diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
index 9d1fcf5157d52da579bfde4aa9f86984b67c8cb0..3bd797bfffae3ff14b7b80f7239d0261a048b745 100644
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+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
@@ -1049,507 +1049,45 @@ u(x,t) = \frac{1}{30} - \sum_{k=1}^{\infty}
\section{Die Wellengleichung}
-% ======================================================================
-% Wellengleichung für eine endlich lange Saite
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Wellengleichung für eine endlich lange Saite}
-Wellengleichung mit Konstante $a>0$
-\[
-u_{tt}(x,t) - a^2 u_{xx}(x,t) = f(x,t)\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
-t>0
-\]
-Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = \varphi(x),\quad
-u_t(x,0) = \psi(x)\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
-\]
-Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = \psi_L(t),\quad u(\ell,t) = \psi_R(t)\qquad
-\text{ für } t>0
-\]
-\bigskip
-
-\begin{bemerkung}
-Die Anfangsbedingungen geben die Anfangsauslenkung $\varphi$ und die
-Anfangsgeschwindigkeit $\psi$ der Saite vor.
-\end{bemerkung}
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Berücksichtigung von inhomogenen Randbedingungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Berücksichtigung von inhomogenen Randbedingungen}
-inhomogene Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = \psi_L(t),\; u(\ell,t) = \psi_R(t)\quad\text{ für } t>0
-\]
-definiere Funktion
-\[
-v(x,t) \colonequals u(x,t) - \left( \left(1-\frac{x}{\ell}\right) \psi_L(t)
-+\frac{x}{\ell} \psi_R(t)\right)
-\]
-\bigskip
-
-Eigenschaften von $v$:
-\begin{itemize}
-\item $v$ hat homogene Randbedingungen
-
-\item $v$ erfüllt Wellengleichung mit angepasstem Quellterm und
-angepasster Anfangsbedingung
-\end{itemize}
-\bigskip
-
-gleiches Vorgehen wie bei den Wärmeleitungsgleichung
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Homogene Wellengleichung mit homogenen RB
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Homogene Wellengleichung mit homogenen RB}
-homogene Wellengleichung
-\[
-u_{tt}(x,t) - a^2 u_{xx}(x,t) = 0\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
-t>0
-\]
-Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = \varphi(x),\quad
-u_t(x,0) = \psi(x)\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
-\]
-Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = 0,\quad u(\ell,t) = 0\qquad
-\text{ für } t>0
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Separationsansatz
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Separationsansatz}
-Separations- oder Produktansatz
-\[
-u(x,t) = X(x)T(t)
-\]
-Einsetzen in homogene Wellengleichung und Umstellen
-\[
-\frac{T''(t)}{a^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda = \text{konstant}
-\]
-führt auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
-\begin {align*}
-T''(t) - a^2\lambda T(t) & = 0,\\
-X''(x) - \lambda X(x) & = 0
-\end{align*}
-\smallskip
-
-homogene Dirichlet-Randbedingungen für $u$ ergeben
-\[
-X(0) = X(\ell) = 0
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Eigenwertproblem
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Eigenwertproblem}
-gleiches Eigenwertproblem wie bei der Wärmeleitungsgleichung
-\bigskip
+\subsection{Wellengleichung im unbegrenzten Raum}
-Randwertproblem mit reellem Parameter $\lambda$
-\[
-X''(x) - \lambda X(x) = 0,\qquad
-X(0) = X(\ell) = 0
-\]
-\bigskip
+\subsubsection{Die eindimensionale Gleichung}
-Lösung:
-\[
-\lambda_n = -\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^2,\quad
-X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right),\quad
-n\in\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Weiterer Lösungsaufbau
-% ======================================================================
\begin{frame}
-\frametitle{Weiterer Lösungsaufbau}
-Differentialgleichung
-\[
-T_n''(t) + \frac{a^2 n^2\pi^2}{\ell^2} T_n(t) = 0
-\]
-mit der Lösung
-\[
-T_n(t) = C_n \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
-\]
-führt auf die Reihendarstellung der Lösung
-\begin{align*}
-u(x,t) & = \sum_{n=1}^{\infty} X_n(x) T_n(t)\\
-& = \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) \left(
- C_n \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)\right)
-\end{align*}
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Realisierung der Anfangsbedingung
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Realisierung der Anfangsbedingungen}
-Reihenansatz für Lösung und deren Zeitableitung
-\begin{align*}
-u(x,t) & = \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) \left(
- C_n \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)\right),\\[-1ex]
-u_t(x,t) & = \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) \frac{an\pi}{\ell}
-\left(
- - C_n \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)\right)
-\end{align*}
-Anfangsbedingungen berücksichtigen
-\begin{alignat*}{2}
-\varphi(x) & \stackrel{!}{=} u(x,0) & & =
-\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right),
-\\[-1ex]
-\psi(x) & \stackrel{!}{=} u_t(x,0) & & =
-\sum_{n=1}^{\infty} D_n \frac{an\pi}{\ell}
-\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)
-\end{alignat*}
-Fourier-Entwicklungen von $\varphi$ und $\psi$ in Sinus-Terme
-\[
-C_n \!=\! \frac{2}{\ell} \int_0^{\ell}\!\! \varphi(z)
-\sin\left(\frac{n\pi z}{\ell}\right)\,dz,\quad
-D_n \!=\! \frac{\ell}{an\pi} \frac{2}{\ell} \int_0^{\ell}\!\! \psi(z)
-\sin\left(\frac{n\pi z}{\ell}\right)\,dz
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Beispiel
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Beispiel}
-homogene Wellengleichung
-\[
-u_{tt}(x,t) - 9 u_{xx}(x,t) = 0\quad\text{ für } x\in(0,\pi),\; t>0
-\]
-Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = \sin(x),\quad
-u_t(x,0) = \sin(4x)\qquad\text{ für } x\in(0,\pi)
-\]
-homogene Dirichlet-Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = u(\pi,t) = 0,\quad \text{ für } t>0
-\]
-Lösungsdarstellung nach Separationsansatz ($\ell=\pi$, $a=3$)
-\[
-u(x,t)
-= \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin(nx) \big( C_n \cos(3nt) + D_n \sin(3nt)\big)
-\]
-mit Koeffizienten $C_n$ und $D_n$ aus den Entwicklungen
-\[
-\sin(x) =
-\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(nx),
-\quad
-\sin(4x) =
-\sum_{n=1}^{\infty} 3n D_n \sin(nx)
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Lösung
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Lösung}
-\begin{center}
-\movie[externalviewer]{
-\begin{tikzpicture}
-\begin{axis}[
-view={150}{20},
-z buffer=sort,
-xtick={0,1.57,3.14},
-xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
-ytick={0,1,2,3},
-ztick={-1,0,1},
-xlabel=$x$,
-ylabel=$t$,
-zlabel=$u$,
-axis lines=box,
-3d box=complete,
-ylabel style={rotate=-90},
-zlabel style={rotate=-90},
-colormap/hsv,
-xmin=0, xmax=3.141,
-ymin=0, ymax=3,
-height=0.7\textheight,
-]
-
-\addplot3[surf, mesh/rows=51, mesh/cols=61, shader=faceted interp,
-faceted color=black!50,ultra thin] file {videodata/WelleAB_plot.dat};
+\frametitle{Wellengleichung im unbegrenzten Raum}
-\end{axis}
-\end{tikzpicture}
-}{WelleAB.mp4}
-\end{center}
-\[
-u(x,t) = \sin(x)\cos(3t) + \frac{1}{12}\sin(4x)\sin(12t)
-\]
-\end{frame}
+\structure{Wellengleichung:}
+\begin{equation*}
+ u_{tt}(x,t)
+ = c^2 \Delta u(x,t) \qquad\text{für $x\in\R^d$},\;t>0
+\end{equation*}
+mit
+\begin{equation*}
+ \Delta u
+ \colonequals
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
+ + \dots +
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_d^2}
+\end{equation*}
-\subsection{Wellengleichung mit Quellterm}
+Dies ist eine \cred{hyperbolische} Gleichung!
-\begin{frame}
-\frametitle{Wellengleichung mit Quellterm}
-homogene Wellengleichung mit Quellterm
-\[
-u_{tt}(x,t) - a^2 u_{xx}(x,t) = f(x,t)\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
-t>0
-\]
-homogene Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = 0,\quad
-u_t(x,0) = 0\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
-\]
-homogene Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = u(\ell,t) = 0\quad \text{ für } t>0
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Variation der Konstanten
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Variation der Konstanten}
-Erinnerung:
-\[
-u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right) \left(
- C_n \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)\right)
-\]
-löst homogene Wellengleichung mit homogenen Randbedingungen
-\bigskip
-
-Idee: Variation der Konstanten
-\begin{align*}
-u(x,t) & = \sum_{n=1}^{\infty}
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\underbrace{\left(
- C_n(t) \cos\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)
- + D_n(t) \sin\left(\frac{an\pi}{\ell}t\right)\right)}_%
- {\displaystyle \equalscolon a_n(t)}\\
-& = \sum_{n=1}^{\infty} a_n(t)
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)
-\end{align*}
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Bestimmung von a_n
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Bestimmung von $a_n(t)$}
-Einsetzen des Lösungansatzes liefert
-\[
-\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n''(t) + \frac{a^2 n^2 \pi^2}{\ell^2}
-a_n(t)\right) \sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)
-= f(x,t)
-\]
-Annahme: Der Quellterm $f(x,t)$ ist für jedes $t>0$ in eine Sinus-Reihe
-entwickelbar
-\[
-f(x,t) \!=\! \sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right),\;\;
-f_n(t) \!=\! \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell} \!\!f(x,t)
-\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\,dx
-\]
\bigskip
+\pause
-gewöhnliche Differentialgleichung für $a_n$
-\[
-a_n''(t) + \frac{a^2 n^2 \pi^2}{\ell^2} a_n(t) = f_n(t)
-\]
-homogene Anfangsbedingungen für $u$ liefern
-\[
-a_n(0) = 0, \quad a_n'(0) = 0
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Beispiel
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Beispiel}
-Wellengleichung
-\[
-u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) = \sin(x)e^{-t}
-\quad\text{ für } x\in(0,\pi),\; t>0
-\]
-homogene Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = 0\quad
-u_t(x,0) = 0\qquad\text{ für } x\in(0,\pi)
-\]
-Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = u(\pi,t) = 0\quad \text{ für } t>0
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Lösung
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Lösung}
-\movie[externalviewer]{
-\begin{tikzpicture}
-\begin{axis}[
-view={150}{20},
-z buffer=sort,
-xtick={0,1.57,3.14},
-xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
-%ytick={0,0.01,0.02},
-%yticklabels={0,0.01,0.02},
-%ztick={0,1,2,3},
-xlabel=$x$,
-ylabel=$t$,
-zlabel=$u$,
-axis lines=box,
-3d box=complete,
-ylabel style={rotate=-90},
-zlabel style={rotate=-90},
-colormap/hsv,
-xmin=0, xmax=3.141,
-ymin=0, ymax=10,
-%scaled y ticks=false
-]
-
-\addplot3[surf, mesh/rows=51, mesh/cols=61, shader=faceted interp,
-faceted color=black!50,ultra thin] file {videodata/WelleQuelle_plot.dat};
-
-\end{axis}
-\end{tikzpicture}
-}{WelleQuelle.mp4}
-\[
-u(x,t) = \frac{1}{2}\big(\sin(t)-\cos(t)+e^{-t}\big)\sin(x)
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Lösungsalgorithmus
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Lösungsalgorithmus}
-Wellengleichung mit Konstante $a>0$
-\[
-u_{tt}(x,t) - a^2 u_{xx}(x,t) = f(x,t)\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
-t>0
-\]
-Anfangsbedingungen
-\[
-u(x,0) = \varphi(x),\quad
-u_t(x,0) = \psi(x)\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
-\]
-Randbedingungen
-\[
-u(0,t) = \psi_L(t),\quad u(\ell,t) = \psi_R(t)\qquad
-\text{ für } t>0
-\]
-~\\Lösungsalgorithmus
-\begin{enumerate}
-\item Herstellen homogener Randbedingungen
-\item Lösung der homogenen Dgl mit Berücksichtigung der AB
-\item Lösung der inhomogenen Dgl mit homogenen AB und RB
-\item Zusammensetzen der Gesamtlösung aus den Teillösungen
-\item Probe
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Erhaltung rauer Anfangsdaten
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Erhaltung rauer Anfangsdaten}
-Problemstellung
-\begin{alignat*}{2}
-u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) & = 0 &\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\;t>0,\\
-u(0,t) = u(\pi,t) & = 0&\quad& \text{ für } t>0,\\
-u(x,0) & = 2\sin(x) +\sin(15x)&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\\
-u_t(x,0) & = 0&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi)
-\end{alignat*}
-\begin{center}
-\movie[externalviewer]{
-\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
-\begin{axis}[
-xmin = 0, xmax = 3.141,
-ymin = -0.5, ymax = 3.5,
-xtick={0,1.57,3.14},
-xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
-%xlabel=$x$,
-%ylabel=$\varphi$,
-height=0.675\textheight,
-]
-\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=0:3.141,samples=1001]
- {2*sin(deg(x))+sin(15*deg(x))};
-\end{axis}
-\end{tikzpicture}
-}{WelleGlatt.mp4}
-\end{center}
-\[
-u(x,t) = 2\sin(x)\cos(t) + \sin(15x)\cos(15t)
-\]
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Auswirkungen der verschiedenen Randbedingungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Auswirkungen der verschiedenen Randbedingungen}
-Problemstellung
-\begin{alignat*}{2}
-u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) & = 0 &\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\;t>0,\\
-u(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(\pi,t)
-& = 0&\quad& \text{ für } t>0,\\
-u(x,0) & = \varphi(x)&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\\
-u_t(x,0) & = 0&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi)
-\end{alignat*}
-\begin{center}
-\movie[externalviewer]{
-\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
-\begin{axis}[
-xmin = 0, xmax = 3.141,
-ymin = -0.25, ymax = 1.25,
-xtick={0,1.57,3.14},
-xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
-xlabel=$x$,
-ylabel=$\varphi$,
-height=0.675\textheight,
-x label style={at={(axis description cs:1,0)},anchor=west},
-y label style={at={(axis description cs:0,1)},rotate=-90,anchor=east},
-]
-\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=0:1.571,samples=11] {0};
-\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=1.571:2.094,samples=1001]
- {-sin(6*deg(x))};
-\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=2.094:3.141,samples=11] {0};
-\end{axis}
-\end{tikzpicture}
-}{WelleRB.mp4}
-\end{center}
-\end{frame}
-
-\subsection{Wellengleichung im unbegrenzten Raum}
+\structure{Annahmen heute:}
-\begin{frame}
-\frametitle{Wellengleichung im unbegrenzten Raum}
-
-\structure{Wellengleichung:}
-\[
-u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t) \quad\text{ für $x\in\R$},\;
-t>0
-\]
\begin{itemize}
- \item Eindimensionaler Raum
+ \item Eindimensionales Gebiet
+ \begin{equation*}
+ u_{tt}(x,t)
+ =
+ c^2 u_{xx}(x,t) \qquad\text{für $x\in\R$},\;t>0
+ \end{equation*}
- \item keine Randbedingungen, da räumlich unbegrenzt
+ \item Gebiet ist ganz $\R$.
- \item Zunächst: Keine Anfangsbedingungen
+ \item Also braucht man keine Randbedingungen.
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -1602,7 +1140,7 @@ c^2 \Big(\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}
\begin{frame}
\frametitle{Wellengleichung im unbegrenzten Raum}
-Einsetzen von
+\structure{Einsetzen} von
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
=
@@ -1614,16 +1152,19 @@ c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
c^2 \Big(\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}
+ 2 \frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2} \Big)
\end{equation*}
-in die Wellengleichung:
+in die Wellengleichung
+\begin{equation*}
+ u_{tt} = c^2 u_{xx}.
+\end{equation*}
\medskip
+\pause
Eine Funktion $u(x,t)$ erfüllt genau dann die Wellengleichung, wenn $v(\xi,\eta)$
zweimal differenzierbar ist, und
\[
-\frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta} = 0
+\frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta} = 0.
\]
-erfüllt.
\medskip
\pause
@@ -1639,15 +1180,15 @@ mit beliebigen, zweimal differenzierbaren Funktionen $F,G$
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Lösungsdarstellung}
-Allgemeine Lösung der homogene Wellengleichung
+Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung
\[
u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)
\]
mit beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $F,G$
\begin{itemize}
- \item $F(x+ct)$ ist eine nach links laufende Welle mit Profil $F$
- \item $G(x-ct)$ ist eine nach rechts laufende Welle mit Profil $G$
+ \item $F(x+ct)$ ist eine nach links laufende Welle mit Profil $F$.
+ \item $G(x-ct)$ ist eine nach rechts laufende Welle mit Profil $G$.
\item Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung zweier solcher Wellen.
\end{itemize}
@@ -1656,117 +1197,132 @@ mit beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $F,G$
\begin{frame}
- \frametitle{Nach links laufende Welle}
+ \frametitle{Beispiel: Nach links laufende Welle}
+
+ \medskip
+
+ Wähle $F(x+ct) = \cos(x+ ct)$ und $G(x-ct) = 0$.
+
+ \medskip
\begin{overlayarea}{\textwidth}{0.8\textheight}
\only<1>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 0$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=0$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<2>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 1$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+0.8)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=1$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<3>{
-
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 2$
-
- \begin{tikzpicture}
-\begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+1.6)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=2$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<4>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 3$
-
- \begin{tikzpicture}
-\begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+2.4)};
\end{axis}
-\end{tikzpicture}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=3$};
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<5>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 4$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+3.2)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=4$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<6>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 5$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+4)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=5$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<7>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 6$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+4.8)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=6$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<8>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 7$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+5.6)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=7$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<9>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 8$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+6.4)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=8$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\only<10>{
- $\cos(x+ ct)$ bei $t = 9$
-
+ \begin{center}
\begin{tikzpicture}
- \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=30]
+ \begin{axis}[xmax=6,ymax=2, samples=60]
\addplot[blue, ultra thick] {cos(deg(x+7.2)};
\end{axis}
+ \node[draw] at (6,5) {$t=9$};
\end{tikzpicture}
+ \end{center}
}
\end{overlayarea}
\end{frame}
\begin{frame}
-\frametitle{Beispiel}
-Allgemeine Lösung der homogene Wellengleichung
+\frametitle{Stehende Wellen}
+Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung
\[
u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)
\]
@@ -1789,7 +1345,7 @@ mit beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $F,G$
\medskip
-\structure{Additionstheorem:}
+\structure{Additionstheoreme:}
\begin{equation*}
u(x,t)
=
@@ -1801,10 +1357,12 @@ Eine \cblue{stehende Welle}!
\end{frame}
+\subsubsection{Der mehrdimensionale Fall}
+
\begin{frame}
\frametitle{Ebene Wellen}
- \bigskip
+ \medskip
Die Funktionen $F$, $G$ heißen \cblue{ebene Wellen}.
@@ -1818,13 +1376,19 @@ Eine \cblue{stehende Welle}!
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Big( \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \Big)
\end{equation*}
- Aus $F(x+ct)$ wird $F(\langle \mathbf{a}, x\rangle + ct)$, \\ \qquad \qquad
- aus $G(x-ct)$ wird $G(\langle \mathbf{a}, x\rangle - ct)$.
+
+ \begin{itemize}
+ \item Wähle einen Einheitsvektor $\mathbf{a} \in \R^d$.
+
+ \item Ersetze
+ \begin{alignat*}{2}
+ & F(x+ct) & \qquad \text{durch} \qquad & F(\langle \mathbf{a}, x\rangle + ct), \\
+ & G(x-ct) & \qquad \text{durch} \qquad & G(\langle \mathbf{a}, x\rangle - ct).
+ \end{alignat*}
\medskip
\pause
- \begin{itemize}
\item Für konstantes $t$ ist der Wert von $F$ konstant auf Ebenen senkrecht zu $\mathbf{a}$.
\item Wellen bewegen sich mit Geschwindigkeit $c$ in Richtung von~$\mathbf{a}$.
@@ -1833,21 +1397,36 @@ Eine \cblue{stehende Welle}!
\end{frame}
+\subsubsection{Anfangswerte}
\begin{frame}
-\frametitle{Anfangswertproblem der Wellengleichung}
+\frametitle{Das Anfangswertproblem}
+
+ Jetzt wieder das \cblue{ein}dimensionale Problem
+ \begin{equation*}
+ u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t)
+ \qquad
+ x \in \R, \; t > 0
+ \end{equation*}
+
+
+ \medskip
- \structure{Homogene Wellengleichung:}
+ \structure{Allgemeine Lösung:}
\[
u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)
\]
-\bigskip
+\pause
\structure{Anfangsbedingungen:}
-\begin{alignat*}{2}
-u(x,0) & = \varphi(x) & \qquad & \text{für $x \in \R$}\\
-\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) & = \psi(x) & & \text{für $x\in\R$}
-\end{alignat*}
+\begin{itemize}
+ \item Gleichung \cblue{zweiter Ordnung} in der Zeit.
+ \item Es werden \cblue{zwei} Anfangsbedingungen gebraucht:
+ \begin{alignat*}{2}
+ u(x,0) & = \varphi(x) & \qquad & \text{für $x \in \R$}\\
+ u_t(x,0) & = \psi(x) & & \text{für $x\in\R$}.
+ \end{alignat*}
+\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
@@ -1870,26 +1449,65 @@ u(x,0) & = F(x) + G(x) = \varphi(x) & \qquad & \text{für $x \in \R$}\\
\begin{frame}
\frametitle{Anfangswertproblem der Wellengleichung}
-Aus $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = c(F'(x) - G'(x)) = \psi(x)$ folgt
+Aus der \structure{zweiten Bedingung}
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = c(F'(x) - G'(x)) = \psi(x)
+\end{equation*}
+folgt mit dem Hauptsatz
+\begin{equation*}
+ F(x) - G(x) = \frac{1}{c} \int_0^x\psi(y)\,dy.
+\end{equation*}
+
+\pause
+\structure{Erste Bedingung:}
\begin{equation*}
- F(x) - G(x) = \frac{1}{c} \int_0^x\psi(y)\,dy
+ F(x) + G(x) = \varphi(x)
\end{equation*}
\pause
-Deshalb: (mit $\xi = x + ct$, $\eta = x-ct$)
+Das erfüllt gerade: (mit $\xi = x + ct$, $\eta = x-ct$)
\begin{equation*}
F(\xi) = \frac{1}{2}\Big[\varphi(\xi) + \frac{1}{c} \int_0^\xi \psi(y)\,dy \Big]
\qquad
G(\eta) = \frac{1}{2}\Big[\varphi(\eta) - \frac{1}{c} \int_0^\eta \psi(y)\,dy \Big]
\end{equation*}
-\pause
+\end{frame}
-\structure{Lösung des AWPs:}
-\begin{align*}
-u(x,t) & = \frac{1}{2}\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big)+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(y)\,dy
-\end{align*}
+\begin{frame}
+\frametitle{Anfangswertproblem der Wellengleichung}
+
+ Eindimensionale Wellengleichung
+ \begin{equation*}
+ u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t)
+ \qquad
+ x \in \R, \; t > 0
+ \end{equation*}
+
+ \medskip
+ \pause
+
+ \structure{Allgemeine Lösung:}
+ \[
+ u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)
+ \]
+
+ \pause
+
+ \structure{Anfangsbedingungen} erzwingen:
+ \begin{equation*}
+ F(\xi) = \frac{1}{2}\Big[\varphi(\xi) + \frac{1}{c} \int_0^\xi \psi(y)\,dy \Big]
+ \qquad
+ G(\eta) = \frac{1}{2}\Big[\varphi(\eta) - \frac{1}{c} \int_0^\eta \psi(y)\,dy \Big]
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \structure{Lösung des Anfangswertproblems:}
+ \begin{align*}
+ u(x,t) & = \frac{1}{2}\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big)\cred{+}\frac{1}{2c}\int_{\cred{x-ct}}^{x+ct} \psi(y)\,dy
+ \end{align*}
\end{frame}
% ======================================================================
@@ -1900,7 +1518,7 @@ u(x,t) & = \frac{1}{2}\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big)+\frac{1}{2c}\int_{x-
\medskip
-\structure{Lösung des AWPs:}
+\structure{Lösung:}
\begin{align*}
u(x,t) & = \frac{1}{2}\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big)+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(y)\,dy
\end{align*}
@@ -1926,8 +1544,8 @@ clip=false,
\addplot[draw=black,mark=*,only marks]
coordinates { (0.7,1) (1.7,0) (2.7,1) };
\node[anchor=north] at (1.7,0) {\footnotesize $(x,0)$};
-\node[anchor=south] at (0.7,1) {\footnotesize $(x\!-\!at,t)$};
-\node[anchor=south] at (2.7,1) {\footnotesize $(x\!+\!at,t)$};
+\node[anchor=south] at (0.7,1) {\footnotesize $(x\!-\!ct,t)$};
+\node[anchor=south] at (2.7,1) {\footnotesize $(x\!+\!ct,t)$};
\node[anchor=south,color=white] at (0.7,1.4)
{\footnotesize $\quad(x\!-\!at,s\!+\!t)$};
\node[anchor=south,color=white] at (2.7,1.4)
@@ -1957,137 +1575,428 @@ clip=false,
\addplot[fill=red,draw=red,mark=*,only marks]
coordinates { (0.7,0) (2.7,0) };
\node[anchor=south] at (1.7,1) {\footnotesize $(x,t)$};
-\node[anchor=north] at (0.7,0) {\footnotesize $(x\!-\!at,0)$};
-\node[anchor=north] at (2.7,0) {\footnotesize $(x\!+\!at,0)$};
+\node[anchor=north] at (0.7,0) {\footnotesize $(x\!-\!ct,0)$};
+\node[anchor=north] at (2.7,0) {\footnotesize $(x\!+\!ct,0)$};
+\end{axis}
+
+\begin{axis}[
+name=ml,
+at=(ol.below south west), anchor=above north west,
+yshift=+0.5em,
+xmin=-0.25,xmax=3.25,ymin=-0.5,ymax=1.5,
+axis lines=center,axis line style={-LaTeX},
+width=0.575\textwidth,
+height=0.375\textheight,
+axis on top,
+xtick=\empty,
+ytick=\empty,
+xlabel={$x$},
+ylabel={$t$},
+y label style={anchor=east},
+clip=false,
+]
+\addplot[draw=black,fill=blue,thick]
+ coordinates { (0.7,1) (1.7,0) (2.7,1) };
+\addplot[draw=black,mark=*,only marks]
+ coordinates { (0.7,1) (1.7,0) (2.7,1) };
+\node[anchor=north] at (1.7,0) {\footnotesize $(x,0)$};
+\node[anchor=south] at (0.7,1) {\footnotesize $(x\!-\!ct,t)$};
+\node[anchor=south] at (2.7,1) {\footnotesize $(x\!+\!ct,t)$};
+\node[anchor=south,color=white] at (0.7,1.4)
+ {\footnotesize $\quad(x\!-\!at,s\!+\!t)$};
+\node[anchor=south,color=white] at (2.7,1.4)
+ {\footnotesize $(x\!+\!at,s\!+\!t)\quad$};
+\end{axis}
+
+\begin{axis}[
+name=mr,
+at=(ml.right of south east), anchor=left of south west,
+xshift=2em,
+xmin=-0.25,xmax=3.25,ymin=-0.5,ymax=1.5,
+axis lines=center,axis line style={-LaTeX},
+width=0.575\textwidth,
+height=0.375\textheight,
+%axis on top,
+xtick=\empty,
+ytick=\empty,
+xlabel={$x$},
+ylabel={$t$},
+y label style={anchor=east},
+clip=false,
+]
+\addplot[draw=black,thin]
+ coordinates { (0.7,0) (1.7,1) (2.7,0) };
+\addplot[draw=black,mark=*,only marks]
+ coordinates { (1.7,1) };
+\addplot[fill=red,draw=red,mark=*,only marks]
+ coordinates { (0.7,0) (2.7,0) };
+\addplot[draw=red,thick]
+ coordinates { (0.7,0) (2.7,0) };
+\node[anchor=south] at (1.7,1) {\footnotesize $(x,t)$};
+\node[anchor=north] at (0.7,0) {\footnotesize $(x\!-\!ct,0)$};
+\node[anchor=north] at (2.7,0) {\footnotesize $(x\!+\!ct,0)$};
\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+\end{center}
+\textcolor{blue}{Einflussbereiche} und
+\textcolor{red}{Abhängigkeitsgebiete} der Anfangsauslenkung
+$\varphi$ (oben) und der Anfangsgeschwindigkeit $\psi$ (unten)
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Die Wellengleichung auf einem beschränkten Gebiet}
+
+% ======================================================================
+% Homogene Wellengleichung mit homogenen RB
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Die Wellengleichung auf einem beschränkten Gebiet}
+
+ \medskip
+
+ Betrachte die Wellengleichung
+ \begin{equation*}
+ u_{tt}(x,t) - c^2 u_{xx}(x,t) = 0
+ \qquad
+ t>0
+ \end{equation*}
+ nur noch auf dem beschränkten Gebiet
+ \begin{equation*}
+ \Omega \colonequals (0,\ell).
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \structure{Randbedingungen:}
+ \[
+ u(0,t) = 0,\quad u(\ell,t) = 0\qquad
+ \text{für $t>0$}
+ \]
+
+ \medskip
+ \pause
+
+ \structure{Anfangsbedingungen:} (wie bisher)
+ \[
+ u(x,0) = \varphi(x),\quad
+ u_t(x,0) = \psi(x)\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
+ \]
+
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Separationsansatz
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Separationsansatz}
+
+ \structure{Produktansatz} wie bei der Wärmeleitungsgleichung:
+ \[
+ u(x,t) = X(x)T(t)
+ \]
+
+ \pause
+
+ \structure{Einsetzen und Umstellen:}
+\[
+\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda = \text{konstant}
+\]
+
+ \pause
+
+ \structure{Ergebnis:} zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
+\begin {align*}
+T''(t) - c^2\lambda T(t) & = 0,\\
+X''(x) - \lambda X(x) & = 0
+\end{align*}
+ \cred{Fast} wie bei der Wärmeleitungsgleichung
+
+\smallskip
+\pause
+
+ \structure{Homogene Dirichlet-Randbedingungen} für $u$ ergeben:
+\[
+X(0) = X(\ell) = 0
+\]
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Ortsproblem}
+\bigskip
+
+ \structure{Eigenwertproblem:}
+\[
+X''(x) - \lambda X(x) = 0,\qquad
+X(0) = X(\ell) = 0
+\]
+\begin{itemize}
+ \item \cred{Genau} wie bei der Wärmeleitungsgleichung
+\end{itemize}
+
+\pause
+\bigskip
+
+ \structure{Lösungen:}
+ \begin{equation*}
+ \lambda_n = -\Big(\frac{n\pi}{\ell}\Big)^2,
+ \quad
+ X_n(x) = \sin\Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big),
+ \quad
+ n\in\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}
+ \end{equation*}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Weiterer Lösungsaufbau
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Zeitproblem}
+
+ \structure{Zeit-Differentialgleichung} mit $\lambda_n = -(n\pi/\ell)^2$:
+\[
+T_n''(t) + \frac{c^2 n^2\pi^2}{\ell^2} T_n(t) = 0
+\]
+
+\pause
+\structure{Lösung davon:}
+
+\[
+T_n(t) = C_n \cos\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n \sin\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)
+\]
+
+\pause
+\medskip
+
+\structure{Lösung der Wellengleichung:}
+\begin{align*}
+ u(x,t)
+ & =
+ \sum_{n=1}^{\infty} X_n(x) T_n(t)\\
+ & =
+ \sum_{n=1}^{\infty} \sin\Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big)
+ \Big[
+ C_n \cos\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n \sin\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)\Big]
+\end{align*}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Realisierung der Anfangsbedingung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Realisierung der Anfangsbedingungen}
+
+\structure{Die Lösung und ihre Zeitableitung:}
+\begin{align*}
+u(x,t) & = \sum_{n=1}^\infty
+ \sin\Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big)
+ \Big[
+ C_n \cos\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n \sin\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)\Big],\\[-1ex]
+ %
+ u_t(x,t) & = \sum_{n=1}^\infty
+\sin \Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big) \frac{cn\pi}{\ell}
+\Big[
+ - C_n \sin\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n \cos\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)\Big]
+\end{align*}
+
+\pause
+
+\structure{Anfangsbedingungen:}
+\begin{alignat*}{2}
+\varphi(x) & \stackrel{!}{=} u(x,0) & & =
+\sum_{n=1}^\infty C_n \sin\Big(\frac{n\pi x}{\ell}\Big),
+\\[-1ex]
+\psi(x) & \stackrel{!}{=} u_t(x,0) & & =
+\sum_{n=1}^{\infty} D_n \frac{cn\pi}{\ell}
+\sin\Big(\frac{n\pi x}{\ell}\Big)
+\end{alignat*}
+
+\pause
+
+ \structure{Fourier-Entwicklungen} von $\varphi$ und $\psi$ in Sinus-Terme:
+\[
+C_n \!=\! \frac{2}{\ell} \int_0^{\ell}\!\! \varphi(z)
+\sin\Big(\frac{n\pi z}{\ell}\Big)\,dz,\quad
+D_n \!=\! \frac{\ell}{cn\pi} \frac{2}{\ell} \int_0^{\ell}\!\! \psi(z)
+\sin\Big(\frac{n\pi z}{\ell}\Big)\,dz
+\]
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Beispiel}
+ \structure{Wellengleichung:}
+ \begin{itemize}
+ \item Wähle $\ell = \pi$ und $c = 3$
+ \[
+ u_{tt}(x,t) - 9 u_{xx}(x,t) = 0\qquad \text{für $x\in(0,\pi),\; t>0$}
+ \]
+ \item \cblue{Homogenen Randbedingungen}
+ \end{itemize}
+
+
+ \structure{Allgemeine Lösung:}
+ \[
+ u(x,t)
+ =
+ \sum_{n=1}^\infty \sin(nx) \big( C_n \cos(3nt) + D_n \sin(3nt)\big)
+ \]
+mit Koeffizienten $C_n$ und $D_n$
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Beispiel}
+
+\structure{Anfangsbedingungen:}
+\[
+u(x,0) = \sin(x),\quad
+u_t(x,0) = \sin(4x)\qquad\text{ für } x\in(0,\pi)
+\]
+Lösungsdarstellung nach Separationsansatz
+\[
+u(x,t)
+= \sum_{n=1}^{\infty}
+\sin(nx) \big( C_n \cos(3nt) + D_n \sin(3nt)\big)
+\]
+mit Koeffizienten $C_n$ und $D_n$ aus den Entwicklungen
+\[
+\sin(x) =
+\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(nx),
+\quad
+\sin(4x) =
+\sum_{n=1}^{\infty} 3n D_n \sin(nx)
+\]
+Also $C_n = 1$
+
+$D_4 = \frac{1}{12}$
+
+Alle anderen Koeffizienten sind Null.
+
+\end{frame}
+
+% ======================================================================
+% Lösung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Lösung}
+\begin{center}
+\movie[externalviewer]{
+\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
-name=ml,
-at=(ol.below south west), anchor=above north west,
-yshift=+0.5em,
-xmin=-0.25,xmax=3.25,ymin=-0.5,ymax=1.5,
-axis lines=center,axis line style={-LaTeX},
-width=0.575\textwidth,
-height=0.375\textheight,
-axis on top,
-xtick=\empty,
-ytick=\empty,
-xlabel={$x$},
-ylabel={$t$},
-y label style={anchor=east},
-clip=false,
+view={150}{20},
+z buffer=sort,
+xtick={0,1.57,3.14},
+xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
+ytick={0,1,2,3},
+ztick={-1,0,1},
+xlabel=$x$,
+ylabel=$t$,
+zlabel=$u$,
+axis lines=box,
+3d box=complete,
+ylabel style={rotate=-90},
+zlabel style={rotate=-90},
+colormap/hsv,
+xmin=0, xmax=3.141,
+ymin=0, ymax=3,
+height=0.7\textheight,
]
-\addplot[draw=black,fill=blue,thick]
- coordinates { (0.7,1) (1.7,0) (2.7,1) };
-\addplot[draw=black,mark=*,only marks]
- coordinates { (0.7,1) (1.7,0) (2.7,1) };
-\node[anchor=north] at (1.7,0) {\footnotesize $(x,0)$};
-\node[anchor=south] at (0.7,1) {\footnotesize $(x\!-\!at,t)$};
-\node[anchor=south] at (2.7,1) {\footnotesize $(x\!+\!at,t)$};
-\node[anchor=south,color=white] at (0.7,1.4)
- {\footnotesize $\quad(x\!-\!at,s\!+\!t)$};
-\node[anchor=south,color=white] at (2.7,1.4)
- {\footnotesize $(x\!+\!at,s\!+\!t)\quad$};
-\end{axis}
-\begin{axis}[
-name=mr,
-at=(ml.right of south east), anchor=left of south west,
-xshift=2em,
-xmin=-0.25,xmax=3.25,ymin=-0.5,ymax=1.5,
-axis lines=center,axis line style={-LaTeX},
-width=0.575\textwidth,
-height=0.375\textheight,
-%axis on top,
-xtick=\empty,
-ytick=\empty,
-xlabel={$x$},
-ylabel={$t$},
-y label style={anchor=east},
-clip=false,
-]
-\addplot[draw=black,thin]
- coordinates { (0.7,0) (1.7,1) (2.7,0) };
-\addplot[draw=black,mark=*,only marks]
- coordinates { (1.7,1) };
-\addplot[fill=red,draw=red,mark=*,only marks]
- coordinates { (0.7,0) (2.7,0) };
-\addplot[draw=red,thick]
- coordinates { (0.7,0) (2.7,0) };
-\node[anchor=south] at (1.7,1) {\footnotesize $(x,t)$};
-\node[anchor=north] at (0.7,0) {\footnotesize $(x\!-\!at,0)$};
-\node[anchor=north] at (2.7,0) {\footnotesize $(x\!+\!at,0)$};
-\end{axis}
+\addplot3[surf, mesh/rows=51, mesh/cols=61, shader=faceted interp,
+faceted color=black!50,ultra thin] file {videodata/WelleAB_plot.dat};
+\end{axis}
\end{tikzpicture}
-
+}{WelleAB.mp4}
\end{center}
-\textcolor{blue}{Einflussbereiche} und
-\textcolor{red}{Abhängigkeitsgebiete} der Anfangsauslenkung
-$\varphi$ (oben) und der Anfangsgeschwindigkeit $\psi$ (unten)
+\[
+u(x,t) = \sin(x)\cos(3t) + \frac{1}{12}\sin(4x)\sin(12t)
+\]
\end{frame}
+\subsection{Wellengleichung mit Quellterm}
-% ======================================================================
-% Endlich lange Saite mit homogenen Randbedingungen
-% ======================================================================
\begin{frame}
-\frametitle{Endlich lange Saite mit homogenen Randbedingungen}
-Wellengleichung mit Konstante $a>0$
+\frametitle{Wellengleichung mit Quellterm}
+ \structure{\cblue{Inhomogene} Wellengleichung:}
\[
-u_{tt}(x,t) - a^2 u_{xx}(x,t) = f(x,t)\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
-t>0
+u_{tt}(x,t) - c^2 u_{xx}(x,t) = f(x,t)\quad\text{ für } x\in(0,\ell),\;
+t>0
\]
-Anfangsbedingungen
+
+\begin{itemize}
+ \item Der Quellterm $f(x,t)$ ist eine externe Anregung.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+ \structure{Homogene Anfangsbedingungen:}
\[
-u(x,0) = \varphi(x),\quad
-u_t(x,0) = \psi(x)\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
+u(x,0) = 0,\quad
+u_t(x,0) = 0\qquad\text{ für } x\in(0,\ell)
\]
-homogene Randbedingungen
+ \structure{Homogene Randbedingungen:}
\[
-u(0,t) = u(\ell,t) = 0\qquad\text{ für } t>0
+u(0,t) = u(\ell,t) = 0\qquad \text{für $t>0$}
\]
\end{frame}
% ======================================================================
-% Lösungsdarstellung nach d'Alembert
+% Variation der Konstanten
% ======================================================================
\begin{frame}
-\frametitle{Lösungsdarstellung nach d'Alembert}
-Lösung:\\[-3em]
+\frametitle{Variation der Konstanten}
+ \structure{Erinnerung:}
+\[
+u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty
+\sin\Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big) \Big[
+ C_n \cos\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n \sin\Big(\frac{an\pi}{\ell}t\Big)\Big]
+\]
+löst homogene Wellengleichung mit homogenen Randbedingungen.
+\bigskip
+\pause
+
+\structure{Idee:} Variation der Konstanten
\begin{align*}
-u(x,t) & = \frac{1}{2}\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big)\\
-&\qquad +\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi(y)\,dy\\
-&\qquad +\frac{1}{2a}\int_0^t \int_{x-a(t-s)}^{x+a(t-s)} f(y,s)\,dy\,ds
+u(x,t) & = \sum_{n=1}^\infty
+\sin\Big(\frac{n\pi}{\ell}x\Big)\underbrace{\Big[
+ C_n\cred{(t)} \cos\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)
+ + D_n\cred{(t)} \sin\Big(\frac{cn\pi}{\ell}t\Big)\Big]}_%
+ {\displaystyle \equalscolon a_n(t)}\\
+& = \sum_{n=1}^{\infty} a_n(t)
+\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)
\end{align*}
-~\\
-Dabei werden sowohl der Quellterm $f$ bezüglich $x$ als auch die beiden
-Anfangsbedingungen $\varphi$ und
-$\psi$ ungerade mit der Periode $2\ell$ von $(0,\ell)$ auf $\mathbb{R}$
-fortgesetzt.
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[>=LaTeX]
-\begin{axis}[%
-width=0.50\textwidth,
-xtick={-1,1,2},
-xticklabels={{\footnotesize $-\ell\;$}, {\footnotesize $\ell$},
- {\footnotesize $2\ell$}},
-ytick=\empty,
-axis lines=center,axis line style={-LaTeX},
-%axis on top,
-xshift=-2em,
-xmin=-2.75, xmax=4.75,
-ymin=-1.1, ymax=1.1]
-\addplot[draw=blue,thick,domain=0:1,samples=101] ({x},{x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({-x},{-x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({x-2},{x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({-x-2},{-x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({x+2},{x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({-x+2},{-x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({-x+4},{-x^3});
-\addplot[draw=red,thick,domain=0:1,samples=101] ({x+4},{x^3});
-\end{axis}
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Bestimmung von a_n
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Bestimmung von $a_n(t)$}
+Einsetzen des Lösungansatzes liefert
+\[
+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n''(t) + \frac{a^2 n^2 \pi^2}{\ell^2}
+a_n(t)\right) \sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)
+= f(x,t)
+\]
+Annahme: Der Quellterm $f(x,t)$ ist für jedes $t>0$ in eine Sinus-Reihe
+entwickelbar
+\[
+f(x,t) \!=\! \sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)
+\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right),\;\;
+f_n(t) \!=\! \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell} \!\!f(x,t)
+\sin\left(\frac{n\pi}{\ell}x\right)\,dx
+\]
+\bigskip
+
+gewöhnliche Differentialgleichung für $a_n$
+\[
+a_n''(t) + \frac{a^2 n^2 \pi^2}{\ell^2} a_n(t) = f_n(t)
+\]
+homogene Anfangsbedingungen für $u$ liefern
+\[
+a_n(0) = 0, \quad a_n'(0) = 0
+\]
\end{frame}
% ======================================================================
% Beispiel
@@ -2099,10 +2008,10 @@ Wellengleichung
u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) = \sin(x)e^{-t}
\quad\text{ für } x\in(0,\pi),\; t>0
\]
-Anfangsbedingungen
+homogene Anfangsbedingungen
\[
-u(x,0) = 0,\quad
-u_t(x,0) = \sin(2x)\qquad\text{ für } x\in(0,\pi)
+u(x,0) = 0\quad
+u_t(x,0) = 0\qquad\text{ für } x\in(0,\pi)
\]
Randbedingungen
\[
@@ -2138,15 +2047,115 @@ ymin=0, ymax=10,
]
\addplot3[surf, mesh/rows=51, mesh/cols=61, shader=faceted interp,
-faceted color=black!50,ultra thin] file {videodata/WelleDalembert_plot.dat};
+faceted color=black!50,ultra thin] file {videodata/WelleQuelle_plot.dat};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+}{WelleQuelle.mp4}
+\[
+u(x,t) = \frac{1}{2}\big(\sin(t)-\cos(t)+e^{-t}\big)\sin(x)
+\]
+\end{frame}
+
+% ======================================================================
+% Berücksichtigung von inhomogenen Randbedingungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Berücksichtigung von inhomogenen Randbedingungen}
+inhomogene Randbedingungen
+\[
+u(0,t) = \psi_L(t),\; u(\ell,t) = \psi_R(t)\quad\text{ für } t>0
+\]
+definiere Funktion
+\[
+v(x,t) \colonequals u(x,t) - \left( \left(1-\frac{x}{\ell}\right) \psi_L(t)
++\frac{x}{\ell} \psi_R(t)\right)
+\]
+\bigskip
+
+Eigenschaften von $v$:
+\begin{itemize}
+\item $v$ hat homogene Randbedingungen
+
+\item $v$ erfüllt Wellengleichung mit angepasstem Quellterm und
+angepasster Anfangsbedingung
+\end{itemize}
+\bigskip
+
+gleiches Vorgehen wie bei den Wärmeleitungsgleichung
+\end{frame}
+
+% ======================================================================
+% Erhaltung rauer Anfangsdaten
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Erhaltung rauer Anfangsdaten}
+Problemstellung
+\begin{alignat*}{2}
+u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) & = 0 &\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\;t>0,\\
+u(0,t) = u(\pi,t) & = 0&\quad& \text{ für } t>0,\\
+u(x,0) & = 2\sin(x) +\sin(15x)&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\\
+u_t(x,0) & = 0&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi)
+\end{alignat*}
+\begin{center}
+\movie[externalviewer]{
+\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+\begin{axis}[
+xmin = 0, xmax = 3.141,
+ymin = -0.5, ymax = 3.5,
+xtick={0,1.57,3.14},
+xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
+%xlabel=$x$,
+%ylabel=$\varphi$,
+height=0.675\textheight,
+]
+\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=0:3.141,samples=1001]
+ {2*sin(deg(x))+sin(15*deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
-}{WelleDalembert.mp4}
+}{WelleGlatt.mp4}
+\end{center}
\[
-u(x,t) = \frac{1}{2}\sin(2x)\sin(2t) + \frac{1}{2}\big(\sin(t)-\cos(t)+e^{-t}\big)\sin(x)
+u(x,t) = 2\sin(x)\cos(t) + \sin(15x)\cos(15t)
\]
\end{frame}
+% ======================================================================
+% Auswirkungen der verschiedenen Randbedingungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Auswirkungen der verschiedenen Randbedingungen}
+Problemstellung
+\begin{alignat*}{2}
+u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) & = 0 &\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\;t>0,\\
+u(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(\pi,t)
+& = 0&\quad& \text{ für } t>0,\\
+u(x,0) & = \varphi(x)&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi),\\
+u_t(x,0) & = 0&\quad&\text{ für } x\in(0,\pi)
+\end{alignat*}
+\begin{center}
+\movie[externalviewer]{
+\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+\begin{axis}[
+xmin = 0, xmax = 3.141,
+ymin = -0.25, ymax = 1.25,
+xtick={0,1.57,3.14},
+xticklabels={$0$,$\pi/2$,$\pi$},
+xlabel=$x$,
+ylabel=$\varphi$,
+height=0.675\textheight,
+x label style={at={(axis description cs:1,0)},anchor=west},
+y label style={at={(axis description cs:0,1)},rotate=-90,anchor=east},
+]
+\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=0:1.571,samples=11] {0};
+\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=1.571:2.094,samples=1001]
+ {-sin(6*deg(x))};
+\addplot[thick,draw=red,mark=none,domain=2.094:3.141,samples=11] {0};
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+}{WelleRB.mp4}
+\end{center}
+\end{frame}
\section{Die Poissongleichung}