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Sander, Oliver
skript-mehrgitter
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2594fbb5
Commit
2594fbb5
authored
Jun 05, 2021
by
Sander, Oliver
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Erkläre die Probleme curlcurl und graddiv
parent
a0bdedd0
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#6501
passed with stage
in 3 minutes and 21 seconds
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skript-mehrgitter-sander.tex
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2594fbb5
...
...
@@ -5532,6 +5532,210 @@ Die Vektorpotentialformulierung ist
mit
$
\bB
=
\curl
\bA
$
.
\section
{
Die Probleme
$
\curl
\curl
$
und
$
\grad
\div
$}
Die verschiedenen Variationen der Maxwell-Gleichungen aus dem vorigen
Kapitel haben alle eine ähnliche Struktur.
\begin{problem}
[
$
\curl
\curl
$
]
Sei
$
\Omega
$
ein Gebiet in
$
\R
^
3
$
. Finde
$
\bu
:
\Omega
\to
\mathbb
{
C
}^
3
$
so dass
\begin{equation}
\label
{
eq:curlcurl
_
strong
_
form
}
\curl
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
+
\kappa
\bu
=
\mathbf
{
f
}
\end{equation}
unter passenden Randbedingungen.
\end{problem}
Der Parameter
$
\kappa
$
hängt vom Problem ab:
\begin{itemize}
\item
$
\kappa
=
0
$
für das magnetostatische Problem
\item
$
\kappa
=
i
\omega
\sigma
$
für das quasistatische Problem
\item
$
\kappa
=
i
\omega
\sigma
-
\epsilon
\omega
^
2
$
für das zeitharmonische Problem.
\end{itemize}
Das
$
\curl
\curl
$
-Problem hat einen Verwandten:
\begin{problem}
[
$
\grad
\div
$
]
Sei
$
\Omega
$
ein Gebiet in
$
\R
^
3
$
. Finde
$
\bu
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
so dass
\begin{equation*}
\nabla
\mu
^{
-1
}
\div
\bu
+
\kappa
\bu
=
\mathbf
{
f
}
\end{equation*}
unter passenden Randbedingungen.
\end{problem}
Für den Rest des Kapitels wollen wir diese beiden Probleme behandeln.
\subsection
{
Schwache Formulierungen
}
Für die Finite-Elemente-Methode brauchen wir zunächst die schwache
Formulierung der Probleme
$
\curl
\curl
$
und
$
\grad
\div
$
.
\medskip
Als technisches Hilfsmittel brauchen wir die partielle Integration.
\begin{theorem}
[Partielle Integration für
$
\curl
$
]
Seien
$
\bu
,
\bv
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
hinreichend glatt. Dann gilt
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
\curl
\bu
\cdot
\bv\,
dx
=
\int
_
\Omega
\bu
\curl
\bv\,
dx -
\int
_{
\partial
\Omega
}
(
\bu
\times
\bn
)
\cdot
\bv\,
dx.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Übung!
\end{proof}
\begin{theorem}
[Partielle Integration für
$
\grad
$
und
$
\div
$
]
Seien
$
u :
\Omega
\to
\R
$
und
$
\bv
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
hinreichend glatt. Dann gilt
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
\nabla
u
\cdot
\bv\,
dx
=
-
\int
_
\Omega
u
\div
\bv\,
dx +
\int
_{
\partial
\Omega
}
u (
\bv
\cdot
\bn
)
\,
dx.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Übung!
\end{proof}
Damit leiten wir die schwache Formulierung des
$
\curl
\curl
$
Problems her:
Zunächst multiplizieren wir die starke Gleichung~
\eqref
{
eq:curlcurl
_
strong
_
form
}
mit einer Testfunktion~
$
\bv
$
, und integrieren über
$
\Omega
$
:
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
\curl
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\cdot
\bv\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx =
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\cdot
\bv\,
dx.
\end{equation*}
Dann wenden wir die partielle Integration auf den ersten Term an
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\cdot
\curl
\bv\,
dx
-
\int
_{
\partial
\Omega
}
(
\mu
^{
-1
}
(
\curl
\bu
)
\times
\bn
)
\bv\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx
=
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\cdot
\bv\,
dx.
\end{equation*}
Wie beim Poisson-Problem auch kann man das Randintegral auf
zwei Arten behandeln:
\begin{enumerate}
\item
Man fordert eine Randbedingung der Art
\begin{equation*}
\mu
^{
-1
}
(
\curl
\bu
)
\times
\bn
= g
_
N.
\end{equation*}
\item
Man testet nur mit Funktionen
$
\bv
$
die punktweise
senkrecht auf
$
\curl
\bu
\times
\bn
$
stehen.
\todo
[inline]
{
Geht das? (Müsste
$
\bv
\times
\bn
=
0
$
sein?)
Und wie kommt man damit auf die normale Dirichlet-Bedingung
$
(
\bu
\times
\bn
)
\times
\bn
=
0
$
?
}
\end{enumerate}
Wir betrachten nur Dirichlet-Randbedingungen, und kommen auf das
schwache Problem:
\todo
[inline]
{
Wäre es nicht einfacher das homogene Neumann-Problem
zu betrachten?
}
Finde
$
\mu
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
mit
$
\bu
\times
\bn
=
0
$
auf
$
\partial
\Omega
$
so dass
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\curl
\bv\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx
=
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\cdot
\bv
\,
dx.
\end{equation*}
für alle
$
\bv
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
mit
$
\bv
\times
\bn
=
0
$
auf
$
\partial
\Omega
$
.
\medskip
Ganz ähnlich verfährt man für das
$
\grad
\div
$
-Problem. Multiplikation mit
Testfunktion
$
\bv
$
und Integration:
\begin{equation*}
\int
_
\Omega
(
\nabla
\mu
^{
-1
}
\div
\bu
)
\cdot
\bv\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx =
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\cdot
\bv\,
dx.
\end{equation*}
Partielle Integration:
\begin{equation*}
-
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\div
\bu
\div
\bv\,
dx
+
\int
_{
\partial
\Omega
}
\mu
^{
-1
}
\div
\bu
\bv
\cdot
\bn\,
dS
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx
=
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\bv\,
dx.
\end{equation*}
Für den Rand geben wir vor:
\begin{enumerate}
\item
$
\mu
^{
-
1
}
\div
\bu
=
g
_
N
$
,
\item
Man testet nur mit Tangentialfeldern, d.h.
$
\bv
\cdot
\bn
=
0
$
fast überall auf
$
\partial
\Omega
$
.
\todo
[inline]
{
Das nochmal bei Arnold nachschauen!
}
\end{enumerate}
Wieder betrachten wir nur den zweiten Fall.
\medskip
Man erhält:
\begin{problem}
Finde
$
\bu
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
mit
$
\bu
\cdot
\bn
=
0
$
auf
$
\partial
\Omega
$
so dass
\begin{equation*}
-
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\div
\bu
\div
\bv
\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv\,
dx
=
\int
_
\Omega
\mathbf
{
f
}
\bv
\,
dx
\end{equation*}
für alle
$
\bv
:
\Omega
\to
\R
^
3
$
mit
$
\bv
\cdot
\bn
=
0
$
auf
$
\partial
\Omega
$
.
\end{problem}
\subsection
{
Die Räume
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$}
Welches sind die natürlichen Funktionenräume für diese Probleme?
\medskip
Die Faustregel für diese Frage ist häufig:
\glqq
Der größte Raum in dem
die auftretenden Ausdrücke noch definiert sind.
\grqq
\medskip
In diesem Fall sind die relevanten Ausdrücke Integrale über die Differentialoperatoren
$
\curl
$
und
$
\div
$
.
\medskip
Wir definieren deshalb die Räume
\begin{align*}
H(
\curl
)
&
\colonequals
\Big\{
\bv
\in
L
^
2(
\Omega
;
\R
^
3)
\;
:
\;
\curl
\bv
\in
L
^
2(
\Omega
;
\R
^
3)
\Big\}
\intertext
{
und
}
H(
\div
)
&
\colonequals
\Big\{
\bv
\in
L
^
2(
\Omega
;
\R
^
3)
\;
:
\;
\div
\bv
\in
L
^
2(
\Omega
)
\Big\}
\end{align*}
Man sieht direkt dass
\begin{equation*}
H
^
1(
\Omega
;
\R
^
3)
\subset
H(
\curl
)
\qquad
\text
{
und
}
\qquad
H
^
1(
\Omega
;
\R
^
3)
\subset
H(
\div
)
\end{equation*}
aber beide Inklusionen sind echt.
\begin{exercise}
Finden Sie eine Funktion in
$
H
(
\curl
)
$
die nicht in
$
H
^
1
$
ist.
Wiederholen Sie die Übung für
$
H
(
\div
)
$
.
\end{exercise}
...
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