diff --git a/.gitlab-ci.yml b/.gitlab-ci.yml
index 9315c52dcfd9de288cb2e5860dbaa41c4888032e..49dddea8a45ba4e7ddc68914cafaeb390e8f5880 100644
--- a/.gitlab-ci.yml
+++ b/.gitlab-ci.yml
@@ -163,11 +163,13 @@ integraltransformationen:
partielle-differentialgleichungen:
script:
- latexmk -pdf -cd Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.tex
+ - latexmk -pdf -cd Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.tex
- latexmk -pdflatex="pdflatex -shell-escape %O %S" -pdf -cd Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
- latexmk -pdf -cd Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Numerik_von_partiellen_DGl.tex
artifacts:
paths:
- "Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.pdf"
+ - "Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.pdf"
- "Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.pdf"
- "Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Numerik_von_partiellen_DGl.pdf"
expire_in: 40000 weeks
diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
index 0d188f19925c757763396daf5d15952f2ca49d73..ffe27537c72f27d866de8323ce868c2291ba6488 100644
--- a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/.gitignore
@@ -1,3 +1,4 @@
+Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.pdf
Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.pdf
Kapitel_Numerik_von_partiellen_DGl.pdf
Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.pdf
diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.tex b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..7c10312518cd7e013c6c029e987a35ee82ba7cb6
--- /dev/null
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.tex
@@ -0,0 +1,1341 @@
+\documentclass[handout,t]{beamer}
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+% title page
+\title[Grundlagen Mathematik]{Grundlagen Mathematik}
+\subtitle{9b.\ Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen}
+\author{Prof.\ Dr.\,Oliver Sander}
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+\begin{document}
+
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+% \setlength\abovedisplayskip{5pt}
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+% set title
+\maketitle
+% erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
+\justifying
+
+\section{Partielle Differentialgleichungen}
+
+\subsection{Beispiele}
+
+\subsubsection{Wellengleichung}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel: Die Wellengleichung}
+
+ \medskip
+
+ \structure{Eindimensionale Wellengleichung:}
+
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+ =
+ \frac{2E}{D}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+ \end{equation*}
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ % left fixture
+ \node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=5mm,minimum height=7.5mm] (l) at (-4,0) {};
+ \draw[thick] (-3.75, 0.375) -- ++(0.0, -0.75);
+ %right fixture
+ \node[rectangle,pattern = north east lines,minimum width=5mm,minimum height=7.5mm] (r) at (4,0) {};
+ \draw[thick] ( 3.75, 0.375) -- ++(0.0, -0.75);
+ % left spring
+ \draw[thick] (l) -- (r);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+ Beschreibt die Auslenkung $u$ eines elastischen Bandes.
+
+ \bigskip
+
+ \structure{Größen:}
+ \begin{itemize}
+ \item $D$ Massendichte
+ \item $E$ Festigkeit des Materials
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Wellengleichung in höheren Dimensionen}
+
+ \medskip
+
+ \structure{Höhere Dimensionen:}
+ \begin{itemize}
+ \item Sei $\Omega$ ein \cblue{Gebiet} in $\R^d$.
+ \item Gebiet heißt: eine offene und beschränkte Menge.
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+
+ \structure{Wellengleichung auf $\Omega$:}
+ Finde $u : \Omega \to \R$ so dass:
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+ =
+ \frac{2E}{D} \Big[ \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \dots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_d^2} \Big]
+ \end{equation*}
+
+ \medskip
+ \pause
+
+ \structure{Kurzschreibweise:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+ =
+ \frac{2E}{D} \Delta u
+ \end{equation*}
+ Dabei ist $\Delta$ der \cblue{Laplace-Operator}:
+ \begin{equation*}
+ \Delta
+ \colonequals
+ \Div \nabla
+ =
+ \frac{\partial^2 }{\partial x_1^2} + \dots + \frac{\partial^2 }{\partial x_d^2}
+ \end{equation*}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsection{Transportgleichung}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel: Erhaltungsgleichung}
+
+ \structure{Eindimensionale Erhaltungsgleichung:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial \big(\rho(x,t)\, v(x,t)\big)}{\partial x} = f
+ \qquad
+ \forall t \in [t_0, \infty), \quad x \in (a,b).
+ \end{equation*}
+
+ \begin{itemize}
+ \item $v$: Strömungsgeschwindigkeit
+ \item $\rho$: Dichte
+ \end{itemize}
+
+ \medskip
+
+ \begin{overlayarea}{\textwidth}{0.6\textheight}
+ \only<1-2>{
+ \structure{Transportgleichung:}
+ \begin{itemize}
+ \item $v$ ist gegeben -- Differentialgleichung für $\rho$
+ \end{itemize}
+
+\medskip
+ }
+ \only<2>{
+ \structure{Höhere Dimensionen:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v_1)}{\partial x_1}
+ + \dots + \frac{\partial (\rho v_d)}{\partial x_d}
+ = f
+ \qquad
+ \forall t \in [t_0, \infty), \quad x \in \Omega.
+ \end{equation*}
+
+ \structure{Kurzschreibweise:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \Div (\rho v)
+ =
+ f
+ \end{equation*}
+ }
+ \only<3-4>{
+ \structure{Höhere Dimensionen:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \Div (\rho v)
+ =
+ f
+ \end{equation*}
+
+ \structure{Ausrechnen:}
+ \begin{equation*}
+ \Div (\rho v)
+ =
+ \langle v, \nabla \rho \rangle + \rho \Div v
+ \end{equation*}
+ }
+ \only<4>{
+ \structure{Inkompressible Strömung:} Annahme: $\Div v = 0$
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial \rho}{\partial t} + v(x,t)\cdot\nabla \rho(x,t) = f
+ \qquad \text{für alle $x\in\Omega,\;t>0$}
+ \end{equation*}
+ }
+ \end{overlayarea}
+\end{frame}
+
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Randbedingungen}
+% Vorgabe der Werte auf dem Rand
+% \[
+% u(x) = g(x) \quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
+% \]
+% Dirichlet-Randbedingung (Randbedingung 1.~Art)
+% \bigskip
+%
+% Vorgabe der Normalenableitung auf dem Rand
+% \[
+% \frac{\partial u}{\partial n}(x) = n(x)\cdot\nabla u(x) = h(x)
+% \quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
+% \]
+% Neumann-Randbedingung (Randbedingung 2.~Art)
+% \bigskip
+%
+% Vorgabe einer Kombination von Wert und Normalenableitung
+% \[
+% \beta u(x) + \frac{\partial u}{\partial n}(x) =
+% \varphi(x)\quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
+% \]
+% Robin-Randbedingung (Randbedingung 3. Art), $\beta$ konstant
+% \end{frame}
+
+\subsubsection{Wärmeleitungsgleichung}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Beispiel: Wärmeleitungsgleichung}
+
+\structure{Wärmeleitungsgleichung:}
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t} - \Div (D \nabla u) = f
+\quad\text{für alle $x\in\Omega,\;t>0$}
+\end{equation*}
+\begin{itemize}
+ \item $u$: Temperaturverteilung
+ \item $D \in \R^{d \times d}$: Wärmeleitfähigkeit
+ \item Wenn $D = \textup{Id}$ so gilt $\Div (D \nabla u) = \Delta u$.
+\end{itemize}
+
+ \begin{overlayarea}{\textwidth}{0.5\textheight}
+ \only<2>{
+ \bigskip
+ \structure{Diffusionsgleichung:}
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t} - \Div (D \nabla u) = f
+ \quad\text{für alle $x\in\Omega,\;t>0$}
+ \end{equation*}
+ \begin{itemize}
+ \item $u$: Konzentration eines gelösten Stoffes
+ \item $D \in \R^{d \times d}$: Diffusivität
+ \end{itemize}
+ }
+ \only<3>{
+ \structure{Stationäre Zustände:}
+ \begin{itemize}
+ \item Poisson-Gleichung
+ \begin{equation*}
+ -\Delta u(x) = f(x) \quad\text{ für alle }x\in\Omega
+ \end{equation*}
+
+ \item Laplace-Gleichung
+ \begin{equation*}
+ -\Delta u(x) = 0 \quad\text{ für alle }x\in\Omega
+ \end{equation*}
+
+ \end{itemize}
+ }
+ \end{overlayarea}
+\end{frame}
+
+\subsubsection{Weitere Gleichungen}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Weitere Gleichungen}
+
+ \structure{Navier-Stokes-Gleichung:}
+ Beschreibt die Strömung von viskosen Flüssigkeiten
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t} + \nu \Delta u + (u\cdot\nabla)u + \nabla p = f,\qquad
+ \Div u = 0
+ \end{equation*}
+ Größen:
+ \begin{itemize}
+ \item $u$: Geschwindigkeitsfeld
+ \item $p$: Druck
+ \end{itemize}
+
+
+ \medskip
+ \pause
+ \structure{Schrödinger-Gleichung:}
+ Wellenfunktion $\psi$ eines quantenmechanischen Teilchens in einem Potential $V$
+ \begin{equation*}
+ \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\,\psi
+ \end{equation*}
+ \begin{itemize}
+ \item $\psi$ ist komplexwertig
+ \item $|\psi(x)|$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am Ort $x$.
+ \end{itemize}
+
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Weitere Gleichungen}
+
+ \structure{Maxwell-Gleichungen:}
+ \begin{alignat*}{2}
+ \vec {\nabla } \cdot \vec E & ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} &
+ \vec {\nabla } \cdot \vec B & =0 \\
+ %
+ \vec {\nabla } \times \vec E & =-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}} & \qquad
+ \vec {\nabla } \times \vec B & =\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}
+ \end{alignat*}
+ \vspace{-\baselineskip}
+ \begin{itemize}
+ \item elektrische Feldstärke $\vec E$ \; --- \; magnetische Flussdichte $\vec B$
+ \item Ladungsdichte $\rho$ %(Ladung pro Volumen)
+ \item elektrische Stromdichte $\vec \jmath$ %(Strom pro durchflossene Fläche)
+ \end{itemize}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \structure{Einstein-Gleichung:}
+ \begin{equation*}
+ R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ \mu \nu}
+ \end{equation*}
+ \vspace{-\baselineskip}
+ \begin{itemize}
+ \item $T$: Energie-Impuls-Tensor
+ \item $g_{\mu \nu}$: Metrik der Raumzeit
+ \end{itemize}
+
+
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Allgemeine partielle Differentialgleichungen}
+
+% ======================================================================
+% Partielle Differentialgleichung
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Partielle Differentialgleichung}
+\begin{definition}
+Eine Gleichung der Form
+\[
+F\Big(x_1,\dots,x_n,u,
+\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots,
+\frac{\partial u}{\partial x_n},
+\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2},
+\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 x_2},
+\dots
+\Big)=0,
+\]
+die Funktion $u$ der $n$ Variablen $x_1,\dots,x_d$ mit ihren
+partiellen Ableitungen verknüpft, heißt \cblue{partielle Differentialgleichung} für $u$.
+\end{definition}
+
+\bigskip
+\begin{overlayarea}{\textwidth}{0.5\textheight}
+\only<2> {
+\begin{itemize}
+ \item Die Funktion $u$ kann skalar- oder vektorwertig sind.
+
+ \item Die höchste vorkommende Ableitungsordnung heißt \cblue{Ordnung} der
+ Differentialgleichung.
+\end{itemize}
+}
+\only<3>
+{
+ Die Funktion $u : \Omega \to \R^m$
+heißt \cblue{Lösung} der partiellen Differentialgleichung falls
+\begin{enumerate}
+\item alle auftretenden partiellen Ableitungen von $u$ existieren und
+\item $u$ zusammen mit ihren partiellen Ableitungen die partielle
+Differentialgleichung für alle $(x_1,\dots,x_d)\in \Omega$ erfüllt.
+\end{enumerate}
+}
+\end{overlayarea}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Wie findet man Lösungen?}
+
+ \structure{Draufstarren:}
+ \begin{itemize}
+ \item Geht selten
+ \item Beispiel: Wellengleichung $u_{tt} = u_{xx}$
+ \item Lösung: $u(x,t) = \sin(x+t)$
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+
+ \structure{Analytische Techniken:}
+ \begin{itemize}
+ \item Integralausdrücke
+ \item Reihenentwicklungen
+ \item Spezielle Funktionen
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+
+ \structure{Numerik:}
+ \begin{itemize}
+ \item Finite-Differenzen-Verfahren
+ \item Finite-Elemente-Verfahren
+ \item Finite-Volumen-Verfahren
+ \end{itemize}
+
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Existenz und Eindeutigkeit}
+
+ Gibt es überhaupt Lösungen?
+
+ \medskip
+
+ \structure{Existenz:}
+ \begin{itemize}
+ \item Eine erstaunlich schwierige Frage!
+ \item Hängt ab von: Art der Differentialgleichung, Form des Gebiets, etc.
+ \item Reformulierungen des Ableitungsbegriffs
+ \item Noch viele offene Fragen
+ \end{itemize}
+
+ \medskip
+ \pause
+ \structure{Eindeutigkeit:}
+ \begin{itemize}
+ \item Im Allgemeinen keine eindeutigen Lösungen
+ \item Beispiel: Für alle $u$ mit $-\Delta u = f$ ist auch $u+c$ Lösung
+ \item Anfangs- und Randbedingungen
+ \item Selbst mit korrekten Anfangs- und Randbedingungen haben
+ manche partielle Differentialgleichungen mehr als eine Lösung.
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Anfangs- und Randbedingungen}
+
+ \medskip
+
+ \structure{Anfangsbedingungen:}
+ \begin{itemize}
+ \item Bei zeitabhängigen Prozessen
+ \item Normalerweise: So viele Bedingungen wie es Zeitableitungen gibt
+ \item Wärmeleitungsgleichung: Anfangswert
+ \item Wellengleichung: Anfangswert und Anfangsgeschwindigkeit
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+ \pause
+
+ \structure{Randbedingungen:}
+ Bedingungen an $u$ auf dem Rand $\partial \Omega$ von $\Omega$
+ \begin{itemize}
+ \item Je nach Art der Gleichung auf dem ganzen Rand, oder nur auf einem Teil
+ \item Vorgegebener Funktionswert: Dirichlet-Randbedingungen, Randbedingungen 1.~Art,
+ Verschiebungsrandbedingungen
+ \item Vorgegebene Normalenableitung: Neumann-RB, Randbedingungen 2.~Art,
+ Lastrandbedingungen
+ \end{itemize}
+
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Lineare Gleichungen}
+
+% ======================================================================
+% Einteilung von Differentialgleichungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
+\begin{definition}
+Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{linear},
+falls die gesuchte Funktion und alle vorkommenden
+Ableitungen linear in der Gleichung auftreten.
+\end{definition}
+
+
+\medskip
+
+Die Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in \Omega$ abhängen.
+
+\bigskip
+
+\cblue{Beispiel:} Lineare Differentialgleichung 2.~Ordnung
+\begin{equation*}
+(x^2_1+1)\frac{\partial^2 u}{\partial x_1\partial x_2}
++\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} + \sin(x_1)
+\frac{\partial u}{\partial x_1} = \cos x_1 \,e^{x_2}
+\end{equation*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Quiz}
+
+ Welche der folgenden Gleichungen ist linear?
+
+ \bigskip
+ \begin{enumerate}
+ \item Die Burgers-Gleichung
+ \begin{equation*}
+ {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0
+ \end{equation*}
+
+ \item Die Schrödinger-Gleichung
+ \begin{equation*}
+ \mathrm{i} \hbar \frac {\partial \psi }{\partial t}
+ =
+ -\frac {\hbar ^{2}}{2m} \Delta \psi + V(x,t)\,\psi
+ \end{equation*}
+
+ \item Die Diffusionsgleichung
+ \begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t}
+ =
+ \Div (D(u) \nabla u)
+ \end{equation*}
+ (mit einer zustandsabhängigen Diffusivität $D : \R^d \to \R^d$)
+ \end{enumerate}
+
+\end{frame}
+
+
+\subsubsection{Das Superpositionsprinzip}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Lineare Differentialgleichungen}
+\begin{definition}
+Sei $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet. Eine lineare partielle
+Differentialgleichung
+\begin{equation*}
+\dots +
+\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
++ \sum_{i=1}^d b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x) + c(x)u(x) = f(x)
+\end{equation*}
+heißt \cblue{homogen}, falls $f(x)=0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_d)^T\in\Omega$ gilt.
+\end{definition}
+
+\medskip
+
+Andernfalls heißt die Differentialgleichung \cblue{inhomogen}.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Superpositionsprinzip}
+
+\begin{definition}[Superpositionsprinzip]
+Jede Linearkombination von Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung ist
+Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung.
+\end{definition}
+
+\bigskip
+\pause
+
+Mit anderen Worten: Die Lösungen einer homogenen Differentialgleichung
+bilden einen \cblue{Vektorraum}.
+
+\bigskip
+\pause
+
+Es gilt sogar:
+Sind $u_1,u_2,\dots$ Lösungen der homogenen
+Differentialgleichung, dann ist die Reihe
+\[
+u = \sum_{i=1}^{\infty} C_i u_i,\qquad C_i\in\mathbb{R},\;i=1,2,\dots,
+\]
+Lösung der homogenen Differentialgleichung.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Superpositionsprinzip}
+
+\bigskip
+
+Die Summe aus einer Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und
+einem Vielfachen einer Lösung der homogenen Differentialgleichung ist
+selbst Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
+
+\bigskip
+\pause
+
+Lösungen der inhomogenen Gleichung bilden also einen \cblue{affinen Raum}:
+
+\begin{itemize}
+ \item Genau wie bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen
+ \item Genau wie bei inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen
+\end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Klassifikation von nichtlinearen Gleichungen}
+
+% ======================================================================
+% Einteilung von Differentialgleichungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Einteilung von nichtlinearen Differentialgleichungen}
+\begin{definition}
+Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{semilinear},
+falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten.
+\end{definition}
+
+\medskip
+
+Die Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in \Omega$ abhängen.
+
+\bigskip
+
+\cblue{Beispiel:} Semilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+\frac{\partial u}{\partial x_1}
++ x_1^2 \frac{\partial u}{\partial x_2} + u^2 = \tan(x_1^2-x_2)
+\]
+\end{frame}
+
+% ======================================================================
+% Einteilung von Differentialgleichungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
+\begin{definition}
+Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{quasilinear},
+falls die Koeffizientenfunktionen vor den höchsten
+Ableitungen zusätzlich von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten
+Funktion abhängen.
+\end{definition}
+
+\medskip
+
+Die Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in \Omega$ abhängen.
+
+\bigskip
+
+\cblue{Beispiel:} Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\begin{equation*}
+u \frac{\partial u}{\partial x_1}
++ \sin(u) \frac{\partial u}{\partial x_2} + u^2
+= x_1x_2^3
+\end{equation*}
+\end{frame}
+
+% ======================================================================
+% Einteilung von Differentialgleichungen
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
+\begin{definition}
+Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{echt nichtlinear}
+falls sie in keine der vorigen Kategorien fällt.
+\end{definition}
+
+\bigskip
+
+\cblue{Beispiel:} Nichtlineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+\[
+\left(\frac{\partial u}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)\right)^2
++ \frac{\partial u}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3) = 1
+\]
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Quiz}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{overlayarea}{\textwidth}{0.3\textheight}
+ \only<1>{
+ Die viskose Burgersgleichung
+ \begin{equation*}
+ \frac {\partial u}{\partial t} + u \frac {\partial u}{\partial x} = \mu \frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}
+ \end{equation*}
+ }
+ \only<2>{
+ Die reibungsfreie Burgersgleichung
+ \begin{equation*}
+ \frac {\partial u}{\partial t} + u \frac {\partial u}{\partial x} = 0
+ \end{equation*}
+ }
+ \end{overlayarea}
+ ist
+ \begin{enumerate}
+ \item linear
+ \item semilinear
+ \item quasilinear
+ \item echt nichtlinear
+ \end{enumerate}
+
+\end{frame}
+
+
+% \subsection{Einfache Lösungsmethoden}
+%
+% ======================================================================
+% Einfache Lösungsmethoden I
+% ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Einfache Lösungsmethoden I}
+% Funktion $u$ der beiden Variablen $x$ und $y$
+% \bigskip
+%
+% \begin{tabular}{l@{$\;\Rightarrow\;$}l}
+% $u_x(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C(y)$\\[1em]
+% $u_x(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\!
+% \int^x \!\!\!\!f(t,y)\,dt \!+\! C(y)$\\[1em]
+% $u_{xx}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+% $u_{xx}(x,y) \!=\! f(x,y)$ &$\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
+% \int^s \!\!\!\!f(t,y)\,dt\,ds \!+\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+% $u_{xy}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
+% $u_{xy}(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
+% \int^y\!\!\!\! f(s,t)\,dt\,ds \!+\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$
+% \end{tabular}
+% \bigskip
+%
+% Entsprechende Formeln gelten für Funktionen von drei Variablen.
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Einfache Lösungsmethoden II
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Einfache Lösungsmethoden II}
+% alle Ableitungen erfolgen nur nach einer Variablen\\
+% \qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u(x,y) = xy$\\
+% \qquad gewöhnliche Differentialgleichung mit Parameter(n)
+% \bigskip
+%
+% alle Ableitungen beinhalten gemeinsame Ableitung\\
+% \qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u_{xxy}(x,y)=5x$\\
+% \qquad diese Ableitung ausklammern, um Problem zu vereinfachen
+% \end{frame}
+%
+% \subsection{Lineare Gleichungen erster Ordnung}
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+% gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
+% Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
+% Funktionen $a:G\to\mathbb{R}^n$, $b,f:G\to\mathbb{R}$
+% \end{tabular}
+% \bigskip
+%
+% lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+% \[
+% a\cdot\nabla u + b u = f
+% \]
+% oder ausführlich
+% \[
+% a_1(x)u_{x_1}(x) + \dots + a_n(x)u_{x_n}(x) + b(x) u(x) = f(x)
+% \]
+%
+% verkürzte oder Rumpfdifferentialgleichung
+% \[
+% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0
+% \]
+% \begin{definition}
+% Eine Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung heißt trivial, wenn
+% $u=\text{konstant}$ gilt, sonst nennen wir die Lösung nichttrivial.
+% \end{definition}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Charakteristisches System
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Charakteristisches System}
+% \begin{definition}
+% Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
+% \[
+% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
+% \]
+% Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
+% \begin{align*}
+% x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
+% x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
+% & \;\; \vdots\\
+% x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big)
+% \end{align*}
+% heißt charakteristisches System der Rumpfdifferentialgleichung.
+% \end{definition}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Charakteristiken
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Charakteristiken}
+% \begin{definition}
+% Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
+% \[
+% a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
+% \]
+% Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ des zugehörigen
+% charakteristischen Systems
+% heißt charakteristische Grundkurve oder Grundcharakteristik. Als
+% Charakteristik wird jede Kurve im $(x_1,\dots,x_n,u)$-Raum bezeichnet,
+% deren Parameterdarstellung durch
+% \[
+% \big(x_1(t),\dots,x_n(t),c\big)
+% \]
+% mit einer Konstanten $c\in\mathbb{R}$ gegeben ist. Alternativ werden
+% Grundcharakteristiken implizit in der Form
+% \[
+% \varphi_1(x_1,\dots,x_n) = C_1,\quad\dots,\quad
+% \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n) = C_{n-1}
+% \]
+% mit Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
+% und reellen Konstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$ dargestellt.
+% \end{definition}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Lösungsdarstellung
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Lösungsdarstellung}
+% \begin{satz}
+% Seien die Grundcharakteristiken durch
+% \[
+% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+% \]
+% gegeben. Dann lässt sich jede Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung
+% in der Form
+% \[
+% u(x) = F\big(\varphi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,
+% \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)\big)
+% \]
+% schreiben, wobei $F:\mathbb{R}^{n-1}\to\mathbb{R}$ eine beliebige stetig
+% differenzierbare Funktion ist.
+% \end{satz}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Phasen-Differentialgleichungen
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Phasen-Differentialgleichungen}
+% Voraussetzung: $a_n(x)\neq 0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_n)^T \in G$
+% \bigskip
+%
+% Phasen-Differentialgleichungen
+% \[
+% \frac{d x_1}{d x_n} = \frac{a_1(x)}{a_n(x)},\quad\dots,\quad
+% \frac{d x_{n-1}}{d x_n} = \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)},
+% \]
+% Lösungen $x_1,\dots,x_{n-1}$ abhängig von:\\
+% \qquad $x_n$ und $(n-1)$ Integrationskonstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$
+% \bigskip
+%
+% Auflösen nach $C_1,\dots,C_{n-1}$
+% \[
+% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+% \]
+% liefert implizite Beschreibung der Grundcharakteristiken
+% \bigskip
+%
+% \begin{bemerkung}
+% Die Rolle von $x_n$ kann auch eine andere Variable übernehmen.
+% \end{bemerkung}
+% \end{frame}
+%
+% \subsection{Cauchy-Problem}
+%
+% % ======================================================================
+% % Cauchy-Problem
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Cauchy-Problem}
+% Welche zusätzlichen Bedingungen müssen gestellt werden, damit es unter
+% allen Lösungen einer quasilinearen Differentialgleichung 1.~Ordnung genau
+% eine gibt, die diese Zusatzbedingung erfüllt?
+% \bigskip
+%
+% Analogie zu Anfangswerten gewöhnlicher Differentialgleichungen
+% \bigskip
+%
+% Vorgabe einer Kurve $\ell$ im $(x,y,u)$-Raum
+% mit Projektion $\lambda$ im $(x,y)$-Raum
+% \[
+% \ell(s) = \begin{pmatrix}
+% x(s)\\y(s)\\v(s)\end{pmatrix},\quad
+% \lambda(s) = \begin{pmatrix} x(s)\\y(s)\end{pmatrix},
+% \quad s\in I
+% \]
+% mit einem reellen Intervall $I$
+% \bigskip
+%
+% Zusatzbedingung
+% \[
+% u\big(x(s),y(s)\big) = v(s),\qquad s\in I
+% \]
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen}
+% \begin{satz}
+% Gegeben seien eine quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordung
+% und eine Kurve $\ell$ mit Projektion $\lambda$. Dann gelten die
+% folgenden Aussagen:
+% \begin{itemize}
+% \item Ist $\lambda$ keine Grundcharakteristik, so gibt es genau eine
+% Lösung.
+% \item Ist $\ell$ selbst eine Charakteristik, so existieren unendlich viele
+% Lösungen.
+% \item Ist $\ell$ keine Charakteristik, aber $\lambda$ eine
+% Grundcharakteristik, dann existiert keine Lösung.
+% \end{itemize}
+% \end{satz}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Lösen des Cauchy-Problems
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Lösen des Cauchy-Problems}
+% Variante 1
+% \begin{enumerate}
+% \item allgemeine Lösung bestimmen
+% \[
+% u(x,y) = F\big(\varphi(x,y)\big)
+% \]
+% mit der implizit dargestellten Grundcharakteristik $\varphi$
+% \item Funktion $F$ durch die Zusatzbedingung ermitteln
+% \[
+% v(s) = u\big(x(s),y(s)) =
+% F\big(\varphi(x(s),y(s))\big)
+% \]
+% \end{enumerate}
+% \bigskip
+%
+% Variante 2
+% \begin{enumerate}
+% \item charakteristisches Systems unter Einbeziehung der Zusatzbedingungen
+% mit Ansatz
+% \[
+% x(t,s),y(t,s)
+% \]
+% lösen
+% \item Darstellung der Lösung durch Auflösen/Umstellen ermitteln
+% \end{enumerate}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+% lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+% \[
+% a\cdot\nabla u + b u = f
+% \]
+%
+% Grundcharakteristiken in der Form
+% \[
+% C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
+% C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
+% \]
+%
+% Koordinatentransformation: $\xi=\xi(x)$ bzw. $x=x(\xi)$ mit
+% \[
+% \xi_i = \varphi_i(x),\quad i=1,\dots,n-1,\qquad
+% \xi_n = x_n
+% \]
+%
+% vereinfachte lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung für $v=v(\xi)$
+% \[
+% B(\xi) v(\xi) + A_n(\xi) \frac{\partial v}{\partial \xi_n}(\xi)
+% = F(\xi)
+% \]
+% mit $\displaystyle B(\xi) = b\big(x(\xi)\big)$,
+% $A_n(\xi) = a_n\big(x(\xi)\big)$,
+% $F(\xi) = f\big(x(\xi)\big)$
+% \bigskip
+%
+% Lösung
+% \[
+% u(x) = v\big(\varphi_1(x),\dots,\varphi_{n-1}(x),x_n\big)
+% \]
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Quasilineare Differentialgleichung 1. Ordnung
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
+% gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
+% Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
+% Funktionen $a:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$,
+% $d:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
+% \end{tabular}
+% \bigskip
+%
+% quasilineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
+% \[
+% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big)
+% \]
+% oder ausführlich
+% \[
+% a_1\big(x,u(x)\big)u_{x_1}(x) + \dots +
+% a_n\big(x,u(x)\big)u_{x_n}(x) = d\big(x,u(x)\big)
+% \]
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Charakteristisches System
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Charakteristisches System}
+% \begin{definition}
+% Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+% \[
+% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
+% \]
+% Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
+% \begin{align*}
+% x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+% x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+% & \;\; \vdots\\
+% x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
+% u'(t) & = d\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)
+% \end{align*}
+% heißt charakteristisches System der quasilinearen Differentialgleichung.
+% \end{definition}
+% \end{frame}
+% % ======================================================================
+% % Charakteristiken
+% % ======================================================================
+% \begin{frame}
+% \frametitle{Charakteristiken}
+% \begin{definition}
+% Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
+% \[
+% a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
+% \]
+% Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)$ des
+% charakteristischen Systems nennen wir Charakteristik. Die Kurve
+% $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ im $x$-Raum wird als Grundcharakteristik
+% bezeichnet.
+% \end{definition}
+%
+% \begin{bemerkung}
+% Das weitere Vorgehen folgt den Schritten, die bei der Lösung der
+% Rumpfdifferentialgleichung genutzt wurden.
+% \end{bemerkung}
+%
+% \begin{bemerkung}
+% In den meisten Fällen lässt sich die Lösung nur in impliziter Form
+% darstellen.
+% \end{bemerkung}
+% \end{frame}
+
+\subsection{Klassifikation von semilinearen Gleichungen zweiter Ordnung}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Semilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+
+Semilineare Gleichungen zweiter Ordnung können weiter klassifiziert werden.
+\medskip
+
+\structure{Allgemeine Form:}
+\begin{equation*}
+\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
++ F\big(x,u(x),\nabla u(x)\big) = 0
+\quad\text{ in $\Omega$}
+\end{equation*}
+mit gegebenen Funktionen
+\[
+a_{ij}:\Omega\to\mathbb{R}, \quad i,j=1,\dots,d
+\]
+und
+\[
+F:\Omega\times\R \times\R^d \to \R
+\]
+
+% \medskip
+%
+% \cblue{Beachte:} Da $\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_j\partial x_i}$
+% sind nur Koeffizienten mit $a_{ij} = a_{ji}$ für alle $i,j=1,\dots,d$ sinnvoll.
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Matrix des Hauptteils
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Matrix des Hauptteils}
+\begin{definition}
+Die Matrix
+\begin{equation*}
+A(x) \colonequals
+\begin{pmatrix}
+a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1d}(x)\\
+a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2d}(x)\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{d1}(x) & a_{d2}(x) & \dots & a_{dd}(x)
+\end{pmatrix}
+\end{equation*}
+der semilinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
+\begin{equation*}
+\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
++ F\big(x,u(x),\nabla u(x)\big) = 0
+\end{equation*}
+heißt \cblue{Matrix des Hauptteils}.
+\end{definition}
+Die Matrix des Hauptteils ist für jedes $x\in\Omega$ symmetrisch
+und hat daher nur reelle Eigenwerte.
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Klassifikation
+% ======================================================================
+\begin{frame}
+\frametitle{Klassifikation}
+\begin{definition}
+Sei $A(x)$ die Matrix des Hauptteils. Die semilineare partielle
+Differentialgleichung heißt im Punkt $x\in\Omega$
+\begin{itemize}
+\item \cblue{elliptisch}, wenn alle Eigenwerte von $A(x)$ von $0$ verschieden sind
+und alle das gleiche Vorzeichen besitzen;
+\item \cblue{parabolisch}, wenn genau ein Eigenwert $0$ ist und alle anderen
+Eigenwerte das gleiche Vorzeichen besitzen;
+\item \cblue{hyperbolisch}, wenn alle Eigenwerte von $0$ verschieden sind und genau
+ein Eigenwert das eine und alle verbleibenden Eigenwerte das andere
+Vorzeichen haben.
+\end{itemize}
+\end{definition}
+\begin{itemize}
+ \item Der Typ der Differentialgleichung kann an verschiedenen Punkten in $\Omega$
+ verschieden sein.
+
+ \item Es gibt Differentialgleichungen, die nicht in die obige Klassifikation fallen.
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+% ======================================================================
+% Beispiele
+% ======================================================================
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiele}
+
+ \structure{Differentialgleichung:}
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2}
+ + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
+ + 5 u
+ =
+ \sin(x_1x_2)
+\end{equation*}
+
+\pause
+\bigskip
+
+ \structure{Matrix des Hauptteils:}
+
+ \begin{equation*}
+ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \structure{Eigenwerte:}
+ \begin{equation*}
+ \lambda_1 = \frac{5+\sqrt{13}}{2}
+ \qquad
+ \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \structure{Klassifikation:}
+ \begin{itemize}
+ \item Beide positiv -- Gleichung ist elliptisch!
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiele}
+
+ \structure{Differentialgleichung:}
+\begin{equation*}
+ (1-x_1^2 - x_2^2) \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
+ + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
+ - (x_1^2 + x_2^2) u
+ =
+ 0
+\end{equation*}
+
+\pause
+\bigskip
+
+ \structure{Matrix des Hauptteils:}
+
+ \begin{equation*}
+ A = \begin{pmatrix} 1 -x_1^2-x_2^2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \structure{Eigenwerte:}
+ \begin{equation*}
+ \lambda_1 = 1 - x_1^2 - x_2^2
+ \qquad
+ \lambda_2 = 1
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \structure{Klassifikation:}
+ \begin{itemize}
+ \item Elliptisch für $x_1^2 + x_2^2 <1$
+ \item Parabolisch für $x_1^2 + x_2^2 =1$
+ \item Hyperbolisch für $x_1^2 + x_2^2 >1$
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Beispiele}
+
+\begin{itemize}
+
+ \item Laplace-/Poisson-Gleichung
+\begin{equation*}
+ - \Delta u = f
+\end{equation*}
+
+\qquad $\rightarrow$ elliptisch
+\medskip
+\pause
+
+\item Wärmeleitungsgleichung
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u
+\end{equation*}
+\qquad $\rightarrow$ parabolisch
+\medskip
+\pause
+
+\item Wellengleichung\\
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u
+\end{equation*}
+\qquad $\rightarrow$ hyperbolisch
+
+\end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Wozu diese Klassifikation?}
+
+\bigskip
+
+\structure{Verständnis:}
+
+Der Typ beschreibt das qualitative Verhalten von Lösungen:
+\begin{itemize}
+ \item Stationäre Prozesse sind häufig \cblue{elliptisch}.
+
+ \item \cblue{Hyperbolische} Gleichungen beschreiben Schwingungen und Wellen.
+
+ \item Ausgleichsprozesse (z.B.\ Diffusion und Wärmeleitung)
+ sind häufig \cblue{parabolisch}.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+\structure{Numerik:}
+
+Der Typ hat weiterhin Einfluss auf die Wahl von geeigneten numerischen Verfahren.
+
+\end{frame}
+
+\end{document}
diff --git a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
index 07c295badf62ced30429d5eaeab8e2ef38c520fa..5f35725836026229c0d3288ab18671a00f7756ba 100644
--- a/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
+++ b/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.tex
@@ -156,7 +156,7 @@ shapes,backgrounds,snakes,intersections,3d}
% title page
\title[Grundlagen Mathematik]{Grundlagen Mathematik}
-\subtitle{9.\ Partielle Differentialgleichungen}
+\subtitle{9c.\ Lösungstechniken für partielle Differentialgleichungen}
\author{Prof.\ Dr.\,Oliver Sander}
\setbeamertemplate{date/place in footline}[default][O.\,Sander]
\date{}
@@ -185,557 +185,6 @@ shapes,backgrounds,snakes,intersections,3d}
% erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
\justifying
-\section{Partielle Differentialgleichungen}
-
-\subsection{Beispiele}
-
-\subsubsection{Wellengleichung}
-\begin{frame}
- \frametitle{Beispiel: Die Wellengleichung}
-
- \medskip
-
- \structure{Eindimensionale Wellengleichung:}
-
- \begin{equation*}
- \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
- =
- \frac{2E}{D}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
- \end{equation*}
-
- \begin{center}
- \begin{tikzpicture}
- % left fixture
- \node[rectangle,pattern=north east lines,minimum width=5mm,minimum height=7.5mm] (l) at (-4,0) {};
- \draw[thick] (-3.5, 0.375) -- ++(0.0, -0.75);
- %right fixture
- \node[rectangle,pattern = north east lines,minimum width=5mm,minimum height=7.5mm] (r) at (4,0) {};
- \draw[thick] ( 3.5, 0.375) -- ++(0.0, -0.75);
- % left spring
- \draw[thick] (l) -- (r);
- \end{tikzpicture}
- \end{center}
-
- Beschreibt die Auslenkung $u$ eines elastischen Bandes.
-
- \structure{Größen:}
- \begin{itemize}
- \item $D$ Massendichte
- \item $E$ Festigkeit des Materials
- \end{itemize}
-
- \structure{Höhere Dimensionen:}
- Sei $\Omega$ eine Gebiet (offen und beschränkt) in $\R^n$.
- \begin{equation*}
- \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
- =
- \frac{2E}{D} \Big[ \frac{\partial^2 u}{\partial {x_1}^2} + \dots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_d^2} \Big]
- \end{equation*}
-
-\end{frame}
-
-\subsubsection{Transportgleichung}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Beispiel: Erhaltungsgleichung}
-
- \begin{equation*}
- \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial \big(\rho(x,t)\, v(x,t)\big)}{\partial x} = f
- \qquad
- \forall t \in [t_0, \infty), \quad x \in \Omega.
- \end{equation*}
-
- \cblue{Möglichkeit 1:} Geschwindigkeit $v$ ist gegeben.
- \begin{itemize}
- \item Dann ist dies eine Differentialgleichung für $\rho$
- \item die sogenannte \cblue{Transportgleichung}.
-\end{itemize}
-
-\pause
-\medskip
-
- \cblue{Möglichkeit 2:} Zusätzliche Relation zwischen Dichte $\rho$ und
- Geschwindigkeit $v$ ist bekannt.
-
- \structure{Höhere Dimensionen:}
-
-Konzentration $c(x,t)$ unter Einfluss der Konvektion $v(x,t)$
-\bigskip
-
-lineare Transportgleichung
-\[
-c_t(x,t) + v(x,t)\cdot\nabla c(x,t) = f(x,t)
-\quad\text{ für alle }x\in\Omega,\;t>0
-\]
-\end{frame}
-
-% \begin{frame}
-% \frametitle{Randbedingungen}
-% Vorgabe der Werte auf dem Rand
-% \[
-% u(x) = g(x) \quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
-% \]
-% Dirichlet-Randbedingung (Randbedingung 1.~Art)
-% \bigskip
-%
-% Vorgabe der Normalenableitung auf dem Rand
-% \[
-% \frac{\partial u}{\partial n}(x) = n(x)\cdot\nabla u(x) = h(x)
-% \quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
-% \]
-% Neumann-Randbedingung (Randbedingung 2.~Art)
-% \bigskip
-%
-% Vorgabe einer Kombination von Wert und Normalenableitung
-% \[
-% \beta u(x) + \frac{\partial u}{\partial n}(x) =
-% \varphi(x)\quad\text{ für alle }x\in\partial\Omega
-% \]
-% Robin-Randbedingung (Randbedingung 3. Art), $\beta$ konstant
-% \end{frame}
-
-\subsubsection{Wärmeleitungsgleichung}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Wärmeleitungsgleichung}
-zeit- und ortsabhängige Konzentration $u$
-\bigskip
-
-räumliches Gebiet $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n=1,2,3$
-\bigskip
-
-Wärmeleitungsgleichung
-\[
-u_t(x,t) - a\Delta u(x,t) = f(x,t)
-\quad\text{ für alle }x\in\Omega,\;t>0
-\]
-mit äußerem Quellterm $f$, $a>0$ konstant
-\bigskip
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Laplace- und Poisson-Gleichung}
-
-Gleichgewichtszustand: keine zeitliche Änderung
-\bigskip
-
-Laplace-Gleichung
-\[
--\Delta u(x) = 0 \quad\text{ für alle }x\in\Omega
-\]
-\medskip
-
-Poisson-Gleichung
-\[
--\Delta u(x) = f(x) \quad\text{ für alle }x\in\Omega
-\]
-mit äußerem Einfluss $f$
-\end{frame}
-
-\subsubsection{Weitere Gleichungen}
-\begin{frame}
- \frametitle{Weitere Gleichungen}
-
- \structure{Navier-Stokes-Gleichung:}
- \begin{equation*}
- u_t + \nu \Delta u + (u\cdot\nabla)u + \nabla p = f,\qquad
- \Div u = 0
- \end{equation*}
-System partieller Differentialgleichungen, Ordnung 2
-
- \medskip
- \structure{Schrödinger-Gleichung:}
- Wellenfunktion $\psi$ eines quantenmechanischen Teilchens in einem Potential $V$.
- \begin{equation*}
- \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V({\vec {r}},t)\psi
- \end{equation*}
- \begin{itemize}
- \item $\psi$ ist komplexwertig
- \item $|\psi(x)|$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am Ort $x$.
- \end{itemize}
-
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Weitere Gleichungen}
-
- \structure{Maxwell-Gleichungen:}
- Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen verknüpfen die elektrische Feldstärke $\vec E$
- und die magnetische Flussdichte $\vec {B}$ mit der Ladungsdichte $\rho$ (Ladung pro Volumen)
- und der elektrischen Stromdichte $\vec \jmath$ (Strom pro durchflossene Fläche).
- \begin{alignat*}{2}
- \vec {\nabla } \cdot \vec {E} & ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} &
- {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}} & =0 \\
- {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}} \\
- {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
- \end{alignat*}
-
-
- \structure{Einstein-Gleichung:}
- \begin{equation*}
- R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{ \mu \nu} R=\kappa T_{ \mu \nu}= \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ \mu \nu}
- \end{equation*}
- \begin{itemize}
- \item $T$: Massendichte
- \item Unbekannte: Metrik der Raumzeit
- \end{itemize}
-
-
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Allgemeine partielle Differentialgleichungen}
-
-% ======================================================================
-% Partielle Differentialgleichung
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Partielle Differentialgleichung}
-\begin{definition}
-Eine Gleichung der Form
-\[
-F\Big(x_1,\dots,x_n,u,
-\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots,
-\frac{\partial u}{\partial x_n},
-\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2},
-\frac{\partial^2 u}{\partial x_1 x_2},
-\dots
-\Big)=0,
-\]
-die eine skalare oder vektorwertige Funktion $u$ der $n$ Variablen $x_1,\dots,x_n$ mit ihren
-partiellen Ableitungen verknüpft, heißt \cblue{partielle Differentialgleichung} für $u$.
-\end{definition}
-
-\medskip
-
-Die höchste vorkommende Ableitungsordnung heißt \cblue{Ordnung} der
-Differentialgleichung.
-
- Die Funktion $u : \Omega \to \R^m$
-heißt Lösung oder Integral der partiellen Differentialgleichung
-\begin{enumerate}
-\item alle auftretenden partiellen Ableitungen von $u$ existieren und
-\item $u$ zusammen mit ihren partiellen Ableitungen die partielle
-Differentialgleichung für alle $(x_1,\dots,x_n)\in \Omega$ erfüllt.
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Wie findet man Lösungen?}
-
- \structure{Draufstarren:}
- \begin{itemize}
- \item Geht selten
- \item Beispiel: Wellengleichung $u_{tt} = u_{xx}$
- \item Lösung: $u(x,t) = \sin(x+t)$
- \end{itemize}
-
- \bigskip
-
- \structure{Analytische Techniken:}
- \begin{itemize}
- \item Integralausdrücke
- \item Reihenentwicklungen
- \item Spezielle Funktionen
- \end{itemize}
-
- \bigskip
-
- \structure{Numerik:}
- \begin{itemize}
- \item Finite-Differenzen-Verfahren
- \item Finite-Elemente-Verfahren
- \item Finite-Volumen-Verfahren
- \end{itemize}
-
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Existenz und Eindeutigkeit}
-
- Gibt es überhaupt Lösungen?
-
- \structure{Existenz:}
- \begin{itemize}
- \item Eine erstaunlich schwierige Frage!
- \item Hängt ab von: Art der Differentialgleichung, Form des Gebiets
- \item Reformulierungen des Ableitungsbegriffs
- \item Noch viele offene Fragen
- \end{itemize}
-
- \structure{Eindeutigkeit:}
- \begin{itemize}
- \item Im Allgemeinen keine eindeutigen Lösungen
- \item Beispiel: Für alle $u$ mit $-\Delta u = f$ ist auch $u+c$ Lösung
- \item Anfangs- und Randbedingungen
- \item Selbst mit korrekten A\&R-Bedingungen haben manche p.DGl.
- mehr als eine Lösung
- \end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Anfangs- und Randbedingungen}
-
- \bigskip
-
- \structure{Anfangsbedingungen:}
- \begin{itemize}
- \item Bei zeitabhängigen Prozessen
- \item Normalerweise: So viele Bedingungen wie es Zeitableitungen gibt
- \item Wärmeleitungsgleichung: Anfangswert
- \item Wellengleichung: Anfangswert und Anfangsgeschwindigkeit
- \end{itemize}
-
- \bigskip
- \structure{Randbedingungen:}
- Bedingungen an $u$ auf dem Rand $\partial \Omega$ von $\Omega$
- \begin{itemize}
- \item Je nach Art der Gleichung auf dem ganzen Rand, oder nur auf einem Teil
- \item Vorgegebener Funktionswert: Dirichlet-Randbedingungen, Randbedingungen 1.~Art,
- Verschiebungsrandbedingungen
- \item Vorgegebene Normalenableitung: Neumann-RB, Randbedingungen 2.~Art,
- Lastrandbedingungen
- \end{itemize}
-
-
-\end{frame}
-
-\subsection{Lineare Gleichungen}
-
-% ======================================================================
-% Einteilung von Differentialgleichungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
-\begin{definition}
-Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{linear},
-falls die gesuchte Funktion und alle vorkommenden
-Ableitungen linear in der Gleichung auftreten.
-\end{definition}
-
-
-\medskip
-
-Die auftretenden Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in
-\Omega \subset\mathbb{R}^n$ abhängen.
-
-\bigskip
-
-\cblue{Beispiel:} Lineare Differentialgleichung 2.~Ordnung
-\[
-(x^2_1+1)\frac{\partial^2 u}{\partial x_1\partial x_2}(x_1,x_2)
-+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}(x_1,x_2) + \sin(x_1)
-\frac{\partial u}{\partial x_1}(x_1,x_2) = \cos(x_1)\,e^{x_2}
-\]
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Quiz}
-
- Welche der folgenden Gleichungen ist linear?
-
- \bigskip
- \begin{enumerate}
- \item Die Burgers-Gleichung
- \begin{equation*}
- {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0
- \end{equation*}
-
- \item Die Schrödinger-Gleichung
- \begin{equation*}
- \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V({\vec {r}},t)\psi
- \end{equation*}
-
- \item Die Diffusionsgleichung
- \begin{equation*}
- \frac{\partial u}{\partial t}
- =
- \Div (C(u) \nabla u)
- \end{equation*}
- (mit einer zustandsabhängigen Diffusivität $C : \R^d \to \R^d$)
- \end{enumerate}
-
-\end{frame}
-
-
-\subsubsection{Das Superpositionsprinzip}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Lineare Differentialgleichungen}
-\begin{definition}
-Sei $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet. Eine lineare partielle
-Differentialgleichung
-\[
-\dots +
-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
-+ \sum_{i=1}^n b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x) + c(x)u(x) = f(x)
-\]
-heißt \cblue{homogen}, falls $f(x)=0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_n)^T\in\Omega$ gilt.
-\end{definition}
-
-\medskip
-
-Andernfalls heißt die Differentialgleichung \cblue{inhomogen}.
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Superpositionsprinzip}
-
-Für lineare Gleichungen gilt das \cblue{Superpositionsprinzip}: \\
-Jede Linearkombination von Lösungen der homogenen Differentialgleichung ist
-Lösung der homogenen Differentialgleichung.
-
-\bigskip
-\pause
-
-Mit anderen Worten: Die Lösungen einer homogenen Differentialgleichung
-bilden einen \cblue{Vektorraum}.
-
-\bigskip
-\pause
-
-Es gilt sogar:
-Sind $u_1,u_2,\dots$ Lösungen der homogenen
-Differentialgleichung, dann ist die Reihe
-\[
-u = \sum_{i=1}^{\infty} C_i u_i,\qquad C_i\in\mathbb{R},\;i=1,2,\dots,
-\]
-Lösung der homogenen Differentialgleichung.
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Superpositionsprinzip}
-
-Die Differenz von zwei Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung
-löst die zugehörige homogene Differentialgleichung.
-
-\bigskip
-\pause
-
-Die Summe aus einer Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und
-einem Vielfachen einer Lösung der homogenen Differentialgleichung ist
-selbst Lösung der inhomogene Differentialgleichung.
-
-\bigskip
-\pause
-
-Lösungen der inhomogenen Gleichung bilden also einen \cblue{affinen Raum}:
-
-\begin{itemize}
- \item Genau wie bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen
- \item Genau wie bei inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen
-\end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-\subsection{Klassifikation von nichtlinearen Gleichungen}
-
-% ======================================================================
-% Einteilung von Differentialgleichungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Einteilung von nichtlinearen Differentialgleichungen}
-\begin{definition}
-Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{semilinear},
-falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear
-auftreten, dies aber nicht mehr für die Funktion und Ableitungen
-niedrigerer Ordnung gilt.
-\end{definition}
-
-\medskip
-
-Die auftretenden Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in
-\Omega \subset\mathbb{R}^n$ abhängen.
-
-\bigskip
-
-\cblue{Beispiel:} Semilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
-\[
-\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
-+ x^2 \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) + u^2(x,y) = \tan(x^2-y)
-\]
-\end{frame}
-
-% ======================================================================
-% Einteilung von Differentialgleichungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
-\begin{definition}
-Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{quasilinear},
-falls die Koeffizientenfunktionen vor den höchsten
-Ableitungen zusätzlich von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten
-Funktion abhängen.
-\end{definition}
-
-\medskip
-
-Die auftretenden Koeffizientenfunktionen dürfen von $x\in \Omega \subset\mathbb{R}^n$ abhängen.
-
-\bigskip
-
-\cblue{Beispiel:} Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
-\[
-u(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
-+ \sin\big(u(x,y)\big) \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) + u^2(x,y)
-= xy^3
-\]
-\end{frame}
-
-% ======================================================================
-% Einteilung von Differentialgleichungen
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Einteilung von Differentialgleichungen}
-\begin{definition}
-Eine partielle Differentialgleichung heißt \cblue{echt nichtlinear}
-falls sie in keine der vorigen Kategorien fällt.
-\end{definition}
-
-\bigskip
-
-\cblue{Beispiel:} Nichtlineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
-\[
-\left(\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)\right)^2
-+ \frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) = 1
-\]
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Quiz}
-
- \bigskip
-
- \begin{overlayarea}{\textwidth}{0.3\textheight}
- \only<1>{
- Die viskose Burgersgleichung
- \begin{equation*}
- \frac {\partial u}{\partial t} + u \frac {\partial u}{\partial x} = \mu \frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}
- \end{equation*}
- }
- \only<2>{
- Die reibungsfreie Burgersgleichung
- \begin{equation*}
- \frac {\partial u}{\partial t} + u \frac {\partial u}{\partial x} = 0
- \end{equation*}
- }
- \end{overlayarea}
- ist
- \begin{enumerate}
- \item linear
- \item semilinear
- \item quasilinear
- \item echt linear
- \end{enumerate}
-
-\end{frame}
-
% \subsection{Einfache Lösungsmethoden}
%
@@ -1091,230 +540,8 @@ falls sie in keine der vorigen Kategorien fällt.
% \end{bemerkung}
% \end{frame}
-\subsection{Klassifikation von semilinearen Gleichungen zweiter Ordnung}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Semilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-
-Semilineare Gleichungen zweiter Ordnung können weiter klassifiziert werden.
-\medskip
-
-\cblue{Betrachte:}
-\[
-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
-+ F\big(x,u(x),\nabla u(x)\big) = 0
-\quad\text{ in }\Omega
-\]
-mit gegebenen Funktionen
-\[
-a_{ij}:\Omega\to\mathbb{R}, \quad i,j=1,\dots,n
-\]
-und
-\[
-F:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}
-\]
-
-\medskip
-
-\cblue{Beachte:} $a_{ij}(x) = a_{ji}(x)$ für alle $x\in\Omega,\;i,j=1,\dots,n$
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Matrix des Hauptteils
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Matrix des Hauptteils}
-\begin{definition}
-Die Matrix
-\[
-A(x) \colonequals
-\begin{pmatrix}
-a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\
-a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\
-\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)
-\end{pmatrix}
-\]
-der semilinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
-\[
-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}(x)
-+ F\big(x,u(x),\nabla u(x)\big) = 0
-\]
-heißt \cblue{Matrix des Hauptteils}.
-\end{definition}
-Die Matrix des Hauptteils ist für jedes $x\in\Omega$ eine symmetrische
-Matrix des Formats $n\times n$ und hat daher nur reelle Eigenwerte.
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Klassifikation
-% ======================================================================
-\begin{frame}
-\frametitle{Klassifikation}
-\begin{definition}
-Sei $A(x)$ die Matrix des Hauptteils. Die semilineare partielle
-Differentialgleichung heißt im Punkt $x\in\Omega$
-\begin{itemize}
-\item \cblue{elliptisch}, wenn alle Eigenwerte von $A(x)$ von $0$ verschieden sind
-und alle das gleiche Vorzeichen besitzen;
-\item \cblue{parabolisch}, wenn genau ein Eigenwert $0$ ist und alle anderen
-Eigenwerte das gleiche Vorzeichen besitzen;
-\item \cblue{hyperbolisch}, wenn alle Eigenwerte von $0$ verschieden sind und genau
-ein Eigenwert das eine und alle verbleibenden Eigenwerte das andere
-Vorzeichen haben.
-\end{itemize}
-\end{definition}
-\begin{itemize}
- \item Der Typ der Differentialgleichung kann an verschiedenen Punkten in $\Omega$
- verschieden sein.
-
- \item Es gibt Differentialgleichungen, die nicht in die obige Klassifikation fallen.
- \end{itemize}
-\end{frame}
-% ======================================================================
-% Beispiele
-% ======================================================================
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Beispiele}
-
- \structure{Differentialgleichung:}
-\begin{equation*}
- \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
- + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- + 5 u
- =
- \sin(xy)
-\end{equation*}
-
-\pause
-\bigskip
-
- \structure{Matrix des Hauptteils:}
-
- \begin{equation*}
- A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
- \end{equation*}
-
- \pause
- \bigskip
-
- \structure{Eigenwerte:}
- \begin{equation*}
- \lambda_1 = \frac{5+\sqrt{13}}{2}
- \qquad
- \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}
- \end{equation*}
-
- \pause
- \bigskip
-
- \structure{Klassifikation:}
- \begin{itemize}
- \item Beide positiv -- Gleichung ist elliptisch!
- \end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{Beispiele}
-
- \structure{Differentialgleichung:}
-\begin{equation*}
- (1-x^2 - y^2) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
- + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- - (x^2 + y^2) u
- =
- 0
-\end{equation*}
-
-\pause
-\bigskip
-
- \structure{Matrix des Hauptteils:}
-
- \begin{equation*}
- A = \begin{pmatrix} 1 -x^2-y^2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
- \end{equation*}
-
- \pause
- \bigskip
-
- \structure{Eigenwerte:}
- \begin{equation*}
- \lambda_1 = 1 - x^2 - y ^2
- \qquad
- \lambda_2 = 1
- \end{equation*}
-
- \pause
- \bigskip
-
- \structure{Klassifikation:}
- \begin{itemize}
- \item Elliptisch für $x^2 + y^2 <1$
- \item Parabolisch für $x^2 + y^2 =1$
- \item Hyperbolisch für $x^2 + y^2 >1$
- \end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Beispiele}
-
-\begin{itemize}
-
- \item Laplace-/Poisson-Gleichung
-\begin{equation*}
- - \Delta u = f
-\end{equation*}
-
-\qquad $\rightarrow$ elliptisch
-\medskip
-\pause
-
-\item Wärmeleitungsgleichung
-\begin{equation*}
- \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u
-\end{equation*}
-\qquad $\rightarrow$ parabolisch
-\medskip
-\pause
-
-\item Wellengleichung\\
-\begin{equation*}
- \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u
-\end{equation*}
-\qquad $\rightarrow$ hyperbolisch
-
-\end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Wozu diese Klassifikation?}
-
-\bigskip
-
-\structure{Verständnis:}
-
-Der Typ beschreibt das qualitative Verhalten von Lösungen:
-\begin{itemize}
- \item Stationäre Prozesse sind häufig \cblue{elliptisch}.
-
- \item \cblue{Hyperbolische} Gleichungen beschreiben Schwingungen und Wellen.
-
- \item Ausgleichsprozesse (z.B.\ Diffusion und Wärmeleitung)
- sind häufig \cblue{parabolisch}.
-\end{itemize}
-
-\bigskip
-
-\structure{Numerik:}
-
-Der Typ hat weiterhin Einfluss auf die Wahl von geeigneten numerischen Verfahren.
-
-\end{frame}
+\section{Die Wärmeleitungsgleichung}
% ======================================================================
% Homogene Wärmeleitungsgleichung mit homogenen RB
@@ -2038,6 +1265,7 @@ u(x,t) = \frac{1}{30} - \sum_{k=1}^{\infty}
\]
\end{frame}
+\section{Die Wellengleichung}
% ======================================================================
% Wellengleichung für eine endlich lange Saite
@@ -3140,6 +2368,7 @@ u(x,t) = \frac{1}{2}\sin(2x)\sin(2t) + \frac{1}{2}\big(\sin(t)-\cos(t)+e^{-t}\bi
\]
\end{frame}
+\section{Die Poissongleichung}
% ======================================================================
% Poisson-Gleichung
diff --git a/README.md b/README.md
index 016679864e8c00aa15eef6a5fc3715c17a8b21f5..e73e6139624cce1771b6e4e12dcc2c5ccaff2135 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -333,6 +333,7 @@ Maschinenbauerinnen und Maschinenbauer behandeln zusätzlich noch partielle Diff
Folien:
* [Herleitung von partiellen Differentialgleichungen](https://gitlab.mn.tu-dresden.de/osander/folien-mathe-fuer-ingenieure/-/jobs/artifacts/master/raw/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Herleitung_von_partiellen_DGl.pdf?job=partielle-differentialgleichungen)
+* [Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen](https://gitlab.mn.tu-dresden.de/osander/folien-mathe-fuer-ingenieure/-/jobs/artifacts/master/raw/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Klassifikation_von_partiellen_DGl.pdf?job=partielle-differentialgleichungen)
* [Partielle Differentialgleichungen](https://gitlab.mn.tu-dresden.de/osander/folien-mathe-fuer-ingenieure/-/jobs/artifacts/master/raw/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen.pdf?job=partielle-differentialgleichungen)
* [Numerik](https://gitlab.mn.tu-dresden.de/osander/folien-mathe-fuer-ingenieure/-/jobs/artifacts/master/raw/Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen/Kapitel_Numerik_von_partiellen_DGl.pdf?job=partielle-differentialgleichungen)