@@ -445,6 +464,8 @@ Die Matrizen sind schlecht konditioniert.
\end{itemize}
\end{itemize}
\emph{Konsequenz:} Wir brauchen Lösungsverfahren, deren Geschwindigkeit
möglichst unabhängig von $\kappa(A)$ ist.
\begin{exercise}
...
...
@@ -454,10 +475,10 @@ Die Matrizen sind schlecht konditioniert.
\subsubsection{Dünnbesetztheit}
Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
Mehr zu dünnen Matrizen findet man z.B.\bei \citet{pissanetzky:1984}.
\begin{itemize}
\item Ein Matrixeintrag $A_{ij}= a(\varphi_i, \varphi_j)$ ist genau dann
\item Ein Matrixeintrag $A_{ij}\colonequals a(\varphi_i, \varphi_j)$ ist genau dann
nicht Null, wenn sich die Träger von $\varphi_i$ und $\varphi_j$ überlappen.
\item D.h.\ der überwiegende Teil der Matrixeinträge ist Null.
...
...
@@ -469,10 +490,6 @@ Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
die nicht von der Gitterauflösung abhängt.
\item Die Matrix enthält also nur $O(n)$ Einträge
\item Wendet man das Gauß-Verfahren auf solch eine Matrix an, so entstehen bei den Zwischenschritten in der Matrix eine beträchtliche Anzahl von zusätzlichen Einträgen ("`fill-in"').
\item Das Gauß-Verfahren ist deshalb nicht nur zu langsam, es braucht auch zu viel Speicher.
\end{itemize}
\bigskip
...
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@@ -495,9 +512,17 @@ Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
\end{algorithm}
Das braucht nur $O(\#\text{Nichtnulleinträge})$ Operationen (statt $O(n^2)$).
\bigskip
Direkte Verfahren wie Gauß-Elimination oder Cholesky-Zerlegung sind i.A. zu teuer.
\item Wendet man das Gauß-Verfahren auf solch eine Matrix an, so entstehen bei den Zwischenschritten in der Matrix eine beträchtliche Anzahl von zusätzlichen Einträgen ("`fill-in"').
\item Das Gauß-Verfahren ist deshalb nicht nur zu langsam, es braucht auch zu viel Speicher.
\end{itemize}
\subsection{Direkte Verfahren für dünnbesetzte Gleichungen}