diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.tex b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.tex
index 1ab63c60cced2e5c08ccd9eb05776b7172512ca5..50394833b0f1f7257fcb7c557ab795d043b78024 100644
--- a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.tex
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[handout,t]{beamer}
+\documentclass[t]{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsfonts}
@@ -97,7 +97,15 @@
\bigskip
- \cblue{Gewöhnliche} Differentialgleichungen
+ \cblue{Differentialgleichungen:}
+ \begin{itemize}
+ \item Gleichungen für eine unbekannte \cblue{Funktion}
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+ \pause
+
+ \cblue{Gewöhnliche} Differentialgleichungen:
\begin{itemize}
\item Gesucht: Funktion $y : t \mapsto \R^m$
\item Gleichung enthält Ableitungen von $y$
@@ -108,10 +116,10 @@
\bigskip
\pause
- \cblue{Partielle} Differentialgleichungen
+ \cblue{Partielle} Differentialgleichungen:
\begin{itemize}
\item Gesucht: Funktion $y : (t, x_0, \dots, x_d) \mapsto \R^m$
- \item Gleichung enthält \cblue{partielle} Ableitungen von $y$ nach $t$, $x_0$, $x_1$, \dots
+ \item Gleichung enthält \cblue{partielle} Ableitungen von $y$ nach $t$, $x_0$, \dots
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -161,7 +169,7 @@
\begin{frame}
\frametitle{$2$-Massen-Schwinger}
-\emph{Erinnerung:} Der 2-Massen-Schwinger
+\cblue{Erinnerung:} Der 2-Massen-Schwinger
\bigskip
@@ -194,22 +202,34 @@
\draw[->] (u2) -- (2.5, 0.85);
\end{tikzpicture}\\
+\medskip
+
Kraft, die auf Masse~1 wirkt:
\begin{equation*}
- m_1 \ddot{u}_1 = -k_1 u_1 + k(u_2 - u_1)
+ m_1 \ddot{u}_1 = -k_1 u_1 + k_2(u_2 - u_1)
+\end{equation*}
+
+Kraft, die auf Masse~2 wirkt:
+\begin{equation*}
+ m_2 \ddot{u}_2 = -k_2 u_2 + k_3(u_3 - u_2)
\end{equation*}
+\bigskip
+\pause
+
+System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen
+
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{$N$-Massen-Schwinger}
-\bigskip
+ \frametitle{Verallgemeinerung: $N$-Massen-Schwinger}
+\medskip
Wir beschreiben das Gummiband durch einen $N$-Massen-Schwinger:
\bigskip
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
% left fixture
\node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (l) at (-6.5,0) {};
\draw[thick] (-6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
@@ -239,18 +259,23 @@ Wir beschreiben das Gummiband durch einen $N$-Massen-Schwinger:
\node at (1,-1) {$i$};
\end{tikzpicture}
-Annahmen:
+\vspace{-0.8\baselineskip}
+
+\cblue{Annahmen:}
\begin{itemize}
- \item $N$ Massenstücke --- Abstand $h = 1/(N-1)$
+ \item $N$ Massenstücke --- Abstand $h = 1/(N+1)$
\item Alle Massen sind gleich $m$.
\item Alle Federkonstanten sind gleich $k$.
\end{itemize}
-Kräftegleichgewicht am $i$-ten Teilchen:
+\medskip
+\pause
+
+\cblue{Kräftegleichgewicht} am $i$-ten Teilchen:
\begin{align*}
m \ddot{u}_i
& =
- k (u_{i+1} - u_i) - k(u_i - u_{i-1}) \\
+ - k(u_i - u_{i-1}) + k (u_{i+1} - u_i) \\
& =
k (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})
\end{align*}
@@ -261,31 +286,123 @@ Kräftegleichgewicht am $i$-ten Teilchen:
\begin{frame}
\frametitle{Grenzübergang}
+ $N$-Massen-Schwinger:
+ \begin{itemize}
+ \item $N$ Massen
+ \item Abstand zwischen zwei Massen ist $h$
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+
Wie kommen wir vom Masse--Feder-System zum Gummiband?
\begin{itemize}
\item Wir betrachten den Grenzfall $N \to \infty$.
+ \item Äquivalent: $h \to 0$
\end{itemize}
\medskip
-Dazu: Sei $h$ der Abstand zwischen zwei Massestücken
+\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+ % left fixture
+ \node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (l) at (-6.5,0) {};
+ \draw[thick] (-6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
+
+ %right fixture
+ \node[rectangle,pattern = north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (r) at (6.5,0) {};
+ \draw[thick] ( 6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
+
+ % masses
+ \foreach \x in {-5,-3,-1,1,3,5}
+ {
+ \node[circle,fill=magenta,inner sep=1.5mm] at (\x,0) {};
+ }
+
+ % springs
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] (-6.25,0) -- ++(1.0,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] (-4.75,0) -- ++(1.5,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] (-2.75,0) -- ++(1.5,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] (-0.75,0) -- ++(1.5,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] ( 1.25,0) -- ++(1.5,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] ( 3.25,0) -- ++(1.5,0);
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.5mm, amplitude=1mm,coil},decorate] ( 5.25,0) -- ++(1.0,0);
+\end{tikzpicture}
\medskip
-\qquad \qquad = die Länge einer Feder.
+\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+ % left fixture
+ \node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (l) at (-6.5,0) {};
+ \draw[thick] (-6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
-\bigskip
+ %right fixture
+ \node[rectangle,pattern = north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (r) at (6.5,0) {};
+ \draw[thick] ( 6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
+
+ % masses
+ \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2, 3,4,5,6}
+ {
+ \node[circle,fill=magenta,inner sep=1.0mm] at (\x,0) {};
+ }
+
+ % springs
+ \foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2, 3,4,5}
+ {
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=1.0mm, amplitude=0.6mm,coil},decorate] (\x+0.25,0) -- ++(0.5,0);
+ }
+\end{tikzpicture}
+
+\medskip
+
+\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+ % left fixture
+ \node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (l) at (-6.5,0) {};
+ \draw[thick] (-6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
+
+ %right fixture
+ \node[rectangle,pattern = north east lines,minimum width=0.5cm,minimum height=1cm] (r) at (6.5,0) {};
+ \draw[thick] ( 6.25, -0.5) -- ++(0, 1);
+
+ % masses
+ \foreach \x in {-6,-5.5,-5,-4.5,-4,-3.5,-3,-2.5,-2.0,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6}
+ {
+ \node[circle,fill=magenta,inner sep=0.75mm] at (\x,0) {};
+ }
-Weitere Annahmen:
+ % springs
+ \foreach \x in {-6,-5.5,-5,-4.5,-4,-3.5,-3,-2.5,-2.0,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5}
+ {
+ \draw[decoration={aspect=0.3, segment length=0.6mm, amplitude=0.3mm,coil},decorate] (\x+0.15,0) -- ++(0.25,0);
+ }
+\end{tikzpicture}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Skalierung des Materialverhaltens}
+
+ Das Verhalten der Federn und Massen ändert sich, wenn ihre Anzahl zunimmt.
+ \begin{itemize}
+ \item Wir brauchen weitere Annahmen.
+ \end{itemize}
+
+ \medskip
+ \pause
+
+ \cblue{Federkonstante:}
\begin{itemize}
- \item Die Federkonstante ist umgekehrt proportional zur Länge der Feder:
+ \item \cblue{Annahme:} Die Federkonstante ist umgekehrt proportional zur Länge der Feder:
\begin{equation*}
k = \frac{E}{h}
\end{equation*}
- Die Zahl $E$ hängt von Material und Form der Feder ab.
+ \item Die Zahl $E$ hängt von Material und Form der Feder ab.
+\end{itemize}
- \item Die Masse ist proportional zu $h$:
+\medskip
+\pause
+\cblue{Masse:}
+\begin{itemize}
+ \item \cblue{Annahme:} Die Masse eines Teilchens ist proportional zu $h$:
\begin{equation*}
m = h D,
\qquad
@@ -297,23 +414,64 @@ Weitere Annahmen:
\begin{frame}
\frametitle{Differenzenquotienten}
- Einsetzen ins Kräftegleichgewicht:
+ \cblue{Kräftegleichgewicht} am $i$-ten Teilchen:
+\begin{align*}
+ m \ddot{u}_i
+ & =
+ k (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})
+\end{align*}
+
+ Einsetzen der skalierten Materialeigenschaften:
\begin{align*}
D \ddot{u}_i
& =
- \frac{E}{h^2} (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}).
+ \frac{E}{h^2} (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})
\end{align*}
-Sei jetzt eine Funktion $u$ auf ganz $[0,\infty) \times [0,1]$
-definiert, zweimal stetig differenzierbar, und mit $u(t,x_i) = u_i$ für alle $i$
+\medskip
+\pause
+
+\cblue{Grenzübergang:}
+
+\smallskip
+
+Seien $x_1,\dots,x_N$ die Ruhepositionen der Teilchen.
+
+\smallskip
+
+\cblue{Annahme:} Es gibt eine Funktion $u : [0,\infty) \times [0,1] \to \R$
+\begin{itemize}
+ \item zweimal stetig differenzierbar,
+ \item mit $u(t,x_i) = u_i$ für alle $i$.
+\end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Kräftegleichgewicht}
+
+\bigskip
+
+Aus dem Kräftegleichgewicht
+\begin{align*}
+ D \ddot{u}_i
+ & =
+ \frac{E}{h^2} (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})
+\end{align*}
+wird
\begin{align*}
D \ddot{u}(t,x_i)
& =
- E \frac{ u(t,x_{i-1}) - 2u(t,x_i) + u(t,x_{i+1})}{h^2} \\
+ E \frac{ u(t,x_{i-1}) - 2u(t,x_i) + u(t,x_{i+1})}{h^2} \\[2mm]
& =
E \frac{ u(t,x_i-h) - 2u(t,x_i) + u(t,x_i+h)}{h^2}.
\end{align*}
+\bigskip
+\pause
+
+Was passiert jetzt für $h \to 0$?
+
\end{frame}
\begin{frame}
@@ -327,11 +485,17 @@ Für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f : \R \to \R$ gilt
\end{equation*}
\end{lemma}
+
+\begin{overlayarea}{\textwidth}{0.6\textheight}
\structure{Begründung (kein Beweis):}
-\begin{itemize}
- \item Gesucht: eine Approximation von $f''$ an einer Stelle $x \in \R$.
+\only<2>{
+
+ \smallskip
+ \cblue{Gesucht:} eine Approximation von $f''$ an einer Stelle $x \in \R$.
- \item Mögliche Approximationen der ersten Ableitung
+ \smallskip
+ Mögliche Approximationen der ersten Ableitung:
+ \smallskip
\begin{itemize}
\item $f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}$
\qquad (linksseitiger Differenzenquotient)
@@ -342,8 +506,9 @@ Für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f : \R \to \R$ gilt
\item $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$
\qquad (zentraler Differenzenquotient)
\end{itemize}
-
- \item Das setzen wir geschickt ineinander und erhalten
+}
+\only<3>{
+ Das setzen wir geschickt ineinander und erhalten
\begin{align*}
f''(x)
& \approx
@@ -354,54 +519,62 @@ Für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion $f : \R \to \R$ gilt
\frac{ f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{2h^2}.
\qedhere
\end{align*}
-
-\end{itemize}
+}
+\end{overlayarea}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Die Wellengleichung}
-Deshalb erhält man im Grenzfall $h \to 0$ die sogenannte \emph{Wellengleichung}
+Deshalb erhält man im Grenzfall $h \to 0$ die sogenannte \cblue{Wellengleichung}
\begin{equation*}
D\ddot{u}(t,x) = 2E u''(t,x)
\end{equation*}
-oder auch
+Alternative Notation:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{2E}{D} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
\end{equation*}
-Die \cblue{Wellengleichung}
+\bigskip
+\pause
+
+Eine Lösung ist z.B.
+\begin{equation*}
+ u(t,x) = \sin \Big( t + \sqrt{\frac{D}{2E}} x \Big)
+\end{equation*}
+
+Wellen!
+
\end{frame}
\subsection{Lösungen der Wellengleichung}
\begin{frame}
- \frametitle{Lösungen der Wellengleichung}
+ \frametitle{Anfangs- und Randwerte}
-\cblue{Eine} Lösung:
+Die Lösung
\begin{equation*}
u(t,x) = \sin \Big( t + \sqrt{\frac{D}{2E}} x \Big)
\end{equation*}
-
-Wellen!
+ist nicht die einzige Lösung.
\bigskip
-Dies ist nicht die einzige Lösung.
-
-\bigskip
+\cblue{Anfangs-Randwertprobleme:}
Um eine eindeutige Lösung auszuwählen brauchen wir
\begin{itemize}
- \item Anfangswerte (zwei Stück, denn die Gleichung ist zweiter Ordnung
+ \item \cblue{Anfangswerte} (zwei Stück, denn die Gleichung ist zweiter Ordnung
in der Zeit)
\begin{alignat*}{2}
u(0,x) & = u_0(x) & \qquad & \text{für alle $x \in [0,1]$}, \\
\frac{\partial u}{\partial t}(0,x) & = v_0(x) & \qquad & \text{für alle $x \in [0,1]$}.
\end{alignat*}
- \item Randbedingungen, z.B.
+ \pause
+
+ \item \cblue{Randbedingungen}, z.B.
\begin{equation*}
u(t,0) = u(t,1) = 0
\qquad
@@ -410,8 +583,6 @@ Um eine eindeutige Lösung auszuwählen brauchen wir
\end{itemize}
-Man nennt solche Probleme \emph{Anfangs-Randwertprobleme}.
-
\end{frame}
\section{Erhaltungsgleichungen}
@@ -425,117 +596,128 @@ Man nennt solche Probleme \emph{Anfangs-Randwertprobleme}.
(eindimensional, modelliert durch ein Intervall $\Omega = (a,b)$)
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [|-|,thick] (0,0) -- (10,0);
+ \node at (5,-0.4) {$\Omega$};
+ \node at (0,-0.4) {$a$};
+ \node at (10,-0.4) {$b$};
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
\bigskip
\pause
\cblue{Größen:}
\begin{itemize}
- \item Dichte: \qquad\qquad $\rho : \Omega \times \R \to \R$ \qquad (kg/m)
- \item Geschwindigkeit: $v : \Omega \times \R \to \R$ \qquad (m/s)
- \item Quelldichte: \qquad $f: \Omega \times \R \to \R$ \qquad (kg/(sm))
+ \item Dichte: \qquad\qquad $\rho : \Omega \times [t_0,\infty) \to \R$ \qquad (kg/m)
+ \item Geschwindigkeit: $v : \Omega \times [t_0,\infty) \to \R$ \qquad (m/s)
+ \item Quelldichte: \qquad $f: \Omega \times [t_0,\infty) \to \R$ \qquad (kg/(sm))
\end{itemize}
\bigskip
\pause
\cblue{Grundlage:} Prinzip der Massenerhaltung
\begin{equation*}
- \text{Massenänderung} = \text{Quelle} - \text{Massenabfluss}
+ \text{Massenänderung} = \text{Quellen} + \text{Massenzufluss}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Massenbilanz}
+ \frametitle{Massenänderung}
\bigskip
- Wir betrachten ein (kurzes) Zeitintervall $[t, t+\Delta t]$.
- \bigskip
- 1) Massenänderung:
- \begin{equation*}
- \int_{\Omega'} \rho(x,t+\Delta t)\,dx - \int_{\Omega'} \rho(x,t)\,dx
- \end{equation*}
+ Betrachte ein Teilintervall $\hat\Omega$ von $\Omega = (a,b)$.
- 2) Massenzufluss und -abfluss
- \begin{equation*}
- \rho(a)v(a)\Delta t - \rho(b)v(b) \Delta t
- \end{equation*}
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [|-|,thick] (0,0) -- (10,0);
+ \draw [|-|,ultra thick, color=blue] (3,0) -- (6,0);
+ \node at (4.5,0.3) {\cblue{$\hat\Omega$}};
+ \node at (5,-0.4) {$\Omega$};
+ \node at (0,-0.4) {$a$};
+ \node at (10,-0.4) {$b$};
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
- 3) Quellen
+ Die Gesamtmasse in $\hat\Omega$ zur Zeit $t$ ist
\begin{equation*}
- \int_{\Omega'} f(x,t)\Delta t\,dx
+ M_{\hat\Omega}(t) \colonequals \int_{\hat\Omega} \rho(x,t)\,dx
\end{equation*}
+
+ \bigskip
+ \pause
+
+ \cblue{Massenänderung:}
+ \begin{itemize}
+ \item Betrachte ein (kurzes) Zeitintervall $[t, t+\Delta t]$.
+
+ \item In diesem Zeitraum ändert sich die Masse in $\hat\Omega$ um
+ \begin{equation*}
+ \int_{\hat\Omega} \rho(x,t+\Delta t)\,dx - \int_{\hat\Omega} \rho(x,t)\,dx.
+ \end{equation*}
+ \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Massenbilanz}
+ \frametitle{Massenzufluss und -abfluss}
-\begin{enumerate}
- \item Massenänderung:
- \begin{equation*}
- \int_{\Omega'} \rho(x,t+\Delta t)\,dx - \int_{\Omega'} \rho(x,t)\,dx
- \end{equation*}
+ Masse kann über den Rand von $\hat\Omega$ ein- und austreten
+ \begin{itemize}
+ \item Der Rand von $\hat\Omega$ besteht aus den zwei Punkten $\hat{a}, \hat{b} \in \R$.
+ \end{itemize}
- \item Massenzufluss und -abfluss
- \begin{itemize}
- \item Sei $b'$ der rechte Rand von $\Omega'$.
+ \bigskip
+ \cblue{Rechter Rand $\hat{b}$:}
\begin{itemize}
- \item Flüssigkeit tritt mit Geschwindigkeit $v(b')$ \emph{aus}.
+ \item Flüssigkeit tritt mit Geschwindigkeit $v(\hat{b})$ \cblue{aus}.
\item In der kurzen Zeit $\Delta t$ legt die Masse die Strecke $v \Delta t$
zurück.
- \item Es geht $\rho(b') v(b') \Delta t$ Masse über $b'$ verloren.
+ \item Es geht $\rho(\hat{b}) v(\hat{b}) \Delta t$ Masse über $\hat{b}$ verloren.
\end{itemize}
- \item Sei $a'$ der linke Rand von $\Omega'$.
- \begin{itemize}
- \item Flüssigkeit tritt mit Geschwindigkeit $-v(a')$ aus.
-
- \item Es geht $- \rho(a')v(a')\Delta t$ Masse über $a'$ verloren.
- \end{itemize}
- \end{itemize}
-
- \item Quellen/Senken
+ \bigskip
+ \pause
- Sei die Quelldichte $f$ über den Zeitraum $\Delta t$ konstant.
+ \cblue{Linker Rand $\hat{a}$:}
+ \begin{itemize}
+ \item Flüssigkeit tritt mit Geschwindigkeit $-v(\hat{a})$ aus.
- Die durch die Quelle bewirkte Massenänderung ist dann
- \begin{equation*}
- \int_{\Omega'} f(x,t)\Delta t\,dx.
- \end{equation*}
+ \item Es geht $- \rho(\hat{a})v(\hat{a})\Delta t$ Masse über $\hat{a}$ verloren.
+ \end{itemize}
-\end{enumerate}
+ \bigskip
+ \pause
+ Gesamter Massen\cblue{zu}fluss über den Rand von $\hat\Omega$:
+ \begin{equation*}
+ \rho(a)v(a)\Delta t - \rho(b)v(b) \Delta t
+ \end{equation*}
\end{frame}
-
\begin{frame}
- \frametitle{Erhaltungsgleichung}
+ \frametitle{Quellen und Senken}
- \bigskip
- Integraldarstellung
+ \cblue{Massenerhaltung:}
\begin{equation*}
- \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega'} \rho\,dx + \int_{\Omega'} (\rho v)'\,dx
- =
- \int_{\Omega'}f\,dx
+ \text{Massenänderung} = \text{Quellen} + \text{Massenzufluss}
\end{equation*}
\bigskip
+ \cblue{Quellen und Senken:}
\begin{itemize}
- \item Dies muss für \cblue{alle} Intervalle $\Omega'$ gelten.
- \pause
- \item Insbesondere muss es für \cblue{beliebig kleine Intervalle} gelten.
- \pause
- \item Deshalb gilt die \cblue{punktweise} Gleichung
- \begin{equation*}
- \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = f
- \qquad
- \forall t \in [t_0, \infty), x \in \Omega.
- \end{equation*}
+ \item Sei die Quelldichte $f$ über den Zeitraum $\Delta t$ konstant.
+ \item Die durch die Quelle bewirkte Massenänderung ist dann
+ \begin{equation*}
+ \int_{\hat\Omega} f(x,t)\Delta t\,dx.
+ \end{equation*}
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -547,36 +729,39 @@ Man nennt solche Probleme \emph{Anfangs-Randwertprobleme}.
\frametitle{Massenerhaltung}
Gesamtbilanz:
-\begin{equation*}
-\int_{\Omega'} \rho(x,t+\Delta T)\,dx - \int_{\Omega'} \rho(x,t)\,dx
+\begin{multline*}
+\int_{\hat\Omega} \rho(x,t+\Delta T)\,dx - \int_{\hat\Omega} \rho(x,t)\,dx \\
=
- \rho(a')v(a') \Delta t - \rho(b')v(b') \Delta t + \int_{\Omega'} f(x,t) \Delta t\,dx
-\end{equation*}
+ \rho(\hat{a})v(\hat{a}) \Delta t - \rho(\hat{b})v(\hat{b}) \Delta t + \int_{\hat\Omega} f(x,t) \Delta t\,dx
+\end{multline*}
+
+\pause
+
Division durch $\Delta t > 0$:
\begin{equation*}
- \int_{\Omega'} \frac{\rho(x,t+\Delta T) - \rho(x,t)}{\Delta t}\,dx
+ \int_{\hat\Omega} \frac{\rho(x,t+\Delta T) - \rho(x,t)}{\Delta t}\,dx
=
- \rho(a')v(a') - \rho(b')v(b') + \int_{\Omega'} f(x,t) \,dx
+ \rho(\hat{a})v(\hat{a}) - \rho(\hat{b})v(\hat{b}) + \int_{\hat\Omega} f(x,t) \,dx
\end{equation*}
+\pause
+
Grenzübergang $\Delta t \to 0$:
\begin{equation*}
- \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega'} \rho\,dx
+ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\hat\Omega} \rho\,dx
=
- \rho(a')v(a') - \rho(b')v(b') + \int_{\Omega'} f \,dx
+ \rho(\hat{a})v(\hat{a}) - \rho(\hat{b})v(\hat{b}) + \int_{\hat\Omega} f \,dx
\end{equation*}
-Dies ist die Integralform der Massenerhaltung.
+Dies ist (fast) die Integralform der Massenerhaltung.
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Massenerhaltung}
+ \frametitle{Integralform}
-\medskip
-
-($\rho(a')v(a') - \rho(b')v(b')$ is grob gesprochen das Integral von $\rho v$
- über den Rand von $\Omega'$.)
+% ($\rho(\hat{a})v(\hat{a}) - \rho(\hat{b})v(\hat{b})$ is grob gesprochen das Integral von $\rho v$
+% über den Rand von $\hat\Omega$.)
\medskip
@@ -584,31 +769,46 @@ Dies ist noch keine partielle Differentialgleichung.
\bigskip
-\emph{Aber}: Hauptsatz der Analysis:
-\begin{equation*}
- \rho(a')v(a') - \rho(b')v(b')
- =
- -\Big[ (\rho v)(b') - (\rho v)(a') \Big]
- =
- - \int_{a'}^{b'} (\rho v)'\,dx
+\cblue{Aber}: Hauptsatz der Analysis:
+\begin{align*}
+ \rho(\hat{a})v(\hat{a}) - \rho(\hat{b})v(\hat{b})
+ & =
+ -\Big[ (\rho v)(\hat{b}) - (\rho v)(\hat{a}) \Big] \\
+ & =
+ - \int_{\hat{a}}^{\hat{b}} (\rho v)'\,dx
=
- - \int_{\Omega'} (\rho v)'\,dx.
-\end{equation*}
+ - \int_{\hat\Omega} (\rho v)'\,dx.
+\end{align*}
Also folgt
\begin{equation*}
- \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega'} \rho\,dx + \int_{\Omega'} (\rho v)'\,dx
+ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\hat\Omega} \rho\,dx + \int_{\hat\Omega} (\rho v)'\,dx
+ =
+ \int_{\hat\Omega}f\,dx
+ \end{equation*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Partielle Differentialgleichung}
+
+ \bigskip
+ \cblue{Massenerhaltung} in Integralform:
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\hat\Omega} \rho\,dx + \int_{\hat\Omega} (\rho v)'\,dx
=
- \int_{\Omega'}f\,dx
+ \int_{\hat\Omega}f\,dx
+ \qquad
+ \forall t \in [t_0, \infty)
\end{equation*}
\bigskip
\begin{itemize}
- \item Dies muss für \emph{alle} Intervalle $\Omega'$ gelten.
+ \item Dies muss für \cblue{alle} Intervalle $\hat\Omega$ gelten.
- \item Insbesondere muss es für \emph{beliebig kleine Intervalle} gelten.
+ \item Insbesondere muss es für \cblue{beliebig kleine Intervalle} gelten.
- \item Deshalb gilt die \emph{punktweise} Gleichung
+ \item Deshalb gilt die \cblue{punktweise} Gleichung
\begin{equation*}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = f
\qquad
@@ -624,27 +824,52 @@ Also folgt
\begin{frame}
\frametitle{Konstitutive Gesetze}
-Entweder $v$ ist gegeben, dann ist dies eine Differentialgleichung für $\rho$
-(die sogenannte \emph{Transportgleichung}).
+ \cblue{Partielle Differentialgleichung:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial \big(\rho(x,t)\, v(x,t)\big)}{\partial x} = f
+ \qquad
+ \forall t \in [t_0, \infty), \quad x \in \Omega.
+ \end{equation*}
+
+ \cblue{Möglichkeit 1:} Geschwindigkeit $v$ ist gegeben.
+ \begin{itemize}
+ \item Dann ist dies eine Differentialgleichung für $\rho$
+ \item die sogenannte \cblue{Transportgleichung}.
+
+ \item Beispiel: Sand in einer Wasserströmung
+\end{itemize}
+\pause
\medskip
-Oder es ist eine zusätzliche Relation zwischen Dichte $\rho$ und
-Geschwindigkeit $v$ bekannt.
+ \cblue{Möglichkeit 2:} Zusätzliche Relation zwischen Dichte $\rho$ und
+ Geschwindigkeit $v$ ist bekannt.
+\begin{itemize}
+ \item Soll heißen: man kann die Geschwindigkeit aus der Dichte berechnen.
+ \item Solche Beziehungen nennt man \cblue{Materialgesetze} oder \cblue{konstitutive Gesetze}.
+\end{itemize}
+
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Autoerhaltung}
- \structure{Beispiel:} (Verkehrswissenschaften!)
+ \frametitle{Beispiel: Autoerhaltung}
+ %\structure{Beispiel:} (Verkehrswissenschaften!)
\bigskip
Sei $\Omega = (a,b)$ ein Autobahnabschnitt zwischen zwei Ausfahrten.
- \bigskip
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [|-|,thick] (0,0) -- (10,0);
+ \node at (5,-0.4) {$\Omega$};
+ \node at (0,-0.4) {$a$};
+ \node at (10,-0.4) {$b$};
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
- Größen:
+ \cblue{Größen:}
\begin{itemize}
\item Verkehrsdichte: $\rho : [t_0,\infty) \times \Omega \to \R$ \qquad Autos/m
\item Geschwindigkeit: $v: [t_0,\infty) \times \Omega \to \R$ \qquad m / s
@@ -663,52 +888,66 @@ Geschwindigkeit $v$ bekannt.
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Autoerhaltung}
+ \frametitle{Beispiel: Autoerhaltung}
- \bigskip
+ \cblue{Annahmen:}
+ \begin{enumerate}
+ \item Die Autodichte beschränkt:
+ \begin{equation*}
+ 0 \le \rho(x) \le \rho_\text{max}.
+ \end{equation*}
- Autoerhaltungsgleichung:
- \begin{equation*}
- \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0
- \end{equation*}
+ \pause
+ \item Die Leute fahren vernünftig:
+ \begin{equation*}
+ 0 \le v(x) \le v_\text{max}.
+ \end{equation*}
-Offenbar ist die Autodichte beschränkt:
-\begin{equation*}
- 0 \le \rho(x) \le \rho_\text{max}.
-\end{equation*}
+ \pause
-\emph{Annahme:} Die Leute fahren vernünftig:
-\begin{equation*}
- 0 \le v(x) \le v_\text{max}
-\end{equation*}
+ \item Wenn die Autobahn komplett voll ist ist die Geschwindigkeit gleich~0.
+ \begin{itemize}
+ \item Aus $\rho = \rho_\text{max}$ folgt $v = 0$.
+ \end{itemize}
-\emph{Annahme:} Wenn die Autobahn komplett voll ist ist die Geschwindigkeit gleich~0.
-\begin{itemize}
- \item Aus $\rho = \rho_\text{max}$ folgt $v = 0$.
-\end{itemize}
+ \pause
-\emph{Annahme:} Wenn die Autobahn leer ist wird gerast:
-\begin{itemize}
- \item Aus $\rho = 0$ folgt $v = v_\text{max}$.
-\end{itemize}
+ \item Wenn die Autobahn leer ist wird gerast:
+ \begin{itemize}
+ \item Aus $\rho = 0$ folgt $v = v_\text{max}$.
+ \end{itemize}
-Dazwischen interpolieren wir linear:
-\begin{equation*}
- v(\rho) = v_\text{max} \Big(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{max}}\Big).
-\end{equation*}
+ \pause
+ \item Dazwischen interpolieren wir linear:
+ \begin{equation*}
+ v(\rho) = v_\text{max} \Big(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{max}}\Big).
+ \end{equation*}
+ \end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Autoerhaltung}
-Einsetzen in die Erhaltungsgleichung ergibt
+\bigskip
+
+ Autoerhaltungsgleichung:
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0
+ \end{equation*}
+
+ Konstitutives Gesetz:
+ \begin{equation*}
+ v(\rho) = v_\text{max} \Big(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{max}}\Big).
+ \end{equation*}
+
+ Einsetzen in die Erhaltungsgleichung ergibt
\begin{equation*}
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+ v_\text{max} \frac{\partial}{\partial x} \Big[ \rho\big(1- \frac{\rho}{\rho_\text{max}}\Big)\Big]
= 0
\end{equation*}
-Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für $\rho$.
+ Eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für $\rho$.
\end{frame}