Mehr über die Eigenschaften von FE-Matrizen

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -396,8 +396,11 @@ Wir beschäftigen uns jetzt mit der Frage, wie die linearen
 Gleichungssysteme~\eqref{eq:fe_lineares_gleichungssystem} gelöst werden können.
 
 \subsection{Eigenschaften von Finite-Elemente-Matrizen}
+
+Finite-Elemente-Matrizen haben bestimmte Eigenschaften, die das Lösen schwierig machen.
+
 \subsubsection{Größe}
-Die Matrizen aus dem obigen Beispiel können sehr groß werden.
+Finite-Elemente-Matrizen können sehr groß werden:
 \begin{itemize}
  \item Für jeden Lagrangeknoten enthält~\eqref{eq:fe_lineares_gleichungssystem} eine Gleichung.
 
@@ -406,7 +409,7 @@ Die Matrizen aus dem obigen Beispiel können sehr groß werden.
 
  \item Je feiner das Gitter, desto präziser die Lösung, desto größer aber auch die Matrix.
 
- \item Eine Zahl in doppelter Genauigkeit braucht $8$~Byte.  In ein GB RAM
+ \item Eine Zahl in doppelter Genauigkeit braucht $8$~Byte.  In ein Gigabyte Hauptspeicher
    passen also ca.\ $1{,}25\cdot 10^{8}$ Zahlen.
 \end{itemize}
 
@@ -416,21 +419,37 @@ Die Matrizen aus dem obigen Beispiel können sehr groß werden.
 
 \subsubsection{Kondition}
 
-Die Matrizen sind schlecht konditioniert.
+Die Matrizen zu elliptischen Problemen sind positiv definit, aber sie
+sind schlecht konditioniert.
+
+\medskip
 
-\emph{Beispiel:} $\Omega = [0,1]^2$, strukturiertes Dreiecksgitter mit Kantenlänge $h$.
+\emph{Beispiel:} Die Poisson-Gleichung auf $\Omega = [0,1]^2$, Finite-Elemente
+mit Lagrange-Elementen auf einem strukturierten Dreiecksgitter mit Kantenlänge $h = \frac{1}{n}$.
 \begin{itemize}
- \item Die Eigenwerte von $A$ sind~\cite[Kapitel~12.3.3]{dahmen_reusken:2008}
-  \todo[inline]{Kommt noch}
+ \item Die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix $A$ sind~\cite[Kapitel~12.3.3]{dahmen_reusken:2008}
+  \begin{align*}
+   \lambda_{\nu \mu}
+   & =
+   \frac{4}{h^2} \Big[\sin^2 \Big(\frac{1}{2} \nu \pi h \Big)+\sin^2 \Big(\frac{1}{2} \mu \pi h \Big) \Big],
+   \qquad
+   1 \le \nu,\mu < n.
+  \end{align*}
 
- \item Die Kondition ist deshalb (die Matrix ist symmetrisch)
+ \item Die Kondition ist deshalb ($A$ ist symmetrisch)
   \begin{equation*}
-   \kappa
+   \kappa(A)
    =
    \frac{\lambda_\text{max}}{\lambda_\text{min}}
    =
+   \frac{\lambda_{n-1,n-1}}{\lambda_{1,1}}
+   =
+   \frac{\sin^2 \Big(\frac{1}{2} (n-1) \pi h \Big)}{\sin^2 \Big(\frac{1}{2} \pi h \Big)}
+   =
+   \frac{\cos^2 \big(\frac{1}{2} \pi h \big)}{\sin^2 \big(\frac{1}{2} \pi h \big)}
+   =
+   \frac{4}{(\pi h)^2} \big(1+\mathcal{O} (h^2) \big).
   \end{equation*}
-  \todo[inline]{Kommt noch}
 
  \item Die Kondition hängt außerdem ab von:
   \begin{itemize}
@@ -445,6 +464,8 @@ Die Matrizen sind schlecht konditioniert.
   \end{itemize}
 \end{itemize}
 
+\emph{Konsequenz:} Wir brauchen Lösungsverfahren, deren Geschwindigkeit
+möglichst unabhängig von $\kappa(A)$ ist.
 
 
 \begin{exercise}
@@ -454,10 +475,10 @@ Die Matrizen sind schlecht konditioniert.
 
 \subsubsection{Dünnbesetztheit}
 
-Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
+Mehr zu dünnen Matrizen findet man z.B.\ bei \citet{pissanetzky:1984}.
 
 \begin{itemize}
-\item Ein Matrixeintrag $A_{ij} = a(\varphi_i, \varphi_j)$ ist genau dann
+\item Ein Matrixeintrag $A_{ij} \colonequals a(\varphi_i, \varphi_j)$ ist genau dann
   nicht Null, wenn sich die Träger von $\varphi_i$ und $\varphi_j$ überlappen.
 
 \item D.h.\ der überwiegende Teil der Matrixeinträge ist Null.
@@ -469,10 +490,6 @@ Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
   die nicht von der Gitterauflösung abhängt.
 
 \item Die Matrix enthält also nur $O(n)$ Einträge
-
-\item Wendet man das Gauß-Verfahren auf solch eine Matrix an, so entstehen bei den Zwischenschritten in der Matrix eine beträchtliche Anzahl von zusätzlichen Einträgen ("`fill-in"').
-
-\item Das Gauß-Verfahren ist deshalb nicht nur zu langsam, es braucht auch zu viel Speicher.
 \end{itemize}
 
 \bigskip
@@ -495,9 +512,17 @@ Mehr zu lesen findet man z.B. bei \citet{pissanetzky:1984}.
   \end{algorithm}
 Das braucht nur $O(\# \text{Nichtnulleinträge})$ Operationen (statt $O(n^2)$).
 
+\bigskip
+
 Direkte Verfahren wie Gauß-Elimination oder Cholesky-Zerlegung sind i.A. zu teuer.
 
-\emph{Erinnerung:} Gauß-Elimination braucht $O(n^3)$ Rechenoperationen!
+\begin{itemize}
+ \item \emph{Erinnerung:} Gauß-Elimination braucht $O(n^3)$ Rechenoperationen!
+
+ \item Wendet man das Gauß-Verfahren auf solch eine Matrix an, so entstehen bei den Zwischenschritten in der Matrix eine beträchtliche Anzahl von zusätzlichen Einträgen ("`fill-in"').
+
+ \item Das Gauß-Verfahren ist deshalb nicht nur zu langsam, es braucht auch zu viel Speicher.
+\end{itemize}
 
 \subsection{Direkte Verfahren für dünnbesetzte Gleichungen}