diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
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--- a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
@@ -1,5 +1,6 @@
 Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.pdf
 Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.pdf
+Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen-erster-Ordnung.pdf
 Kapitel_Numerik_von_partiellen_DGl.pdf
 Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.pdf
 herleitung-pdes.pdf
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--- /dev/null
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen-erster-Ordnung.tex
@@ -0,0 +1,469 @@
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+% title page
+\title[Grundlagen Mathematik]{Grundlagen Mathematik}
+\subtitle{9c.\ Lösungstechniken für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung}
+\author{Prof.\ Dr.\,Oliver Sander}
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+\date{}
+\datecity{Sommersemester 2023}
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+\begin{document}
+
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+% \setlength\abovedisplayskip{5pt}
+% \setlength\belowdisplayskip{5pt}
+% set title
+\maketitle
+% erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
+\justifying
+
+
+\subsection{Einfache Lösungsmethoden}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Einfache Lösungsmethoden I}
+Funktion $u$ der beiden Variablen $x$ und $y$
+\bigskip
+
+\begin{tabular}{l@{$\;\Rightarrow\;$}l}
+$u_x(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C(y)$\\[1em]
+$u_x(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\!
+\int^x \!\!\!\!f(t,y)\,dt \!+\! C(y)$\\[1em]
+$u_{xx}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+$u_{xx}(x,y) \!=\! f(x,y)$ &$\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
+\int^s \!\!\!\!f(t,y)\,dt\,ds \!+\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+$u_{xy}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+$u_{xy}(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
+\int^y\!\!\!\! f(s,t)\,dt\,ds \!+\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+Entsprechende Formeln gelten für Funktionen von drei Variablen.
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Einfache Lösungsmethoden II
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Einfache Lösungsmethoden II}
+alle Ableitungen erfolgen nur nach einer Variablen\\
+\qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u(x,y) = xy$\\
+\qquad gewöhnliche Differentialgleichung mit Parameter(n)
+\bigskip
+
+alle Ableitungen beinhalten gemeinsame Ableitung\\
+\qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u_{xxy}(x,y)=5x$\\
+\qquad diese Ableitung ausklammern, um Problem zu vereinfachen
+\end{frame}
+
+\subsection{Lineare Gleichungen erster Ordnung}
+\begin{frame}
+\frametitle{Lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
+Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
+Funktionen $a:G\to\mathbb{R}^n$, $b,f:G\to\mathbb{R}$
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+a\cdot\nabla u + b u = f
+\]
+oder ausführlich
+\[
+a_1(x)u_{x_1}(x) + \dots + a_n(x)u_{x_n}(x) + b(x) u(x) = f(x)
+\]
+
+verkürzte oder Rumpfdifferentialgleichung
+\[
+a(x)\cdot\nabla u(x) = 0
+\]
+\begin{definition}
+Eine Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung heißt trivial, wenn
+$u=\text{konstant}$ gilt, sonst nennen wir die Lösung nichttrivial.
+\end{definition}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Charakteristisches System
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Charakteristisches System}
+\begin{definition}
+Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
+\[
+a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
+\]
+Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
+\begin{align*}
+x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
+x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
+& \;\; \vdots\\
+x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big)
+\end{align*}
+heißt charakteristisches System der Rumpfdifferentialgleichung.
+\end{definition}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Charakteristiken
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Charakteristiken}
+\begin{definition}
+Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
+\[
+a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
+\]
+Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ des zugehörigen
+charakteristischen Systems
+heißt charakteristische Grundkurve oder Grundcharakteristik. Als
+Charakteristik wird jede Kurve im $(x_1,\dots,x_n,u)$-Raum bezeichnet,
+deren Parameterdarstellung durch
+\[
+\big(x_1(t),\dots,x_n(t),c\big)
+\]
+mit einer Konstanten $c\in\mathbb{R}$ gegeben ist. Alternativ werden
+Grundcharakteristiken implizit in der Form
+\[
+\varphi_1(x_1,\dots,x_n) = C_1,\quad\dots,\quad
+\varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n) = C_{n-1}
+\]
+mit Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
+und reellen Konstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$ dargestellt.
+\end{definition}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Lösungsdarstellung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Lösungsdarstellung}
+\begin{satz}
+Seien die Grundcharakteristiken durch
+\[
+C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+\]
+gegeben. Dann lässt sich jede Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung
+in der Form
+\[
+u(x) = F\big(\varphi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,
+\varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)\big)
+\]
+schreiben, wobei $F:\mathbb{R}^{n-1}\to\mathbb{R}$ eine beliebige stetig
+differenzierbare Funktion ist.
+\end{satz}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Phasen-Differentialgleichungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Phasen-Differentialgleichungen}
+Voraussetzung: $a_n(x)\neq 0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_n)^T \in G$
+\bigskip
+
+Phasen-Differentialgleichungen
+\[
+\frac{d x_1}{d x_n} = \frac{a_1(x)}{a_n(x)},\quad\dots,\quad
+\frac{d x_{n-1}}{d x_n} = \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)},
+\]
+Lösungen $x_1,\dots,x_{n-1}$ abhängig von:\\
+\qquad $x_n$ und $(n-1)$ Integrationskonstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$
+\bigskip
+
+Auflösen nach $C_1,\dots,C_{n-1}$
+\[
+C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+\]
+liefert implizite Beschreibung der Grundcharakteristiken
+\bigskip
+
+\begin{bemerkung}
+Die Rolle von $x_n$ kann auch eine andere Variable übernehmen.
+\end{bemerkung}
+\end{frame}
+
+\subsection{Cauchy-Problem}
+
+% ======================================================================
+% Cauchy-Problem
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Cauchy-Problem}
+Welche zusätzlichen Bedingungen müssen gestellt werden, damit es unter
+allen Lösungen einer quasilinearen Differentialgleichung 1.~Ordnung genau
+eine gibt, die diese Zusatzbedingung erfüllt?
+\bigskip
+
+Analogie zu Anfangswerten gewöhnlicher Differentialgleichungen
+\bigskip
+
+Vorgabe einer Kurve $\ell$ im $(x,y,u)$-Raum
+mit Projektion $\lambda$ im $(x,y)$-Raum
+\[
+\ell(s) = \begin{pmatrix}
+x(s)\\y(s)\\v(s)\end{pmatrix},\quad
+\lambda(s) = \begin{pmatrix} x(s)\\y(s)\end{pmatrix},
+\quad s\in I
+\]
+mit einem reellen Intervall $I$
+\bigskip
+
+Zusatzbedingung
+\[
+u\big(x(s),y(s)\big) = v(s),\qquad s\in I
+\]
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen}
+\begin{satz}
+Gegeben seien eine quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordung
+und eine Kurve $\ell$ mit Projektion $\lambda$. Dann gelten die
+folgenden Aussagen:
+\begin{itemize}
+\item Ist $\lambda$ keine Grundcharakteristik, so gibt es genau eine
+Lösung.
+\item Ist $\ell$ selbst eine Charakteristik, so existieren unendlich viele
+Lösungen.
+\item Ist $\ell$ keine Charakteristik, aber $\lambda$ eine
+Grundcharakteristik, dann existiert keine Lösung.
+\end{itemize}
+\end{satz}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Lösen des Cauchy-Problems
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Lösen des Cauchy-Problems}
+Variante 1
+\begin{enumerate}
+\item allgemeine Lösung bestimmen
+\[
+u(x,y) = F\big(\varphi(x,y)\big)
+\]
+mit der implizit dargestellten Grundcharakteristik $\varphi$
+\item Funktion $F$ durch die Zusatzbedingung ermitteln
+\[
+v(s) = u\big(x(s),y(s)) =
+F\big(\varphi(x(s),y(s))\big)
+\]
+\end{enumerate}
+\bigskip
+
+Variante 2
+\begin{enumerate}
+\item charakteristisches Systems unter Einbeziehung der Zusatzbedingungen
+mit Ansatz
+\[
+x(t,s),y(t,s)
+\]
+lösen
+\item Darstellung der Lösung durch Auflösen/Umstellen ermitteln
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+a\cdot\nabla u + b u = f
+\]
+
+Grundcharakteristiken in der Form
+\[
+C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+\]
+
+Koordinatentransformation: $\xi=\xi(x)$ bzw. $x=x(\xi)$ mit
+\[
+\xi_i = \varphi_i(x),\quad i=1,\dots,n-1,\qquad
+\xi_n = x_n
+\]
+
+vereinfachte lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung für $v=v(\xi)$
+\[
+B(\xi) v(\xi) + A_n(\xi) \frac{\partial v}{\partial \xi_n}(\xi)
+= F(\xi)
+\]
+mit $\displaystyle B(\xi) = b\big(x(\xi)\big)$,
+$A_n(\xi) = a_n\big(x(\xi)\big)$,
+$F(\xi) = f\big(x(\xi)\big)$
+\bigskip
+
+Lösung
+\[
+u(x) = v\big(\varphi_1(x),\dots,\varphi_{n-1}(x),x_n\big)
+\]
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Quasilineare Differentialgleichung 1. Ordnung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
+Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
+Funktionen $a:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$,
+$d:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+quasilineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big)
+\]
+oder ausführlich
+\[
+a_1\big(x,u(x)\big)u_{x_1}(x) + \dots +
+a_n\big(x,u(x)\big)u_{x_n}(x) = d\big(x,u(x)\big)
+\]
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Charakteristisches System
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Charakteristisches System}
+\begin{definition}
+Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
+\]
+Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
+\begin{align*}
+x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+& \;\; \vdots\\
+x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+u'(t)   & =   d\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)
+\end{align*}
+heißt charakteristisches System der quasilinearen  Differentialgleichung.
+\end{definition}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Charakteristiken
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Charakteristiken}
+\begin{definition}
+Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
+\]
+Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)$ des
+charakteristischen Systems nennen wir Charakteristik. Die Kurve
+$\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ im $x$-Raum wird als Grundcharakteristik
+bezeichnet.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+Das weitere Vorgehen folgt den Schritten, die bei der Lösung der
+Rumpfdifferentialgleichung genutzt wurden.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+In den meisten Fällen lässt sich die Lösung nur in impliziter Form
+darstellen.
+\end{bemerkung}
+\end{frame}
+
+
+\end{document}
diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
index 5f35725836026229c0d3288ab18671a00f7756ba..6f6bf4cfdf8ee13cbc3f2592558204f7fd8699b8 100644
--- a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
@@ -186,361 +186,6 @@ shapes,backgrounds,snakes,intersections,3d}
 \justifying
 
 
-% \subsection{Einfache Lösungsmethoden}
-%
-% ======================================================================
-% Einfache Lösungsmethoden I
-% ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Einfache Lösungsmethoden I}
-% Funktion $u$ der beiden Variablen $x$ und $y$
-% \bigskip
-%
-% \begin{tabular}{l@{$\;\Rightarrow\;$}l}
-% $u_x(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C(y)$\\[1em]
-% $u_x(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\!
-% \int^x \!\!\!\!f(t,y)\,dt \!+\! C(y)$\\[1em]
-% $u_{xx}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
-% $u_{xx}(x,y) \!=\! f(x,y)$ &$\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
-% \int^s \!\!\!\!f(t,y)\,dt\,ds \!+\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
-% $u_{xy}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
-% $u_{xy}(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
-% \int^y\!\!\!\! f(s,t)\,dt\,ds \!+\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$
-% \end{tabular}
-% \bigskip
-%
-% Entsprechende Formeln gelten für Funktionen von drei Variablen.
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Einfache Lösungsmethoden II
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Einfache Lösungsmethoden II}
-% alle Ableitungen erfolgen nur nach einer Variablen\\
-% \qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u(x,y) = xy$\\
-% \qquad gewöhnliche Differentialgleichung mit Parameter(n)
-% \bigskip
-%
-% alle Ableitungen beinhalten gemeinsame Ableitung\\
-% \qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u_{xxy}(x,y)=5x$\\
-% \qquad diese Ableitung ausklammern, um Problem zu vereinfachen
-% \end{frame}
-%
-% \subsection{Lineare Gleichungen erster Ordnung}
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung}
-% gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
-% Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
-% Funktionen $a:G\to\mathbb{R}^n$, $b,f:G\to\mathbb{R}$
-% \end{tabular}
-% \bigskip
-%
-% lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
-% \[
-% a\cdot\nabla u + b u = f
-% \]
-% oder ausführlich
-% \[
-% a_1(x)u_{x_1}(x) + \dots + a_n(x)u_{x_n}(x) + b(x) u(x) = f(x)
-% \]
-%
-% verkürzte oder Rumpfdifferentialgleichung
-% \[
-% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0
-% \]
-% \begin{definition}
-% Eine Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung heißt trivial, wenn
-% $u=\text{konstant}$ gilt, sonst nennen wir die Lösung nichttrivial.
-% \end{definition}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Charakteristisches System
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Charakteristisches System}
-% \begin{definition}
-% Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
-% \[
-% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
-% \]
-% Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
-% \begin{align*}
-% x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
-% x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
-% & \;\; \vdots\\
-% x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big)
-% \end{align*}
-% heißt charakteristisches System der Rumpfdifferentialgleichung.
-% \end{definition}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Charakteristiken
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Charakteristiken}
-% \begin{definition}
-% Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
-% \[
-% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
-% \]
-% Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ des zugehörigen
-% charakteristischen Systems
-% heißt charakteristische Grundkurve oder Grundcharakteristik. Als
-% Charakteristik wird jede Kurve im $(x_1,\dots,x_n,u)$-Raum bezeichnet,
-% deren Parameterdarstellung durch
-% \[
-% \big(x_1(t),\dots,x_n(t),c\big)
-% \]
-% mit einer Konstanten $c\in\mathbb{R}$ gegeben ist. Alternativ werden
-% Grundcharakteristiken implizit in der Form
-% \[
-% \varphi_1(x_1,\dots,x_n) = C_1,\quad\dots,\quad
-% \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n) = C_{n-1}
-% \]
-% mit Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
-% und reellen Konstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$ dargestellt.
-% \end{definition}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Lösungsdarstellung
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Lösungsdarstellung}
-% \begin{satz}
-% Seien die Grundcharakteristiken durch
-% \[
-% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
-% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
-% \]
-% gegeben. Dann lässt sich jede Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung
-% in der Form
-% \[
-% u(x) = F\big(\varphi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,
-% \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)\big)
-% \]
-% schreiben, wobei $F:\mathbb{R}^{n-1}\to\mathbb{R}$ eine beliebige stetig
-% differenzierbare Funktion ist.
-% \end{satz}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Phasen-Differentialgleichungen
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Phasen-Differentialgleichungen}
-% Voraussetzung: $a_n(x)\neq 0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_n)^T \in G$
-% \bigskip
-%
-% Phasen-Differentialgleichungen
-% \[
-% \frac{d x_1}{d x_n} = \frac{a_1(x)}{a_n(x)},\quad\dots,\quad
-% \frac{d x_{n-1}}{d x_n} = \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)},
-% \]
-% Lösungen $x_1,\dots,x_{n-1}$ abhängig von:\\
-% \qquad $x_n$ und $(n-1)$ Integrationskonstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$
-% \bigskip
-%
-% Auflösen nach $C_1,\dots,C_{n-1}$
-% \[
-% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
-% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
-% \]
-% liefert implizite Beschreibung der Grundcharakteristiken
-% \bigskip
-%
-% \begin{bemerkung}
-% Die Rolle von $x_n$ kann auch eine andere Variable übernehmen.
-% \end{bemerkung}
-% \end{frame}
-%
-% \subsection{Cauchy-Problem}
-%
-% % ======================================================================
-% % Cauchy-Problem
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Cauchy-Problem}
-% Welche zusätzlichen Bedingungen müssen gestellt werden, damit es unter
-% allen Lösungen einer quasilinearen Differentialgleichung 1.~Ordnung genau
-% eine gibt, die diese Zusatzbedingung erfüllt?
-% \bigskip
-%
-% Analogie zu Anfangswerten gewöhnlicher Differentialgleichungen
-% \bigskip
-%
-% Vorgabe einer Kurve $\ell$ im $(x,y,u)$-Raum
-% mit Projektion $\lambda$ im $(x,y)$-Raum
-% \[
-% \ell(s) = \begin{pmatrix}
-% x(s)\\y(s)\\v(s)\end{pmatrix},\quad
-% \lambda(s) = \begin{pmatrix} x(s)\\y(s)\end{pmatrix},
-% \quad s\in I
-% \]
-% mit einem reellen Intervall $I$
-% \bigskip
-%
-% Zusatzbedingung
-% \[
-% u\big(x(s),y(s)\big) = v(s),\qquad s\in I
-% \]
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen}
-% \begin{satz}
-% Gegeben seien eine quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordung
-% und eine Kurve $\ell$ mit Projektion $\lambda$. Dann gelten die
-% folgenden Aussagen:
-% \begin{itemize}
-% \item Ist $\lambda$ keine Grundcharakteristik, so gibt es genau eine
-% Lösung.
-% \item Ist $\ell$ selbst eine Charakteristik, so existieren unendlich viele
-% Lösungen.
-% \item Ist $\ell$ keine Charakteristik, aber $\lambda$ eine
-% Grundcharakteristik, dann existiert keine Lösung.
-% \end{itemize}
-% \end{satz}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Lösen des Cauchy-Problems
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Lösen des Cauchy-Problems}
-% Variante 1
-% \begin{enumerate}
-% \item allgemeine Lösung bestimmen
-% \[
-% u(x,y) = F\big(\varphi(x,y)\big)
-% \]
-% mit der implizit dargestellten Grundcharakteristik $\varphi$
-% \item Funktion $F$ durch die Zusatzbedingung ermitteln
-% \[
-% v(s) = u\big(x(s),y(s)) =
-% F\big(\varphi(x(s),y(s))\big)
-% \]
-% \end{enumerate}
-% \bigskip
-%
-% Variante 2
-% \begin{enumerate}
-% \item charakteristisches Systems unter Einbeziehung der Zusatzbedingungen
-% mit Ansatz
-% \[
-% x(t,s),y(t,s)
-% \]
-% lösen
-% \item Darstellung der Lösung durch Auflösen/Umstellen ermitteln
-% \end{enumerate}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
-% lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
-% \[
-% a\cdot\nabla u + b u = f
-% \]
-%
-% Grundcharakteristiken in der Form
-% \[
-% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
-% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
-% \]
-%
-% Koordinatentransformation: $\xi=\xi(x)$ bzw. $x=x(\xi)$ mit
-% \[
-% \xi_i = \varphi_i(x),\quad i=1,\dots,n-1,\qquad
-% \xi_n = x_n
-% \]
-%
-% vereinfachte lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung für $v=v(\xi)$
-% \[
-% B(\xi) v(\xi) + A_n(\xi) \frac{\partial v}{\partial \xi_n}(\xi)
-% = F(\xi)
-% \]
-% mit $\displaystyle B(\xi) = b\big(x(\xi)\big)$,
-% $A_n(\xi) = a_n\big(x(\xi)\big)$,
-% $F(\xi) = f\big(x(\xi)\big)$
-% \bigskip
-%
-% Lösung
-% \[
-% u(x) = v\big(\varphi_1(x),\dots,\varphi_{n-1}(x),x_n\big)
-% \]
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Quasilineare Differentialgleichung 1. Ordnung
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
-% gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
-% Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
-% Funktionen $a:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$,
-% $d:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
-% \end{tabular}
-% \bigskip
-%
-% quasilineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
-% \[
-% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big)
-% \]
-% oder ausführlich
-% \[
-% a_1\big(x,u(x)\big)u_{x_1}(x) + \dots +
-% a_n\big(x,u(x)\big)u_{x_n}(x) = d\big(x,u(x)\big)
-% \]
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Charakteristisches System
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Charakteristisches System}
-% \begin{definition}
-% Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
-% \[
-% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
-% \]
-% Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
-% \begin{align*}
-% x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
-% x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
-% & \;\; \vdots\\
-% x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
-% u'(t)   & =   d\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)
-% \end{align*}
-% heißt charakteristisches System der quasilinearen  Differentialgleichung.
-% \end{definition}
-% \end{frame}
-% % ======================================================================
-% % Charakteristiken
-% % ======================================================================
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Charakteristiken}
-% \begin{definition}
-% Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
-% \[
-% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
-% \]
-% Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)$ des
-% charakteristischen Systems nennen wir Charakteristik. Die Kurve
-% $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ im $x$-Raum wird als Grundcharakteristik
-% bezeichnet.
-% \end{definition}
-%
-% \begin{bemerkung}
-% Das weitere Vorgehen folgt den Schritten, die bei der Lösung der
-% Rumpfdifferentialgleichung genutzt wurden.
-% \end{bemerkung}
-%
-% \begin{bemerkung}
-% In den meisten Fällen lässt sich die Lösung nur in impliziter Form
-% darstellen.
-% \end{bemerkung}
-% \end{frame}
-
-
 \section{Die Wärmeleitungsgleichung}
 
 % ======================================================================