@@ -4397,72 +4507,92 @@ so konstruieren können dass $\alpha$ nicht von der Problemgröße abhängt.
\subsection{Die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz}
Die gemeinsame Idee der Verfahren ist es, den Lösungsraum in Unterräume aufzuteilen und auf jeweils diesen Unterräumen eine Lösung zu finden.
Diese lokalen Lösungen werden dann zu einer Lösung auf dem gesamten Raum zusammengesetzt.
Der Unterschied zwischen den Verfahren ergibt sich daraus, wie die Lösung auf dem Gesamtraum gebildet wird.
\\
In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz, Glätter sind, die die Bedingungen aus Theorem \eqref{absMGconvergence} erfüllen.
\subsection{Glätter: Die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz}
Dafür benötigen wir eine Zerlegung der endlich dimensionalen Unterräume $X_{j}$ in Unterräume $X_{j}^k$ für $k=1,\dots, K$, sodass
Im vorigen Abschnitt haben wir bewiesen dass das Mehrgitterverfahren konvergiert,
wenn der Glätter bestimmte Eigenschaften hat.
\medskip
In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die additive und die symmetrische, multiplikative Methode
von Schwarz die Bedingungen aus Satz~\ref{thm:absMGconvergence} erfüllen.
\medskip
Dafür zerlegen wir die endlichdimensionalen Unterräume $X_j$ wieder in Unterräume $X_{j}^i$
für $i=1,\dots, n_j$, so dass
\begin{equation*}
X_{j} = \sum\limits_{k=1}^{K} X_{j}^k
X_j = \sum_{i=1}^{n_j} X_j^i
\end{equation*}
gilt.
Dann kann ein beliebiges $x\in X_{j}$ durch
\begin{equation*}
x = \sum\limits_{k=1}^{K} x_{k}
x = \sum_{i=1}^{n_j} x_i
\end{equation*}
mit $x_{k}\in X_{j}^k$, beschrieben werden.
Diese Zerlegung hängt von den Räumen $X_{j}^k$ ab und ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
Wir nutzen die Operatoren $A_{j},P_{j},Q_{j}$ für die Teilräume $X_{j}^k$ und bezeichnen sie mit $A_{j,k},P_{j}^k$ und $Q_{j}^k$.
mit $x_i\in X_{j}^i$, beschrieben werden.
Diese Zerlegung hängt von den Räumen $X_{j}^i$ ab und ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
Wir definieren die additive Methode von Schwarz $R_{j}^{a}\colon X_{j}\to X_{j}$ durch $R_{j}^a \colonequals\eta R_{j}$ mit
Sie iteriert über die Unterräume $X_{j}^k$ und addiert alle lokalen Lösungen auf. Diese Summe ist die Lösung auf dem Gesamtraum und wird mit dem Faktor $\eta$ skaliert.
Im Hinterkopf haben wir dabei wieder Zerlegungen gemäß der Knotenbasis, aber es kommen
später auch noch andere.
Die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz $R_{j}^m \colon X_{j}\to X_{j}$ definieren wir für $f \in X_{j}$ durch den Algorithmus
\medskip
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\caption{Die symmetrische multiplikative Methode von Schwarz}
Die Methode iteriert über alle Unterräume. Im Gegensatz zur additiven Methode von Schwarz wird hier die Iterierte nach jedem Unterraum aktualisiert.
Dieser Vorgang wird mit umgekehrter Reihenfolge der Unterräume wiederholt, um Symmetrie zu erhalten. \\
Wir nutzen die Operatoren $A_{j},P_{j},Q_{j}$ für die Teilräume $X_j^i$
und bezeichnen sie mit $A_{j,i},P_{j}^i$ und $Q_{j}^i$.
Die folgenden zwei Bedingungen an die Zerlegung der Räume sind entscheidend, damit die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz die beiden Bedingungen aus Theorem \eqref{absMGconvergence} erfüllen.
\begin{itemize}
\item Es existiert $\beta >0$, so dass für beliebige $x,y\in X_{j}$ mit $x=\sum_{k=1}^Kx^k$ und $y=\sum_{l=1}^Ky^l$
