Diverse Detailverbesserungen

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -3186,7 +3186,7 @@ Spektralradius der multiplikativen Methode abgeschätzt.}
  \end{equation*}
 \end{theorem}
 
-Die Selbstadjungiertheit von $\_\text{add}A = P \colonequals \sum_{i=1}^K P_i$
+Die Selbstadjungiertheit von $B_\text{add}A = P \colonequals \sum_{i=1}^K P_i$
 folgt aus der Selbstadjungiertheit der $P_i$.  Und die gilt da für all $u,v \in X$
 \begin{equation*}
  a(P_i u,v) = a(v,P_i u) = a(P_iv,P_i u) = a(P_i u, P_i v) = a(u,P_i v).
@@ -4586,7 +4586,17 @@ kleine Unterschiede.
 Dies ist fast Definition~\ref{def:TRK_annahme_1}, aber nicht ganz:
 Dort muss die Abschätzung für alle $x$ aus $X_j$ gelten, hier nur für alle
 $x$ aus $(I-P_{j-1})X_j$.
-\todo[inline]{Beispiel: Wie sieht so ein Raum aus?}
+
+\begin{example}
+ Sei $X_{j-1}$ der Raum aller Lagrange-FE-Funktionen erster Ordnung auf
+ einem Gitter $\mathcal{T}_{j-1}$ ist, und $X_j$ der entsprechende Raum
+ auf einer uniformen Verfeinerung von $\mathcal{T}_{j-1}$.
+
+ Dann ist wird $(I- P_{j-1})X_j$ aufgespannt durch die Knotenbasisfunktionen
+ $\varphi_j^i$ zu allen Knoten die es in $\mathcal{T}_j$ gibt, aber nicht
+ in $\mathcal{T}_{j-1}$.
+\end{example}
+
 
 \begin{definition}
  Es existiert $\beta >0$, so dass für beliebige $x,y\in X_j$ mit $x=\sum_{i=1}^{n_j} x^i$
@@ -4605,34 +4615,40 @@ Anschaulich gesprochen, überlappen sich die Unterräume $X_{j}^k$ kaum.
 
 \subsubsection{Die additive Methode}
 
-Wir definieren die additive Methode von Schwarz $R_{j}^{a}\colon X_{j} \to X_{j}$ durch $R_{j}^a \colonequals\eta R_{j}$ mit
+Wir definieren die additive Methode von Schwarz $\Radd_j : X_{j} \to X_{j}$ durch
+$\Radd_j \colonequals\eta R_{j}$ mit
 \begin{equation}\label{defsschwarz}
   R_{j}
   =
   \sum_{i=1}^{n_j} A_{j,i}^{-1} Q_j^i
-  =
-  \sum_{i=1}^{n_j} P_j^i A_{j,i}^{-1}
 \end{equation}
 und einer Skalierungskonstante $\eta$.
-\todo[inline]{Wie genau interpretiert man das $A_{j,i}^{-1}$?}
+Wegen Lemma~\ref{lem:QjAleqAjPj} ist das äquivalent zur bisherigen Definition
+\begin{equation}
+\label{eq:aschwarzrepre}
+  R_j A_j
+  =
+  \sum_{i=1}^{n_j} P_j^i.
+\end{equation}
 
 \begin{theorem}\label{satzAsspossyminv}
-  Die additive Methode von Schwarz $R^a_{j}$ ist positiv definit, symmetrisch bzgl. $(\cdot,\cdot)$ und invertierbar.
+  Die additive Methode von Schwarz $\Radd_j$ ist positiv definit, symmetrisch bzgl. $(\cdot,\cdot)$ und invertierbar.
 \end{theorem}
 \todo[inline]{Können wir den Beweis in ein früheres Kapitel schieben?}
 \begin{proof}
   Sei $x\in X_{j}\backslash\set{0}$. Mit der Definition von $R_{j}$ in \eqref{defsschwarz} und da $A_{j,k}^{-1}$ positiv definit ist, folgt
   \begin{equation*}
-    (R_{j}x,x) = \sum_{k=1}^K (A_{j,k}^{-1}Q^k_{j}x,x) = \sum_{k=1}^K (A_{j,k}^{-1}Q^k_{j}x,Q^k_{j}x) > 0.
+    (R_{j}x,x) = \sum_{i=1}^{n_j} (A_{j,i}^{-1}Q^i_{j}x,x) = \sum_{i=1}^{n_j} (A_{j,i}^{-1}Q^i_{j}x,Q^i_{j}x) > 0.
   \end{equation*}
-  Damit ist $R_{j}$ positiv definit.\\
+  Damit ist $R_{j}$ positiv definit.
+
   Seien $x,y\in X_{j}$ beliebig.
   Dann folgt die Symmetrie von $R_{j}$ bezüglich $(\cdot,\cdot)$ durch
   \begin{align*}
-    (R_{j}x,y)  &= \sum_{k=1}^K (A_{j,k}^{-1}Q^k_{j}x,y) \\
-                &= \sum_{k=1}^K (A_{j,k}^{-1}Q^k_{j}x,Q^k_{j}y) \\
-                &= \sum_{k=1}^K (Q^k_{j}x,A_{j,k}^{-1}Q^k_{j}y) \\
-                &= (x,R_{j}y).
+    (R_jx,y)  &= \sum_{k=i}^{n_j} (A_{j,i}^{-1} Q^i_j x,y) \\
+              &= \sum_{k=i}^{n_j} (A_{j,i}^{-1} Q^i_{j}x, Q^i_jy) \\
+              &= \sum_{k=i}^{n_j} (Q^i_jx, A_{j,i}^{-1} Q^i_jy) \\
+              &= (x,R_jy).
   \end{align*}
   Als linearer, positiv definiter Operator auf einem endlich-dimensionalen Raum $X_j$
   ist $R_j$ auch invertierbar.
@@ -4647,8 +4663,6 @@ und einer Skalierungskonstante $\eta$.
 
 Für den Beweis brauchen wir wieder Hilfssatz~\ref{lem:aPinvuu_has_minimal_energy}.
 Zur Erinnerung: Dieser besagt:
-\todo[inline]{Hilfssatz~\ref{lem:aPinvuu_has_minimal_energy} ist anders hingeschrieben.
-Dort steht links ebenfalls das $a(\cdot,\cdot)$-Skalarprodukt.}
 
 \begin{lemma}\label{smootherinveqinfsum}
   Für die additive Methode von Schwarz mit $\eta=1$ gilt für jedes $j=1,\dots ,J$
@@ -4659,6 +4673,19 @@ Dort steht links ebenfalls das $a(\cdot,\cdot)$-Skalarprodukt.}
   \end{equation*}
 \end{lemma}
 
+\emph{Achtung:} In Hilfssatz~\ref{lem:aPinvuu_has_minimal_energy} steht auf der linken Seite
+$a(P^{-1}x,x)$ statt $((\Radd_j)^{-1}x,x)$.  Das macht aber keinen Unterschied, denn
+\begin{equation*}
+ ((\Radd_j)^{-1}x,x)
+ =
+ (A_j (\Radd_j A_j)^{-1}x,x)
+ =
+ a((\Radd_j A_j)^{-1}x,x)
+ =
+ a(P^{-1}x,x).
+\end{equation*}
+
+
 \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{konvergenceAdditiveSmoother}]
   Der Beweis basiert auf \cite{arnold2000multigrid}, Kapitel 3.
   Zuerst zeigen wir, dass Bedingung \eqref{eq:scondition2} erfüllt ist,
@@ -4825,7 +4852,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
   \begin{equation*}
     (R^\textup{add}_{j}x,x) \leq \beta^2 (R_{j}^\textup{mult}x,x)\quad \forall x\in X_{j}
   \end{equation*}
-  mit $\beta$ aus der Überlappungsbedingung  \eqref{ssmcondition1}.
+  mit $\beta$ aus der Überlappungsbedingung~\eqref{eq:ssmcondition1}.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
   Der Beweis wurde \cite{arnold1997preconditioning} entnommen.
@@ -4855,7 +4882,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
   Damit erhalten wir
   \begin{align}\label{msshelp1}
     a(R_{j}^aAx,x)
-    \stackrela{\eqref{aschwarzrepre}}{=}
+    \stackrela{\eqref{eq:aschwarzrepre}}{=}
     \sum_{k=1}^{K} a(P_{j}^kx,x)\\
     %
     \stackrela{\text{Lemma~\ref{helplemmaAssleqmss}}}{=}
@@ -4898,7 +4925,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
   Schließlich gilt mit \eqref{msseq}
   \begin{align}
     a(R_{j}^aA_{j}x,x)
-    \stackrela{\eqref{aschwarzrepre}}{=}
+    \stackrela{\eqref{eq:aschwarzrepre}}{=}
     \sum_{k=1}^{K} a(P_{j}^kx,x) \nonumber\\
     %
     &\leq