}
 \frametitle{Greensche Integralformeln}
 
-Daraus folgen diverse Rechenregeln.
+Aus $\int_{\partial B} v\cdot \,d\vec{B} = \int_B \Div v\,dB$ folgen diverse Rechenregeln.
 
 \medskip
 
@@ -1401,8 +1403,8 @@ Dann gilt
 
 \bigskip
 
-Dies entspricht der Aussage dass Kurvenintegrale über Gradientenfelder
-nur von den Werten am Anfang und am Ende der Kurve abhängen.
+Dies enthält die Aussage dass geschlossene Kurvenintegrale über Gradientenfelder
+immer den Wert 0 haben.
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
@@ -1594,7 +1596,7 @@ Definition des Randintegrals:
  =
  \int_a^b v \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt
  =
- \int_a^b \begin{pmatrix} -\gamma_2(t) \\ \gamma_1(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\gamma}_1(t) \\ \dot{\gamma}_2(t) \end{pmatrix}\,dt
+ \frac{1}{2} \int_a^b \begin{pmatrix} -\gamma_2(t) \\ \gamma_1(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\gamma}_1(t) \\ \dot{\gamma}_2(t) \end{pmatrix}\,dt
 \end{equation*}