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Erkläre die Probleme curlcurl und graddiv

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......@@ -5532,6 +5532,210 @@ Die Vektorpotentialformulierung ist
mit $\bB = \curl \bA$.
\section{Die Probleme $\curl \curl$ und $\grad \div$}
Die verschiedenen Variationen der Maxwell-Gleichungen aus dem vorigen
Kapitel haben alle eine ähnliche Struktur.
\begin{problem}[$\curl \curl$]
Sei $\Omega$ ein Gebiet in $\R^3$. Finde $\bu : \Omega \to \mathbb{C}^3$
so dass
\begin{equation}
\label{eq:curlcurl_strong_form}
\curl \mu^{-1} \curl \bu + \kappa \bu = \mathbf{f}
\end{equation}
unter passenden Randbedingungen.
\end{problem}
Der Parameter $\kappa$ hängt vom Problem ab:
\begin{itemize}
\item $\kappa = 0$ für das magnetostatische Problem
\item $\kappa = i \omega \sigma$ für das quasistatische Problem
\item $\kappa = i \omega \sigma - \epsilon \omega^2$ für das zeitharmonische Problem.
\end{itemize}
Das $\curl \curl$-Problem hat einen Verwandten:
\begin{problem}[$\grad \div$]
Sei $\Omega$ ein Gebiet in $\R^3$. Finde $\bu : \Omega \to \R^3$
so dass
\begin{equation*}
\nabla \mu^{-1} \div \bu + \kappa \bu = \mathbf{f}
\end{equation*}
unter passenden Randbedingungen.
\end{problem}
Für den Rest des Kapitels wollen wir diese beiden Probleme behandeln.
\subsection{Schwache Formulierungen}
Für die Finite-Elemente-Methode brauchen wir zunächst die schwache
Formulierung der Probleme $\curl \curl$ und $\grad \div$.
\medskip
Als technisches Hilfsmittel brauchen wir die partielle Integration.
\begin{theorem}[Partielle Integration für $\curl$]
Seien $\bu, \bv : \Omega \to \R^3$ hinreichend glatt. Dann gilt
\begin{equation*}
\int_\Omega \curl \bu \cdot \bv\,dx
=
\int_\Omega \bu \curl \bv\,dx - \int_{\partial \Omega} (\bu \times \bn) \cdot \bv\,dx.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Übung!
\end{proof}
\begin{theorem}[Partielle Integration für $\grad$ und $\div$]
Seien $u : \Omega \to \R$ und $\bv : \Omega \to \R^3$ hinreichend glatt. Dann gilt
\begin{equation*}
\int_\Omega \nabla u \cdot \bv\,dx
=
-\int_\Omega u \div \bv\,dx + \int_{\partial \Omega} u (\bv \cdot \bn)\,dx.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Übung!
\end{proof}
Damit leiten wir die schwache Formulierung des $\curl \curl$ Problems her:
Zunächst multiplizieren wir die starke Gleichung~\eqref{eq:curlcurl_strong_form}
mit einer Testfunktion~$\bv$, und integrieren über $\Omega$:
\begin{equation*}
\int_\Omega \curl \mu^{-1} \curl \bu \cdot \bv\,dx
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx = \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv\,dx.
\end{equation*}
Dann wenden wir die partielle Integration auf den ersten Term an
\begin{equation*}
\int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx
-
\int_{\partial \Omega} (\mu^{-1} (\curl \bu) \times \bn) \bv\,dx
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
=
\int_\Omega \mathbf{f}\cdot \bv\,dx.
\end{equation*}
Wie beim Poisson-Problem auch kann man das Randintegral auf
zwei Arten behandeln:
\begin{enumerate}
\item Man fordert eine Randbedingung der Art
\begin{equation*}
\mu^{-1} (\curl \bu) \times \bn = g_N.
\end{equation*}
\item Man testet nur mit Funktionen $\bv$ die punktweise
senkrecht auf $\curl \bu \times \bn$ stehen.
\todo[inline]{Geht das? (Müsste $\bv \times \bn = 0$ sein?)
Und wie kommt man damit auf die normale Dirichlet-Bedingung
$(\bu \times \bn) \times \bn = 0$?}
\end{enumerate}
Wir betrachten nur Dirichlet-Randbedingungen, und kommen auf das
schwache Problem:
\todo[inline]{Wäre es nicht einfacher das homogene Neumann-Problem
zu betrachten?}
Finde $\mu :\Omega \to \R^3$ mit $\bu \times \bn = 0$ auf $\partial \Omega$
so dass
\begin{equation*}
\int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \curl \bv\,dx
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
=
\int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv \,dx.
\end{equation*}
für alle $\bv : \Omega \to \R^3$ mit $\bv \times \bn = 0$ auf $\partial \Omega$.
\medskip
Ganz ähnlich verfährt man für das $\grad \div$-Problem. Multiplikation mit
Testfunktion $\bv$ und Integration:
\begin{equation*}
\int_\Omega (\nabla \mu^{-1} \div \bu) \cdot \bv\,dx
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx = \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv\,dx.
\end{equation*}
Partielle Integration:
\begin{equation*}
- \int_\Omega \mu^{-1} \div \bu \div \bv\,dx
+
\int_{\partial \Omega} \mu^{-1} \div \bu \bv \cdot \bn\,dS
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
=
\int_\Omega \mathbf{f} \bv\,dx.
\end{equation*}
Für den Rand geben wir vor:
\begin{enumerate}
\item $\mu^{-1} \div \bu = g_N$,
\item Man testet nur mit Tangentialfeldern, d.h.
$\bv \cdot \bn = 0$ fast überall auf $\partial \Omega$.
\todo[inline]{Das nochmal bei Arnold nachschauen!}
\end{enumerate}
Wieder betrachten wir nur den zweiten Fall.
\medskip
Man erhält:
\begin{problem}
Finde $\bu : \Omega \to \R^3$ mit $\bu \cdot \bn = 0$ auf $\partial \Omega$
so dass
\begin{equation*}
- \int_\Omega \mu^{-1} \div \bu \div \bv \,dx
+
\int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
=
\int_\Omega \mathbf{f} \bv \,dx
\end{equation*}
für alle $\bv : \Omega \to \R^3$ mit $\bv \cdot \bn = 0$ auf $\partial \Omega$.
\end{problem}
\subsection{Die Räume $H(\curl)$ und $H(\div)$}
Welches sind die natürlichen Funktionenräume für diese Probleme?
\medskip
Die Faustregel für diese Frage ist häufig: \glqq Der größte Raum in dem
die auftretenden Ausdrücke noch definiert sind.\grqq
\medskip
In diesem Fall sind die relevanten Ausdrücke Integrale über die Differentialoperatoren
$\curl$ und $\div$.
\medskip
Wir definieren deshalb die Räume
\begin{align*}
H(\curl)
& \colonequals
\Big\{ \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \; : \; \curl \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \Big\}
\intertext{und}
H(\div)
& \colonequals
\Big\{ \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \; : \; \div \bv \in L^2(\Omega) \Big\}
\end{align*}
Man sieht direkt dass
\begin{equation*}
H^1(\Omega; \R^3) \subset H(\curl)
\qquad \text{und} \qquad
H^1(\Omega; \R^3) \subset H(\div)
\end{equation*}
aber beide Inklusionen sind echt.
\begin{exercise}
Finden Sie eine Funktion in $H(\curl)$ die nicht in $H^1$ ist.
Wiederholen Sie die Übung für $H(\div)$.
\end{exercise}
......
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