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Detailverbesserungen bei den Zerlegungen der Nédélec- und RT-Räume

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......@@ -7466,9 +7466,10 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
Mit $\phi$ bzw. $\bphi$ bezeichnen wir eine globale Basisfunktion des jeweiligen Raumes.
Die Koeffizienten bezeichnen wir mit $a\in \R$.
Mit den Subindizes $v,e,f,T$ wird verdeutlicht zu welchem geometrischen Objekt die Basisfunktion gehört.
Als Beispiel ist $a_{f}\phi_{f}$ eine um $a_{f}$ skalierte Basisfunktion, deren zugehöriger Freiheitsgrad zu der Seite $f$ gehört.\\
Als Beispiel ist $a_{f}\phi_{f}$ eine um $a_{f}$ skalierte Basisfunktion, deren zugehöriger Freiheitsgrad zu der Seite $f$ gehört.
\textbf{1})
\begin{enumerate}[wide]
\item
Der Raum $S_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defFEL2} und \eqref{defFESh} nur Freiheitsgrade auf einzelnen Tetraedern aus $\T_{h}$. Die Träger der Basisfunktionen liegen in genau einem Simplex.
Für ein beliebiges $s\in S_{h}$ gilt
\begin{equation*}
......@@ -7496,7 +7497,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\end{equation*}
\textbf{2}) Der Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defRT} Freiheitsgrade, die auf Tetraedern und Seiten definiert sind.
\item Der Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defRT} Freiheitsgrade, die auf Tetraedern und Seiten definiert sind.
Es gilt für $\bv\in \bV_{h}$
\begin{equation*}
\bv = \sum_{T\in \T_{h}} a_{T}\bphi_{T} + \sum_{f\in \F_{h}} a_{f}\bphi_{f}.
......@@ -7548,7 +7549,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
Und damit folgt die Behauptung für $\bV_{h}$.
\textbf{3}) Der Raum der N\'ed\'elec Funktionen $\bQ_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defNedelec} Freiheitsgrade, die auf Simplizes, Seiten und Kanten definiert sind.
\item Der Raum der Nédélec Funktionen $\bQ_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defNedelec} Freiheitsgrade, die auf Simplizes, Seiten und Kanten definiert sind.
Es gilt für $\bq\in \bQ_{h}$
\begin{equation*}
\bq = \sum_{T\in \T_{h}} a_{T}\bphi_{T} + \sum_{f\in \F_{h}} a_{f}\bphi_{f} + \sum_{e\in \E_{h}} a_{e}\bphi_{e}.
......@@ -7573,6 +7574,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\end{align*}
Insbesondere ist $\#\E^\nu_{h}$ nur von der Konstante der Quasiuniformität des Gitters $\T_{h}$ abhängig, nicht jedoch von der Anzahl der Elemente.
Der Rest der Abschätzung ist analog zu $\bV_{h}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
......@@ -7625,7 +7627,7 @@ Das folgende Lemma gliedert sich nicht richtig in den Lesefluss ein, enthält ab
\begin{proof}
Es gilt
\begin{align*}
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \underbrace{\gradv p}_{\in (\bbP_{k-1})^3}\diff \bx - \int_{\d K}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn p\diff s.
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \underbrace{\gradv p}_{\in (\bbP_{k-1})^3}\,d \bx - \int_{\d K}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn p\,d s.
\end{align*}
Insbesondere gibt es eine Linearkombinationen der $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ sodass
\begin{align*}
......@@ -7635,7 +7637,7 @@ Das folgende Lemma gliedert sich nicht richtig in den Lesefluss ein, enthält ab
gilt.
Damit folgt nun mit \eqref{rtinterpol}
\begin{align*}
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \sum_{i}a_{i}\int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \bq_{K,i}\diff \bx - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\int_{f}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn q_{f,i}\diff s\\
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \sum_{i}a_{i}\int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \bq_{K,i}\,d \bx - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\int_{f}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn q_{f,i}\,d s\\
&= \sum_{i}a_{i}N^K_{i}(\bu-\bPi^K \bu) - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}N^K_{f,i}(\bu-\bPi^K\bu)\\
&= \sum_{i}a_{i}\Big[N^K_{i}(\bu)- \underbrace{N^K_{i}(\bPi^K \bu)}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{i}(\bu)}\Big] - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\Big[ N^K_{f,i}(\bu)- \underbrace{N^K_{f,i}(\bPi^K\bu))}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{f,i}(\bu)}\Big]\\
&=0. \qedhere
......@@ -7650,19 +7652,19 @@ Nun definieren wir den globalen Interpolationsoperator $\bPi^V_{h}:\bHd\to\bV_{h
\end{equation*}
Um Abschätzungen über die Approximationseigenschaft von $\bPi^V_{h}$ zu zeigen, benötigen wir die Ungleichungen
\begin{align}\label{chFErtInterKtohatK}
\norm{\bu-\bPi^K\bu}^2_{\bL^2(K)}&=\int_{K} (\bu-\bPi^K\bu)^2\diff\bx \nonumber \\
&= \frac{1}{\det\bB}\int_{\hat{K}} \left(\bB\hat{\bu}(\hat{\bx})-\bB\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}(\hat{\bx}) \right)^2\diff\hat{\bx}\nonumber\\
\norm{\bu-\bPi^K\bu}^2_{\bL^2(K)}&=\int_{K} (\bu-\bPi^K\bu)^2\,d\bx \nonumber \\
&= \frac{1}{\det\bB}\int_{\hat{K}} \left(\bB\hat{\bu}(\hat{\bx})-\bB\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}(\hat{\bx}) \right)^2\,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq \frac{1}{\det\bB} \norm{\bB}^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}\nonumber\\
\overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}c \frac{1}{\det\bB} h^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}
\end{align}
und
\begin{align}\label{chFErtIneq}
|\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})} &= \int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\hat{\bu}))^2 \diff\hat{\bx}\nonumber\\
&= (\det\bB)^{2}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bB^{-1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \diff\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bu(\bF(\hat{\bx}))) )^2 \diff\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\norm{\bB}^{2(k+1)}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \diff\hat{\bx}\nonumber\\
\overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}(\det\bB)^{2}h^{2k}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})))^2 \diff\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB) h^{2k}\int_{K} (D^{k+1}\bu )^2 \diff\bx\nonumber\\
|\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})} &= \int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\hat{\bu}))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&= (\det\bB)^{2}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bB^{-1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bu(\bF(\hat{\bx}))) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\norm{\bB}^{2(k+1)}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
\overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}(\det\bB)^{2}h^{2k}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB) h^{2k}\int_{K} (D^{k+1}\bu )^2 \,d\bx\nonumber\\
&= (\det\bB) h^{2k}|\bu|^2_{\bH^{k+1}(K)}
\end{align}
......
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