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Tippfehler und konsistentere Notation

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......@@ -768,17 +768,17 @@ Das gilt auch umgekehrt!
\bigskip
\begin{definition}
Sei $D\subset\mathbb{R}^n$ offen und $v:D\to\mathbb{R}^n$ mit
$v=(v_1,\dots,v_n)^T$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Der Operator
Sei $D\subset\mathbb{R}^d$ offen und $v:D\to\mathbb{R}^d$ mit
$v=(v_1,\dots,v_d)^T$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Der Operator
\cblue{$\Div$} ordnet durch
\begin{equation*}
\Div v \colonequals \frac{\partial v_1}{\partial x_1}
+ \dots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}
+ \dots + \frac{\partial v_d}{\partial x_d}
\end{equation*}
\medskip
dem Vektorfeld $v:D \to \R^n$ das
dem Vektorfeld $v:D \to \R^d$ das
Skalarfeld $\Div v:D\to\mathbb{R}$ zu, welches als \cblue{Divergenz von $v$}
bezeichnet wird.
\end{definition}
......@@ -976,10 +976,12 @@ Der Nabla-Operator ist
\colonequals\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_1} &
\dots &
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_n}
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_d}
\end{pmatrix}^T.
\end{equation*}
\end{definition}
\bigskip
Damit schreibt man
\begin{equation*}
\grad\varphi = \nabla\varphi,
......@@ -996,12 +998,12 @@ Damit schreibt man
\bigskip
\begin{definition}
Seien $D\subset\mathbb{R}^n$ offen und $\varphi:D\to\mathbb{R}$ ein zweimal
Seien $D\subset\mathbb{R}^d$ offen und $\varphi:D\to\mathbb{R}$ ein zweimal
stetig partiell differenzierbares Skalarfeld. Der \cblue{Laplace-Operator
$\Delta$} ordnet $\varphi$ durch
\[
\Delta\varphi\colonequals \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}
+ \dots + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_n^2}
+ \dots + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_d^2}
\]
\medskip
das Skalarfeld $\Delta\varphi:D\to\mathbb{R}$ zu,
......@@ -1077,7 +1079,7 @@ für alle partiell differenzierbaren Vektorfelder $v:B\to\mathbb{R}^d$.
\bigskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\begin{axis}[
axis line style={thick},
tick style={thick, black},
......@@ -1283,7 +1285,7 @@ $\qquad\qquad \begin{tikzpicture}
\begin{frame}
\frametitle{Greensche Integralformeln}
Daraus folgen diverse Rechenregeln.
Aus $\int_{\partial B} v\cdot \,d\vec{B} = \int_B \Div v\,dB$ folgen diverse Rechenregeln.
\medskip
......@@ -1401,8 +1403,8 @@ Dann gilt
\bigskip
Dies entspricht der Aussage dass Kurvenintegrale über Gradientenfelder
nur von den Werten am Anfang und am Ende der Kurve abhängen.
Dies enthält die Aussage dass geschlossene Kurvenintegrale über Gradientenfelder
immer den Wert 0 haben.
\end{frame}
\begin{frame}
......@@ -1594,7 +1596,7 @@ Definition des Randintegrals:
=
\int_a^b v \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt
=
\int_a^b \begin{pmatrix} -\gamma_2(t) \\ \gamma_1(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\gamma}_1(t) \\ \dot{\gamma}_2(t) \end{pmatrix}\,dt
\frac{1}{2} \int_a^b \begin{pmatrix} -\gamma_2(t) \\ \gamma_1(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dot{\gamma}_1(t) \\ \dot{\gamma}_2(t) \end{pmatrix}\,dt
\end{equation*}
......
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