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@@ -95,6 +95,8 @@
 % erst hier, damit im Titel nicht getrennt wird
 \justifying
 
+\section{Zufallsgrößen}
+
 \begin{frame}
   \frametitle{Zufallsgrößen}
 
@@ -640,6 +642,8 @@
   \end{enumerate}
 \end{frame}
 
+\subsection{Die Binomialverteilung}
+
 \begin{frame}
   \frametitle{Binomialverteilung}
   \vspace{-0.5cm}
@@ -771,12 +775,11 @@
   \end{center}
 \end{frame}
 
+\subsection{Der Erwartungswert}
+
 \begin{frame}
   \frametitle{Der Erwartungswert}
 
-  \bigskip
-  \bigskip
-
   Gegeben ein Zufallsexperiment mit Zufallsgröße $X$.
   \vspace{-0.25cm}
   \begin{center}
@@ -797,10 +800,7 @@
     \end{center}
   \vspace{-0.25cm}
 
-  \bigskip
-
   \structure{Frage:}
-
   Welchen Wert von $X$ bekommt man \glqq im Mittel\grqq , wenn man das
   Zufallsexperiment häufig durchführt?
 \end{frame}
@@ -810,9 +810,14 @@
 
   \bigskip
 
-  \structure{Der einfache Fall:}\\
+  \structure{Der einfache Fall:}
+
+  \smallskip
+
   Sei $X$ Zufallsgröße mit \cblue{endlich vielen} möglichen Werten $x_1, \dots, x_n$.
 
+  \smallskip
+
   Dazugehörige Wahrscheinlichkeiten: $p_1, \dots, p_n$
 
   \bigskip
@@ -908,7 +913,10 @@
   \medskip
 
   \structure{Der nicht mehr ganz so einfache Fall:}\\
-  Falls $X$ \cblue{abzählbar unendlich viele} Werte annehmen kann:
+
+  \smallskip
+
+  Falls $X$ \cblue{abzählbar unendlich viele} Werte annehmen kann!
 
   \medskip
   \pause
@@ -925,10 +933,11 @@
     E(X) \colonequals \sum_{k=1}^\infty p_k x_k
   \end{equation*}
   \vspace{-0.01\textheight}
-  \cblue{Erwarungswert von $X$}.
+  \cblue{Erwartungswert von $X$}.
   \end{definition}
 \end{frame}
 
+\subsection{Die Standardabweichung}
 
 \begin{frame}
   \frametitle{Die Standardabweichung}
@@ -960,7 +969,7 @@
 
   \begin{definition}
   $X$ sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten $x_1, x_2, \dots$, den dazugehörigen
-  Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \dots$, und dem Erwarungswert $E(X)$. Wenn die Reihe
+  Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, \dots$, und dem Erwartungswert $E(X)$. Wenn die Reihe
   \begin{equation*}
     \sigma_X^2 \colonequals \sum_{k=1}^\infty p_k (x_k - E(X))^2
   \end{equation*}
@@ -1116,9 +1125,11 @@
 
   \bigskip
 
-  Eine Zufallsgröße $X$ heißt stetig, wenn sie mehr als nur abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
+  Eine Zufallsgröße $X$ heißt \cblue{reell},
+  wenn sie mehr als nur abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
   \begin{itemize}
   \item z.B.\ Werte aus ganz $\mathbb{R}$
+  \item Es muss also insbesondere die Elementarereignismenge überabzählbar sein.
   \end{itemize}
 
   \pause
@@ -1130,10 +1141,10 @@
   \end{equation*}
   \pause
 
-  Zwei Hürden:
+  \structure{Zwei Hürden:}
   \begin{enumerate}
-   \item Man kann nicht summieren -- stattdessen muss ein Integral her
-   \item Gibt es die Einzelwahrscheinlichkeiten $p_k \colonequals P\{X = x_k\}$?
+   \item Man kann nicht summieren -- stattdessen muss ein Integral her.
+   \item Keine Einzelwahrscheinlichkeiten $p_k \colonequals P\{X = x_k\}$
   \end{enumerate}
 
 \end{frame}
@@ -1152,6 +1163,10 @@
 
   Die Funktion $p$ nennt man die \cblue{Wahrscheinlichkeitsdichte von $X$}.
   \end{definition}
+
+  \bigskip
+
+  Solche Dichtefunktionen existieren insbesondere wenn $F$ differenzierbar ist.
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
@@ -1401,6 +1416,8 @@
   Der Erwartungswert ist der Mittelwert der Zufallsgröße,
   wenn man das Experiment unendlich oft durchführt.
 
+  \smallskip
+
   Für \cblue{diskrete} Zufallsgrößen:
 $$
 E(X) \colonequals \sum_{k = 0}^\infty x_k p_k
@@ -1440,7 +1457,10 @@ Für \cblue{stetige} Zufallsgrößen:
 
 \begin{frame}
   \frametitle{Die Standardabweichung}
-  Wie weit sind Zufallsgrößen im Mittel von $E(X)$ entfernt?\\
+  Wie weit sind Zufallsgrößen im Mittel von $E(X)$ entfernt?
+
+  \smallskip
+
   \cblue{Diskrete} Zufallsgrößen:
   \begin{equation*}
    \sigma_X^2 \colonequals \sum_{k = 1}^\infty (x_k - E(X))^2 p_k
@@ -1451,7 +1471,7 @@ Für \cblue{stetige} Zufallsgrößen:
   \begin{definition}
     Sei $X$ eine \cblue{stetige} Zufallsgröße mit einer Dichte $p$, dann
     heißt
-    $$ \sigma_X^2 \colonequals \int_{-\infty}^\infty \left[\xi - E(X)\right]^2\cdot p(\xi) d\xi
+    $$ \sigma_X^2 \colonequals \int_{-\infty}^\infty \left[\xi - E(X)\right]^2\cdot p(\xi) \, d\xi
     $$
     \cblue{Streuung} von $X$ (falls das Integral existiert).
   \end{definition}