Eine Kurzerklärung der Maxwell-Gleichung

skript-mehrgitter-sander.bib

@@ -128,3 +128,21 @@ year = {2013}
   journal={Numerische Mathematik},
   year={2000}
 }
+
+@PhdThesis{zaglmayr:2006,
+ author = {Sabine Zaglmayr},
+ title = "High Order Finite Element Methods for Electromagnetic Field Computation.",
+ school = {},
+ year = {2006},
+ url = {http://www.numerik.math.tugraz.at/~zaglmayr/pub/szthesis.pdf},
+}
+
+@Article{hiptmair:2002,
+ author = {Ralf Hiptmair},
+ title = {Finite elements in computational electromagnetism},
+ journal = {Acta Numerica},
+ year = {2002},
+ volume = {11},
+ pages = {237--339},
+ doi = {10.1017/S0962492902000041},
+}

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -63,17 +63,25 @@
 \newcommand{\Rmult}{R^\textup{mult}}
 
 % Bold letters
+\newcommand{\bj}{\bm{j}}
 \newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
 \newcommand*\bu{\bm{u}}
 \newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
 
 \newcommand*\bA{\bm{A}}
+\newcommand*\bB{\bm{B}}
+\newcommand*\bD{\bm{D}}
+\newcommand*\bE{\bm{E}}
+\newcommand*\bF{\bm{F}}
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+
+\newcommand{\btau}{\bm{\tau}}
+
 \newcommand*\bHd{\bH(\div)}
 \newcommand*\til{\widetilde}
 \newcommand{\stackrela}[2]{\overset{#1}&{#2}}
@@ -4994,12 +5002,462 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
 
 \chapter{Gleichungen in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
 
+Wir betrachten jetzt Probleme die in den Funktionenräumen $H(\div)$ oder $H(\curl)$
+wohlgestellt sind.
+
+\begin{itemize}
+ \item Diese sind nicht $H^1$-elliptisch, und Mehrgitterverfahren müssen sich
+   darauf einstellen.
+
+ \item Die Hauptanwendung sind die Maxwell-Gleichungen des klassischen
+   Elektromagnetismus.
+\end{itemize}
+
+Die Darstellung hier ist weitestgehend aus~\cite{zaglmayr:2006} übernommen.
+Eine andere gute Darstellung ist~\cite{hiptmair:2002}.
+
+
 \section{Die Maxwell-Gleichungen}
 
-\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
+Die Maxwell-Gleichungen beschreiben elektrische und magnetische Effekte,
+und deren Interaktion.
+\begin{itemize}
+ \item Zeitabhängige elektrische Felder erzeugen magnetische Felder,
+  und umgekehrt.
+\end{itemize}
+
+Hauptakteure sind die vier folgenden orts- und zeitabhängigen Vektorfelder:
+\begin{itemize}
+ \item Die elektrische Feldstärke $\bE$ (Einheit: $V/m$)
+
+ \item Die magnetische Feldstärke $\bH$ (Einheit: $A/m$)
+
+ \item Das elektrische Flussdichte $\bD$ (mit diversen anderen Namen,
+   z.\,B.\ Verschiebungsflussdichte, engl.\ electric displacement field)
+   (Einheit: $As/m^2$)
+
+ \item Die magnetische Flussdichte / magnetische Induktion $\bB$ (Einheit: Tesla = $Vs / m^2$)
+\end{itemize}
+
+Hervorgerufen werden diese Felder durch
+\begin{itemize}
+ \item Die elektrische Ladungsdichte $\rho$ (Einheit: $As/m^3$)
+
+ \item Die elektrische Stromdichte $\bj$ (Einheit: $A/m^2$).
+\end{itemize}
+
+Im Rahmen unserer Darstellung sind diese Größen fest und gegeben.
+
+In der Realität üben elektromagnetische Felder aber Kräfte auf sich
+bewegende Ladungen aus, und verändern somit ihre räumliche Verteilung.
+Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft.  Das dazugehörige Gesetz
+ist aber nicht Teil der Maxwell-Gleichungen.
+
+
+\bigskip
+
+Die Maxwell-Gleichungen sind am anschaulichsten wenn man sie
+in der Integralform betrachtet.
+
+\medskip
+
+Im Folgenden sei $A$ eine Fläche in $\R^3$, und $\btau$ sei der
+Einheitstangentialvektor von $\partial A$.
+
+$V$ sei ein Volumen in $\R^3$, mit äußerer Einheitsnormale $\bn$.
+
+Die Maxwell-Gleichungen bestehen aus vier einzelnen
+Gleichungen, die selbst wieder Eigennamen haben.
+
+\begin{enumerate}
+ \item Das \textbf{Faradaysche Induktionsgesetz}: Beschreibt wie die
+  zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche $A$
+  ein elektrisches Feld $\bE$ auf $\partial A$ erzeugt:
+  \begin{equation*}
+   \int_A \frac{\partial \bB}{\partial t}\cdot \bn\,dA
+   +
+   \int_{\partial A} \bE \cdot \btau\,ds
+   =
+   0.
+  \end{equation*}
+
+ \item Das \textbf{Ampèresche Gesetz}:
+   Elektrische Ströme durch eine Fläche $A$ erzeugen ein magnetisches
+   Feld.
+   \todo[inline]{Bild!}
+   \begin{equation*}
+    \int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
+    =
+    \int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dA
+    +
+    \int_A \bj \cdot \bn\,dA.
+   \end{equation*}
+
+ \item \textbf{Gaußsches Gesetz}:
+  Beschreibt wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen:
+  \begin{equation*}
+   \int_{\partial V} \bD \cdot \bn \,dA
+   =
+   \int_V \rho\,dx.
+  \end{equation*}
+
+ \item \textbf{Gaußsches Gesetz für Magnetismus}:
+
+  Der magnetische Fluss ist quellenfrei, d.h.,
+  \begin{equation*}
+   \int_{\partial V} \bB\cdot \bn\,dA = 0
+   \qquad
+   \forall V.
+  \end{equation*}
+  Man sagt auch: Es gibt keine magnetischen Monopole.
+
+\end{enumerate}
+
+Jetzt nutzen wir die folgenden zwei klassischen Sätze der
+Vektoranalysis:
+\begin{theorem}[Gaußscher Divergenzsatz]
+ Für alle Volumina $V$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
+ hinreichend glatten Vektorfelder $\bB$ gilt
+ \begin{equation*}
+  \int_V \div \bB\,dx = \int_{\partial V} \bB \cdot \bn \,dA.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Satz von Stokes]
+ Für alle Flächen $A$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
+ hinreichend glatten Vektorfelder $\bH$ gilt
+ \begin{equation*}
+  \int_A \curl \bH\,dA = \int_{\partial A} \bH \cdot \btau \,dA.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+
+Zur Erinnerung:
+ \begin{equation*}
+  \curl \bH
+  =
+  \nabla \times \bH
+  =
+  \Big(
+   \frac{\partial \bH_3}{\partial x_2} - \frac{\partial \bH_2}{\partial x_3},
+   \quad
+   \frac{\partial \bH_1}{\partial x_3} - \frac{\partial \bH_3}{\partial x_1},
+   \quad
+   \frac{\partial \bH_2}{\partial x_1} - \frac{\partial \bH_1}{\partial x_2}
+  \Big)^T
+ \end{equation*}
+
+Man erhält die Maxwell-Gleichungen in der Differentialform
+\begin{align*}
+ \frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE
+ & =
+ 0 \\
+ %
+ \div \bB
+ & =
+ 0 \\
+ %
+ \frac{\partial \bD}{\partial t} - \curl \bH
+ & =
+ - \bj \\
+ %
+ \div \bD
+ & =
+ \rho.
+\end{align*}
+
+Diese vier Gleichungen alleine sind noch unterbestimmt:
+Es gibt (in 3d) $4 \times 3 = 12$ Unbekannte, aber nur
+$3 +1 + 3 + 1 = 8$ Gleichungen.
+
+\bigskip
+
+Was fehlt noch? $\rightarrow$ Materialeigenschaften!
+
+\bigskip
+
+Allgemein gilt
+\begin{equation*}
+ \bD = \bD(t,x,\bE)
+ \qquad \text{und} \qquad
+ \bB = \bB(t,x,\bH),
+\end{equation*}
+und diese Abhängigkeiten beschreiben die elektromagnetischen
+Eigenschaften des Materials am Ort $x$ zur Zeit $t$.
+
+\medskip
+
+Wir betrachten allerdings nur den allereinfachsten Fall
+und setzen
+\begin{equation*}
+ \bD = \epsilon \bE
+ \qquad \text{und} \qquad
+ \bB = \mu \bH,
+\end{equation*}
+mit $\epsilon$, $\mu$ orts- und zeitunabhängig.
+\begin{itemize}
+ \item $\epsilon$ nennt man \emph{elektrische Permittivität}
+  (Einheit: $As/Vm$)
+
+ \item $\mu$ nennt man \emph{magnetische Permeabilität}
+  (Einheit: $VS/Am$)
+\end{itemize}
+
+Außerdem gibt es noch das Ohmsche Gesetz
+\begin{equation*}
+ \bj = \sigma \bE
+\end{equation*}
+wobei $\sigma$ die elektrische Leitfähigkeit [As] ist.
+\todo[inline]{Das ist mir noch unklar.  Bei Zaglmayr wird $\bj$
+noch in $\bj_c + \bj_i$ aufgeteilt, und das Ohmsche Gesetz
+gilt nur für einen der beiden Teile!}
+\todo[inline]{Außerdem sind es doch jetzt mehr als zwölf Gleichungen!}
+
+\bigskip
+
+Im Vakuum hat man z.B.
+\begin{equation*}
+ \epsilon \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12} Fm^{-1},
+ \qquad
+ \mu \approx 4\pi \cdot 10^{-7} Hm^{-1},
+ \qquad
+ \sigma = 0.
+\end{equation*}
+(Einheiten: $F = As/V$ \glqq Farad\grqq, $H = Vs/A$ \glqq Henry\grqq)
+
+Übrigens ist
+\begin{equation*}
+ \frac{1}{\epsilon \mu}
+ \approx
+ 2{,}998 \cdot 10^8 \frac{1}{\sqrt{\frac{As}{Vm} \cdot \frac{Vs}{Am}}}
+ =
+ 2{,}998 \cdot 10^8 \frac{m}{s}
+\end{equation*}
+die Lichtgeschwindigkeit.
+
+
+
+
+
+\subsection{Potentialformulierung}
+
+Wir können die Maxwell-Gleichungen entkoppeln.
+
+Dazu benötigen wir folgende Resultate aus der Vektoranalysis:
+
+\begin{lemma}
+\label{lem:existence_of_potentials}
+ Sei $\Omega$ einfach zusammenhängend.  Falls $\bB : \Omega \to \R^d$ hinreichend
+ glatt ist und $\div \bB = 0$, dann existiert ein Vektorpotential für $\bB$,
+ d.h.\ ein Vektorfeld $\bA : \Omega \to \R^d$ mit
+ \begin{equation*}
+  \curl \bA = \bB.
+ \end{equation*}
+ Falls $\bF : \Omega \to \R^d$ hinreichend glatt ist mit $\curl \bF = $,
+ dann existiert ein skalares Potential $\varphi : \Omega \to \R$ so dass
+ \begin{equation*}
+  \nabla \varphi = \bF.
+ \end{equation*}
+\end{lemma}
+
+Wir nehmen also im Folgenden an dass $\Omega$ einfach zusammenhängend ist.
+
+\todo[inline]{Was passiert sonst?}
+
+\todo[inline]{Nichteindeutigkeit der Potentiale -- Eichung}
+
+Wegen der zweiten\todo{???} Maxwell-Gleichung ist die magnetische Induktion\todo{???}
+tatsächlich induktionsfrei.  Aus dem Faradayschen Gesetz~\eqref{}
+wird also
+\begin{equation*}
+ \curl \Big(\bE + \frac{\partial \bA}{\partial t} \Big) = 0.
+\end{equation*}
+Aufgrund des zweiten Teils von Lemma~\ref{lem:existence_of_potentials} hat das
+Argument von $\curl$ ein skalares Potential $\varphi$, und man erhält
+\begin{equation*}
+ \bE = - \nabla \varphi - \frac{\partial \bA}{\partial t}.
+\end{equation*}
+
+Aus dem Ampèreschen Gesetz
+\begin{equation*}
+ \int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
+ =
+ \int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dS
+ +
+ \int_A \bj \cdot \bn\,dS
+\end{equation*}
+wird
+\begin{equation*}
+ \curl \mu^{-1} \curl \bA + \sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \epsilon \frac{\partial^2 \bA}{\partial t^2}
+ =
+ \bj_i - \sigma \nabla \varphi - \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \nabla \varphi.
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Details, bitte!}
+
+Jetzt nutzen wir die Eichinvarianz: Für eine beliebige skalare Funktion~$\psi$
+liefern die Potentiale
+\begin{equation*}
+ \tilde{\bA} = \bA + \nabla \psi
+ \qquad \text{und} \qquad
+ \tilde{\varphi} = \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}
+\end{equation*}
+die gleichen magnetischen und elektrischen Felder, denn
+\begin{equation*}
+ \bB(\bA,\varphi) = \bB(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi})
+ \qquad \text{und} \qquad
+ \bE(\bA,\varphi) = \bE(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi}).
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Details!}
+
+Wähle das Vektorpotential $\bA^*$ so dass
+\begin{equation*}
+ \bA^* = \bA + \int_{t_0}^t \nabla \varphi\,d\tau.
+\end{equation*}
+Dann ist $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$ und $\curl \bA = \curl \bA^*$.
+\todo[inline]{Prüfen!}
+
+Man erhält die Vektorpotentialformulierung der Maxwell-Gleichungen
+\begin{equation*}
+ \curl \mu^{-1} \curl \bA^* + \sigma \frac{\partial \bA^*}{\partial t}
+ +
+ \epsilon \frac{\partial^2 \bA^*}{\partial t}
+ =
+ \bj_i.
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Prüfen, Details!}
+
+Um diese Art von Gleichung soll es im Folgenden gehen.
+
+Wenn man sie gelöst hat kann man $\bB = \curl \bA^*$ und $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$
+ausrechnen.
+
+$\bH$ und $\bD$ bekommt man über die Materialgesetze.
+
+\bigskip
+
+Allerdings ist auch das Potential $\bA^*$ nicht eindeutig.
+
+Eindeutigkeit erzwingt man durch Zusatzbedingungen.  Das nennt man \emph{Eichung}.
+Es gibt verschiedene Varianten.  Im einfachsten Fall der konstanten Materialparameter
+nimmt man die \emph{Coulomb-Eichung}
+\begin{alignat*}{2}
+ \div \bA^* & = 0 & \qquad & \text{auf $\Omega$}, \\
+ \bA^* \cdot \bn & = 0  && \text{auf $\partial \Omega$}.
+\end{alignat*}
+
+
+\subsection{Spezielle Situationen}
+
+Manchmal erlaubt es die Anwendung weitere Annahmen zu machen.
+
+Damit kann man die Maxwell-Gleichungen weiter vereinfachen.
+
+\subsubsection{Zeitharmonische Maxwell-Gleichungen}
+
+In manchen Anwendungen weiß man dass das gesamte System mit einer einzigen
+Frequenz schwingt.  Wir machen deshalb den Ansatz
+\begin{equation*}
+ \bE(x,t)
+ =
+ \Re (\hat{\bE}(x) e^{i\omega t})
+\end{equation*}
+mit einer komplexwertigen Funktion $\hat{\bE}$, und genauso für
+$\bD$, $\bH$, $\bB$, $\rho$ und $\bj$.
+\todo[inline]{Alternativ: Wir machen einfach eine Fourier-Transformation
+in der Zeit?}
+
+Man erhält
+\begin{equation*}
+ \frac{\partial \bE}{\partial t}(x,t)
+ \to
+ i \omega \bE(x,T).
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Wie genau?}
+und aus den Maxwell-Gleichungen wird
+\begin{align*}
+ \curl \hat{\bE}(x) + i \omega \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
+ \div \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
+ \curl \hat{\bH}(x) - (i\omega \epsilon + \sigma) \hat{\bE}(x) & = \hat{\bj}_i(x) \\
+ \div \epsilon \hat{\bE}(x) & = \hat{\rho}(x).
+\end{align*}
+
+Die Vektorpotentialformulierung ist
+\begin{equation*}
+ \curl \mu^{-1} \curl \bA + i \omega \sigma \bA - \omega^2 \epsilon \bA = \bj_i,
+\end{equation*}
+mit $\bB = \curl \bA$ und $\bE = -i\Omega \bA$.
+
+\subsubsection{Das magneto-quasistatische Problem}
+
+In diesem Modell geht man davon aus dass sich der magnetische Fluss $\bH$
+so langsam ändert dass die entsprechende Zeitableitung ignoriert werden kann.
+
+\medskip
+
+Das ist z.B.\ bei Motoren oder Transformatoren der Fall.
+
+\todo[inline]{In this case, the magnetic induction is the dominant factor,
+and the contribution of the displacement currents is negligible in comparison
+to the currents, i.e., $\abs{\frac{\partial \bD}{\partial t}} \ll \abs{\bj}$.}
+
+Man erhält
+\begin{align*}
+ \frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE & = 0\\
+ \div \bB & = 0 \\
+ \curl \bH & = \bj \\
+ \div \bD & = \rho.
+\end{align*}
+Die Vektorpotentialformulierung ist
+\begin{equation*}
+ \sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \curl \mu^{-1} \curl \bA = \bj_i.
+\end{equation*}
+Zeitharmonisch:
+\begin{equation*}
+ \curl \mu^{-1} \curl \bA + i\omega \sigma \bA = \bj_i.
+\end{equation*}
+
+\subsubsection{Statische Gleichungen}
+
+Wenn die erzeugende Ladung $\rho$ und Ströme $\bj$ zeitunabhängig sind
+kann man sich für statische Lösungen interessieren.
+
+Dabei fallen dann alle Zeitableitungen weg, und das Problem zerfällt
+in zwei Teile: einen elektrostatischen und einen magnetostatischen Teil.
+
+Das elektrostatische Problem ist
+\begin{align*}
+ \curl \bE & = 0 \\
+ \div \bD & = \rho \\
+ \bD & = \epsilon \bE.
+\end{align*}
+Wenn man ein skalares Potential $\varphi$ einführt so dass $\bE = - \nabla \varphi$
+erhält man die Poissongleichung
+\begin{equation*}
+ - \div (\epsilon \nabla \varphi) = \rho.
+\end{equation*}
+
+Das magnetostatische Problem ist
+\begin{align*}
+ \curl \bH & = \bj_i \\
+ \div \bB & = 0\\
+ \bB & = \mu \bH.
+\end{align*}
+Die Vektorpotentialformulierung ist
+\begin{equation*}
+ \curl \mu^{-1} \curl \bA = \bj_i
+\end{equation*}
+mit $\bB = \curl \bA$.
+
+
+
+
+
+
 
 \section{Der de Rham Komplex}
 
+\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
+
+
 \section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}