Erkläre die Probleme curlcurl und graddiv

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -5532,6 +5532,210 @@ Die Vektorpotentialformulierung ist
 mit $\bB = \curl \bA$.
 
 
+\section{Die Probleme $\curl \curl$ und $\grad \div$}
+
+Die verschiedenen Variationen der Maxwell-Gleichungen aus dem vorigen
+Kapitel haben alle eine ähnliche Struktur.
+
+\begin{problem}[$\curl \curl$]
+ Sei $\Omega$ ein Gebiet in $\R^3$.  Finde $\bu : \Omega \to \mathbb{C}^3$
+ so dass
+ \begin{equation}
+ \label{eq:curlcurl_strong_form}
+  \curl \mu^{-1} \curl \bu + \kappa \bu = \mathbf{f}
+ \end{equation}
+ unter passenden Randbedingungen.
+\end{problem}
+
+Der Parameter $\kappa$ hängt vom Problem ab:
+\begin{itemize}
+ \item $\kappa = 0$ für das magnetostatische Problem
+ \item $\kappa = i \omega \sigma$ für das quasistatische Problem
+ \item $\kappa = i \omega \sigma - \epsilon \omega^2$ für das zeitharmonische Problem.
+\end{itemize}
+
+Das $\curl \curl$-Problem hat einen Verwandten:
+\begin{problem}[$\grad \div$]
+ Sei $\Omega$ ein Gebiet in $\R^3$.  Finde $\bu : \Omega \to \R^3$
+ so dass
+ \begin{equation*}
+  \nabla \mu^{-1} \div \bu + \kappa \bu = \mathbf{f}
+ \end{equation*}
+ unter passenden Randbedingungen.
+\end{problem}
+
+Für den Rest des Kapitels wollen wir diese beiden Probleme behandeln.
+
+\subsection{Schwache Formulierungen}
+
+Für die Finite-Elemente-Methode brauchen wir zunächst die schwache
+Formulierung der Probleme $\curl \curl$ und $\grad \div$.
+
+\medskip
+
+Als technisches Hilfsmittel brauchen wir die partielle Integration.
+
+\begin{theorem}[Partielle Integration für $\curl$]
+ Seien $\bu, \bv : \Omega \to \R^3$ hinreichend glatt.  Dann gilt
+ \begin{equation*}
+  \int_\Omega \curl \bu \cdot \bv\,dx
+  =
+  \int_\Omega \bu \curl \bv\,dx - \int_{\partial \Omega} (\bu \times \bn) \cdot \bv\,dx.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+ Übung!
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[Partielle Integration für $\grad$ und $\div$]
+ Seien $u : \Omega \to \R$ und $\bv : \Omega \to \R^3$ hinreichend glatt.  Dann gilt
+ \begin{equation*}
+  \int_\Omega \nabla u \cdot \bv\,dx
+  =
+  -\int_\Omega u \div \bv\,dx + \int_{\partial \Omega} u (\bv \cdot \bn)\,dx.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+ Übung!
+\end{proof}
+
+Damit leiten wir die schwache Formulierung des $\curl \curl$ Problems her:
+Zunächst multiplizieren wir die starke Gleichung~\eqref{eq:curlcurl_strong_form}
+mit einer Testfunktion~$\bv$, und integrieren über $\Omega$:
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega \curl \mu^{-1} \curl \bu \cdot \bv\,dx
+ +
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx = \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv\,dx.
+\end{equation*}
+Dann wenden wir die partielle Integration auf den ersten Term an
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx
+ -
+ \int_{\partial \Omega} (\mu^{-1} (\curl \bu) \times \bn) \bv\,dx
+ +
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
+ =
+ \int_\Omega \mathbf{f}\cdot \bv\,dx.
+\end{equation*}
+
+Wie beim Poisson-Problem auch kann man das Randintegral auf
+zwei Arten behandeln:
+\begin{enumerate}
+ \item Man fordert eine Randbedingung der Art
+  \begin{equation*}
+   \mu^{-1} (\curl \bu) \times \bn = g_N.
+  \end{equation*}
+
+ \item Man testet nur mit Funktionen $\bv$ die punktweise
+  senkrecht auf $\curl \bu \times \bn$ stehen.
+
+  \todo[inline]{Geht das?  (Müsste $\bv \times \bn = 0$ sein?)
+   Und wie kommt man damit auf die normale Dirichlet-Bedingung
+   $(\bu \times \bn) \times \bn = 0$?}
+
+\end{enumerate}
+
+Wir betrachten nur Dirichlet-Randbedingungen, und kommen auf das
+schwache Problem:
+\todo[inline]{Wäre es nicht einfacher das homogene Neumann-Problem
+ zu betrachten?}
+Finde $\mu :\Omega \to \R^3$ mit $\bu \times \bn = 0$ auf $\partial \Omega$
+so dass
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \curl \bv\,dx
+ +
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
+ =
+ \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv \,dx.
+\end{equation*}
+für alle $\bv : \Omega \to \R^3$ mit $\bv \times \bn = 0$ auf $\partial \Omega$.
+
+\medskip
+
+Ganz ähnlich verfährt man für das $\grad \div$-Problem.  Multiplikation mit
+Testfunktion $\bv$ und Integration:
+\begin{equation*}
+ \int_\Omega (\nabla \mu^{-1} \div \bu) \cdot \bv\,dx
+ +
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx = \int_\Omega \mathbf{f} \cdot \bv\,dx.
+\end{equation*}
+Partielle Integration:
+\begin{equation*}
+ - \int_\Omega \mu^{-1} \div \bu \div \bv\,dx
+ +
+ \int_{\partial \Omega} \mu^{-1} \div \bu \bv \cdot \bn\,dS
+ +
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
+ =
+ \int_\Omega \mathbf{f} \bv\,dx.
+\end{equation*}
+
+Für den Rand geben wir vor:
+\begin{enumerate}
+ \item $\mu^{-1} \div \bu = g_N$,
+
+ \item Man testet nur mit Tangentialfeldern, d.h.
+   $\bv \cdot \bn = 0$ fast überall auf $\partial \Omega$.
+ \todo[inline]{Das nochmal bei Arnold nachschauen!}
+\end{enumerate}
+
+Wieder betrachten wir nur den zweiten Fall.
+
+\medskip
+
+Man erhält:
+\begin{problem}
+ Finde $\bu : \Omega \to \R^3$ mit $\bu \cdot \bn = 0$ auf $\partial \Omega$
+ so dass
+ \begin{equation*}
+  - \int_\Omega \mu^{-1} \div \bu \div \bv \,dx
+  +
+  \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv\,dx
+  =
+  \int_\Omega \mathbf{f} \bv \,dx
+ \end{equation*}
+ für alle $\bv : \Omega \to \R^3$ mit $\bv \cdot \bn = 0$ auf $\partial \Omega$.
+
+\end{problem}
+
+\subsection{Die Räume $H(\curl)$ und $H(\div)$}
+
+Welches sind die natürlichen Funktionenräume für diese Probleme?
+
+\medskip
+
+Die Faustregel für diese Frage ist häufig: \glqq Der größte Raum in dem
+die auftretenden Ausdrücke noch definiert sind.\grqq
+
+\medskip
+
+In diesem Fall sind die relevanten Ausdrücke Integrale über die Differentialoperatoren
+$\curl$ und $\div$.
+
+\medskip
+
+Wir definieren deshalb die Räume
+\begin{align*}
+ H(\curl)
+ & \colonequals
+ \Big\{ \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \; : \; \curl \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \Big\}
+ \intertext{und}
+ H(\div)
+ & \colonequals
+ \Big\{ \bv \in L^2(\Omega;\R^3) \; : \; \div \bv \in L^2(\Omega) \Big\}
+\end{align*}
+Man sieht direkt dass
+\begin{equation*}
+ H^1(\Omega; \R^3) \subset H(\curl)
+ \qquad \text{und} \qquad
+ H^1(\Omega; \R^3) \subset H(\div)
+\end{equation*}
+aber beide Inklusionen sind echt.
+
+\begin{exercise}
+ Finden Sie eine Funktion in $H(\curl)$ die nicht in $H^1$ ist.
+ Wiederholen Sie die Übung für $H(\div)$.
+\end{exercise}