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@@ -160,14 +160,56 @@ Definitionsbereich $D\subset\R^d$
\begin{pmatrix} f_1(x_1,\dots,x_d)\\ \vdots\\ f_d(x_1,\dots,x_d)\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{itemize}
- \item Jedem $x\in D$ wird genau eine \textcolor{blue}{Vektor} aus $\R^n$ zugeordnet.
+ \item Jedem $x\in D$ wird genau ein \textcolor{blue}{Vektor} aus $\R^d$ zugeordnet.
\item Geschwindigkeiten, Feldstärken, etc.
\item Im Kontext der Vektoranalysis: \cblue{Vektorfeld}
\end{itemize}
}
\end{overlayarea}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Vektorfelder}
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+ \begin{axis}[
+ axis line style={thick},
+ tick style={thick, black},
+ %width=0.5\textwidth,
+ view={0}{90},
+ xmin=-2.1, xmax=2.35,
+ ymin=-2.25, ymax=2.25,
+ axis lines=middle,
+ axis line style={->},
+ hide z axis=true,
+ xtick distance=1,
+ xticklabel=\empty,
+ ytick distance=1,
+ yticklabel=\empty,
+ ]
+ \addplot3[
+ blue,
+ quiver={
+ u={-y},
+ v={x},
+ scale arrows=0.4,
+ },
+ -stealth,
+ samples=10,
+ domain=-1.8:1.8,
+ ] {0};
+ \end{axis}
+ \end{tikzpicture}
+
+ \end{center}
+ \cblue{Vektorwertige Funktion} $f:D\to\R^d$
+ \begin{equation*}
+ x=(x_1,\dots,x_d)\mapsto f(x)=
+ \begin{pmatrix} f_1(x)\\ \vdots\\ f_d(x)\end{pmatrix}=
+ \begin{pmatrix} f_1(x_1,\dots,x_d)\\ \vdots\\ f_d(x_1,\dots,x_d)\end{pmatrix}
+ \end{equation*}
\end{frame}
@@ -222,14 +264,12 @@ bezeichnet wird.
Wenn man $\varphi$ als Höhe interpretiert, so zeigt $\grad \varphi$
in Richtung des steilsten Anstiegs.
+
\begin{center}
- \begin{tikzpicture}
- \draw [<->] (-3,0) -- (3,0);
- \draw [<->] (0,3) -- (0,-3);
- \end{tikzpicture}
+ \includegraphics[width=0.55\textwidth]{contour_xx-yy}
+ $\varphi: [-1,1]^2 \to\mathbb{R}$, \quad $(x,y)\mapsto x^2-y^2$
\end{center}
-
\end{frame}
% ======================================================================
@@ -279,10 +319,30 @@ $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^d$.
\end{satz}
\bigskip
-\cblue{Das heißt:}\\
+\begin{overlayarea}{\textwidth}{0.4\textheight}
+\only<2>
+{
+ \cblue{Das heißt:}\\
Der Wert des Kurvenintegrals 2.~Art hängt in diesem Fall nur von den Endpunkten der Kurve,
aber \cblue{nicht von der Kurve selbst} ab.
+}
+\only<3>
+{
+\cblue{Beweis:}
+\begin{align*}
+ \int_{\gamma} v\cdot d\vv{s}
+ & =
+ \int_a^b v(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt
+ =
+ \int_a^b \grad \varphi(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt \\
+ & =
+ \int_a^b \frac{d \varphi(\gamma(t))}{dt}\,dt
+ =
+ \varphi\big(\gamma(b)\big) - \varphi\big(\gamma(a)\big)
+\end{align*}
+}
+\end{overlayarea}
\end{frame}
\begin{frame}
@@ -368,6 +428,70 @@ auf einen Punkt $x\in M$ zusammengezogen werden kann.
\end{definition}
\end{frame}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel}
+
+ \bigskip
+
+ Die zweidimensionale Kreisscheibe ist einfach zusammenhängend.
+
+ \bigskip
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [fill=grey!20] (3.2,2.85) circle [radius=2cm];
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Beispiel}
+
+ \bigskip
+
+ Die zweidimensionale Kreisscheibe mit Loch ist einfach zusammenhängend.
+
+ \bigskip
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \draw [fill=grey!20] (3.2,2.85) circle [radius=2cm];
+ \draw [fill=white] (3.2,2.85) circle [radius=0.2cm];
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Quiz}
+
+ \bigskip
+
+ Die dreidimensionale Kugel mit Loch ist einfach zusammenhängend.
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item Stimmt
+ \item Stimmt nicht
+ \end{itemize}
+
+ \begin{center}
+ \begin{tikzpicture}
+ \coordinate (center) at (6,2.5);
+ \shade [ball color=white] (center) circle [radius=1.5cm];
+ \draw[thick] (center) circle (1.5cm);
+ \draw[thick,dotted] (center) circle (0.5cm);
+
+ \coordinate (left) at (5.5,2.5);
+ \draw[dotted, thick] (left) arc(180:0:0.5cm and 0.2cm);
+ \draw[dotted, thick] (left) arc(-180:0:0.5cm and 0.2cm);
+
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+\end{frame}
+
% ======================================================================
% Existenz von Potentialen
% ======================================================================
@@ -523,6 +647,11 @@ bezeichnet wird.
\medskip
+Häufig verwendet man auch den Anglizismus \cblue{curl}.
+
+\medskip
+\pause
+
Ein Vektorfeld $v$ mit $\rot v=0$ heißt \cblue{wirbelfrei}.
\end{frame}
@@ -618,14 +747,14 @@ sei zweimal stetig partiell differenzierbar. Dann gilt
Das gilt auch umgekehrt!
\begin{itemize}
- \item Wenn $\rot v = 0$ dann existiert ein Skalarfeld $\varphi$
+ \item Sei $D$ wieder einfach zusammenhängend.
+ \item Wenn zusätzlich $\rot v = 0$, dann existiert ein Skalarfeld $\varphi$
so dass
\begin{equation*}
v = \grad \varphi.
\end{equation*}
- \item Mit anderen Worten: In $\R^3$ ist $\rot v = 0$
- äquivalent zur Symmetrie von $\nabla v$.
+ \item Denn: In $\R^3$ ist $\rot v = 0$ äquivalent zur Symmetrie von $\nabla v$.
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -642,10 +771,13 @@ Das gilt auch umgekehrt!
Sei $D\subset\mathbb{R}^n$ offen und $v:D\to\mathbb{R}^n$ mit
$v=(v_1,\dots,v_n)^T$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Der Operator
\cblue{$\Div$} ordnet durch
-\[
+\begin{equation*}
\Div v \colonequals \frac{\partial v_1}{\partial x_1}
+ \dots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}
-\]
+\end{equation*}
+
+\medskip
+
dem Vektorfeld $v:D \to \R^n$ das
Skalarfeld $\Div v:D\to\mathbb{R}$ zu, welches als \cblue{Divergenz von $v$}
bezeichnet wird.
@@ -790,7 +922,46 @@ partiell differenzierbar. Dann gilt
\bigskip
- (Es gibt noch mehr\dots)
+ %(Es gibt noch mehr\dots)
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Der de Rham-Komplex}
+
+ (nach Georges de Rham, 1903--1990)
+
+ \begin{equation*}
+ \R
+ \xrightarrow{\operatorname{Id}}
+ C^\infty(D,\R)
+ \xrightarrow{\grad}
+ C^\infty(D,\R^3)
+ \xrightarrow{\rot}
+ C^\infty(D,\R^3)
+ \xrightarrow{\Div}
+ C^\infty(D,\R)
+ \end{equation*}
+
+ \medskip
+
+ \structure{Rechenregeln:}
+ \begin{itemize}
+ \item $\grad$ einer konstanten Funktion ist $0$.
+ \item $\rot \grad \varphi = 0$
+ \item $\Div \rot v = 0$
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+ \pause
+
+ \structure{Abstrakt:}
+ \begin{itemize}
+ \item Je zwei aufeinanderfolgende Operatoren hintereinander ergeben $0$.
+ \end{itemize}
+
+ Enthält viel Information über die Topologie von $D$
+ (z.B.\ die Anzahl der Löcher)
+
\end{frame}
@@ -832,6 +1003,7 @@ $\Delta$} ordnet $\varphi$ durch
\Delta\varphi\colonequals \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}
+ \dots + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_n^2}
\]
+\medskip
das Skalarfeld $\Delta\varphi:D\to\mathbb{R}$ zu,
welches als \cblue{Laplace von $\varphi$} bezeichnet wird.
\end{definition}