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Eine Kurzerklärung der Maxwell-Gleichung

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...@@ -128,3 +128,21 @@ year = {2013} ...@@ -128,3 +128,21 @@ year = {2013}
journal={Numerische Mathematik}, journal={Numerische Mathematik},
year={2000} year={2000}
} }
@PhdThesis{zaglmayr:2006,
author = {Sabine Zaglmayr},
title = "High Order Finite Element Methods for Electromagnetic Field Computation.",
school = {},
year = {2006},
url = {http://www.numerik.math.tugraz.at/~zaglmayr/pub/szthesis.pdf},
}
@Article{hiptmair:2002,
author = {Ralf Hiptmair},
title = {Finite elements in computational electromagnetism},
journal = {Acta Numerica},
year = {2002},
volume = {11},
pages = {237--339},
doi = {10.1017/S0962492902000041},
}
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\newcommand{\Rmult}{R^\textup{mult}} \newcommand{\Rmult}{R^\textup{mult}}
% Bold letters % Bold letters
\newcommand{\bj}{\bm{j}}
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...@@ -4994,12 +5002,462 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist. ...@@ -4994,12 +5002,462 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
\chapter{Gleichungen in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}} \chapter{Gleichungen in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
Wir betrachten jetzt Probleme die in den Funktionenräumen $H(\div)$ oder $H(\curl)$
wohlgestellt sind.
\begin{itemize}
\item Diese sind nicht $H^1$-elliptisch, und Mehrgitterverfahren müssen sich
darauf einstellen.
\item Die Hauptanwendung sind die Maxwell-Gleichungen des klassischen
Elektromagnetismus.
\end{itemize}
Die Darstellung hier ist weitestgehend aus~\cite{zaglmayr:2006} übernommen.
Eine andere gute Darstellung ist~\cite{hiptmair:2002}.
\section{Die Maxwell-Gleichungen} \section{Die Maxwell-Gleichungen}
\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}} Die Maxwell-Gleichungen beschreiben elektrische und magnetische Effekte,
und deren Interaktion.
\begin{itemize}
\item Zeitabhängige elektrische Felder erzeugen magnetische Felder,
und umgekehrt.
\end{itemize}
Hauptakteure sind die vier folgenden orts- und zeitabhängigen Vektorfelder:
\begin{itemize}
\item Die elektrische Feldstärke $\bE$ (Einheit: $V/m$)
\item Die magnetische Feldstärke $\bH$ (Einheit: $A/m$)
\item Das elektrische Flussdichte $\bD$ (mit diversen anderen Namen,
z.\,B.\ Verschiebungsflussdichte, engl.\ electric displacement field)
(Einheit: $As/m^2$)
\item Die magnetische Flussdichte / magnetische Induktion $\bB$ (Einheit: Tesla = $Vs / m^2$)
\end{itemize}
Hervorgerufen werden diese Felder durch
\begin{itemize}
\item Die elektrische Ladungsdichte $\rho$ (Einheit: $As/m^3$)
\item Die elektrische Stromdichte $\bj$ (Einheit: $A/m^2$).
\end{itemize}
Im Rahmen unserer Darstellung sind diese Größen fest und gegeben.
In der Realität üben elektromagnetische Felder aber Kräfte auf sich
bewegende Ladungen aus, und verändern somit ihre räumliche Verteilung.
Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft. Das dazugehörige Gesetz
ist aber nicht Teil der Maxwell-Gleichungen.
\bigskip
Die Maxwell-Gleichungen sind am anschaulichsten wenn man sie
in der Integralform betrachtet.
\medskip
Im Folgenden sei $A$ eine Fläche in $\R^3$, und $\btau$ sei der
Einheitstangentialvektor von $\partial A$.
$V$ sei ein Volumen in $\R^3$, mit äußerer Einheitsnormale $\bn$.
Die Maxwell-Gleichungen bestehen aus vier einzelnen
Gleichungen, die selbst wieder Eigennamen haben.
\begin{enumerate}
\item Das \textbf{Faradaysche Induktionsgesetz}: Beschreibt wie die
zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche $A$
ein elektrisches Feld $\bE$ auf $\partial A$ erzeugt:
\begin{equation*}
\int_A \frac{\partial \bB}{\partial t}\cdot \bn\,dA
+
\int_{\partial A} \bE \cdot \btau\,ds
=
0.
\end{equation*}
\item Das \textbf{Ampèresche Gesetz}:
Elektrische Ströme durch eine Fläche $A$ erzeugen ein magnetisches
Feld.
\todo[inline]{Bild!}
\begin{equation*}
\int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
=
\int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dA
+
\int_A \bj \cdot \bn\,dA.
\end{equation*}
\item \textbf{Gaußsches Gesetz}:
Beschreibt wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen:
\begin{equation*}
\int_{\partial V} \bD \cdot \bn \,dA
=
\int_V \rho\,dx.
\end{equation*}
\item \textbf{Gaußsches Gesetz für Magnetismus}:
Der magnetische Fluss ist quellenfrei, d.h.,
\begin{equation*}
\int_{\partial V} \bB\cdot \bn\,dA = 0
\qquad
\forall V.
\end{equation*}
Man sagt auch: Es gibt keine magnetischen Monopole.
\end{enumerate}
Jetzt nutzen wir die folgenden zwei klassischen Sätze der
Vektoranalysis:
\begin{theorem}[Gaußscher Divergenzsatz]
Für alle Volumina $V$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
hinreichend glatten Vektorfelder $\bB$ gilt
\begin{equation*}
\int_V \div \bB\,dx = \int_{\partial V} \bB \cdot \bn \,dA.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Satz von Stokes]
Für alle Flächen $A$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
hinreichend glatten Vektorfelder $\bH$ gilt
\begin{equation*}
\int_A \curl \bH\,dA = \int_{\partial A} \bH \cdot \btau \,dA.
\end{equation*}
\end{theorem}
Zur Erinnerung:
\begin{equation*}
\curl \bH
=
\nabla \times \bH
=
\Big(
\frac{\partial \bH_3}{\partial x_2} - \frac{\partial \bH_2}{\partial x_3},
\quad
\frac{\partial \bH_1}{\partial x_3} - \frac{\partial \bH_3}{\partial x_1},
\quad
\frac{\partial \bH_2}{\partial x_1} - \frac{\partial \bH_1}{\partial x_2}
\Big)^T
\end{equation*}
Man erhält die Maxwell-Gleichungen in der Differentialform
\begin{align*}
\frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE
& =
0 \\
%
\div \bB
& =
0 \\
%
\frac{\partial \bD}{\partial t} - \curl \bH
& =
- \bj \\
%
\div \bD
& =
\rho.
\end{align*}
Diese vier Gleichungen alleine sind noch unterbestimmt:
Es gibt (in 3d) $4 \times 3 = 12$ Unbekannte, aber nur
$3 +1 + 3 + 1 = 8$ Gleichungen.
\bigskip
Was fehlt noch? $\rightarrow$ Materialeigenschaften!
\bigskip
Allgemein gilt
\begin{equation*}
\bD = \bD(t,x,\bE)
\qquad \text{und} \qquad
\bB = \bB(t,x,\bH),
\end{equation*}
und diese Abhängigkeiten beschreiben die elektromagnetischen
Eigenschaften des Materials am Ort $x$ zur Zeit $t$.
\medskip
Wir betrachten allerdings nur den allereinfachsten Fall
und setzen
\begin{equation*}
\bD = \epsilon \bE
\qquad \text{und} \qquad
\bB = \mu \bH,
\end{equation*}
mit $\epsilon$, $\mu$ orts- und zeitunabhängig.
\begin{itemize}
\item $\epsilon$ nennt man \emph{elektrische Permittivität}
(Einheit: $As/Vm$)
\item $\mu$ nennt man \emph{magnetische Permeabilität}
(Einheit: $VS/Am$)
\end{itemize}
Außerdem gibt es noch das Ohmsche Gesetz
\begin{equation*}
\bj = \sigma \bE
\end{equation*}
wobei $\sigma$ die elektrische Leitfähigkeit [As] ist.
\todo[inline]{Das ist mir noch unklar. Bei Zaglmayr wird $\bj$
noch in $\bj_c + \bj_i$ aufgeteilt, und das Ohmsche Gesetz
gilt nur für einen der beiden Teile!}
\todo[inline]{Außerdem sind es doch jetzt mehr als zwölf Gleichungen!}
\bigskip
Im Vakuum hat man z.B.
\begin{equation*}
\epsilon \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12} Fm^{-1},
\qquad
\mu \approx 4\pi \cdot 10^{-7} Hm^{-1},
\qquad
\sigma = 0.
\end{equation*}
(Einheiten: $F = As/V$ \glqq Farad\grqq, $H = Vs/A$ \glqq Henry\grqq)
Übrigens ist
\begin{equation*}
\frac{1}{\epsilon \mu}
\approx
2{,}998 \cdot 10^8 \frac{1}{\sqrt{\frac{As}{Vm} \cdot \frac{Vs}{Am}}}
=
2{,}998 \cdot 10^8 \frac{m}{s}
\end{equation*}
die Lichtgeschwindigkeit.
\subsection{Potentialformulierung}
Wir können die Maxwell-Gleichungen entkoppeln.
Dazu benötigen wir folgende Resultate aus der Vektoranalysis:
\begin{lemma}
\label{lem:existence_of_potentials}
Sei $\Omega$ einfach zusammenhängend. Falls $\bB : \Omega \to \R^d$ hinreichend
glatt ist und $\div \bB = 0$, dann existiert ein Vektorpotential für $\bB$,
d.h.\ ein Vektorfeld $\bA : \Omega \to \R^d$ mit
\begin{equation*}
\curl \bA = \bB.
\end{equation*}
Falls $\bF : \Omega \to \R^d$ hinreichend glatt ist mit $\curl \bF = $,
dann existiert ein skalares Potential $\varphi : \Omega \to \R$ so dass
\begin{equation*}
\nabla \varphi = \bF.
\end{equation*}
\end{lemma}
Wir nehmen also im Folgenden an dass $\Omega$ einfach zusammenhängend ist.
\todo[inline]{Was passiert sonst?}
\todo[inline]{Nichteindeutigkeit der Potentiale -- Eichung}
Wegen der zweiten\todo{???} Maxwell-Gleichung ist die magnetische Induktion\todo{???}
tatsächlich induktionsfrei. Aus dem Faradayschen Gesetz~\eqref{}
wird also
\begin{equation*}
\curl \Big(\bE + \frac{\partial \bA}{\partial t} \Big) = 0.
\end{equation*}
Aufgrund des zweiten Teils von Lemma~\ref{lem:existence_of_potentials} hat das
Argument von $\curl$ ein skalares Potential $\varphi$, und man erhält
\begin{equation*}
\bE = - \nabla \varphi - \frac{\partial \bA}{\partial t}.
\end{equation*}
Aus dem Ampèreschen Gesetz
\begin{equation*}
\int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
=
\int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dS
+
\int_A \bj \cdot \bn\,dS
\end{equation*}
wird
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + \sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \epsilon \frac{\partial^2 \bA}{\partial t^2}
=
\bj_i - \sigma \nabla \varphi - \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \nabla \varphi.
\end{equation*}
\todo[inline]{Details, bitte!}
Jetzt nutzen wir die Eichinvarianz: Für eine beliebige skalare Funktion~$\psi$
liefern die Potentiale
\begin{equation*}
\tilde{\bA} = \bA + \nabla \psi
\qquad \text{und} \qquad
\tilde{\varphi} = \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}
\end{equation*}
die gleichen magnetischen und elektrischen Felder, denn
\begin{equation*}
\bB(\bA,\varphi) = \bB(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi})
\qquad \text{und} \qquad
\bE(\bA,\varphi) = \bE(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi}).
\end{equation*}
\todo[inline]{Details!}
Wähle das Vektorpotential $\bA^*$ so dass
\begin{equation*}
\bA^* = \bA + \int_{t_0}^t \nabla \varphi\,d\tau.
\end{equation*}
Dann ist $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$ und $\curl \bA = \curl \bA^*$.
\todo[inline]{Prüfen!}
Man erhält die Vektorpotentialformulierung der Maxwell-Gleichungen
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA^* + \sigma \frac{\partial \bA^*}{\partial t}
+
\epsilon \frac{\partial^2 \bA^*}{\partial t}
=
\bj_i.
\end{equation*}
\todo[inline]{Prüfen, Details!}
Um diese Art von Gleichung soll es im Folgenden gehen.
Wenn man sie gelöst hat kann man $\bB = \curl \bA^*$ und $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$
ausrechnen.
$\bH$ und $\bD$ bekommt man über die Materialgesetze.
\bigskip
Allerdings ist auch das Potential $\bA^*$ nicht eindeutig.
Eindeutigkeit erzwingt man durch Zusatzbedingungen. Das nennt man \emph{Eichung}.
Es gibt verschiedene Varianten. Im einfachsten Fall der konstanten Materialparameter
nimmt man die \emph{Coulomb-Eichung}
\begin{alignat*}{2}
\div \bA^* & = 0 & \qquad & \text{auf $\Omega$}, \\
\bA^* \cdot \bn & = 0 && \text{auf $\partial \Omega$}.
\end{alignat*}
\subsection{Spezielle Situationen}
Manchmal erlaubt es die Anwendung weitere Annahmen zu machen.
Damit kann man die Maxwell-Gleichungen weiter vereinfachen.
\subsubsection{Zeitharmonische Maxwell-Gleichungen}
In manchen Anwendungen weiß man dass das gesamte System mit einer einzigen
Frequenz schwingt. Wir machen deshalb den Ansatz
\begin{equation*}
\bE(x,t)
=
\Re (\hat{\bE}(x) e^{i\omega t})
\end{equation*}
mit einer komplexwertigen Funktion $\hat{\bE}$, und genauso für
$\bD$, $\bH$, $\bB$, $\rho$ und $\bj$.
\todo[inline]{Alternativ: Wir machen einfach eine Fourier-Transformation
in der Zeit?}
Man erhält
\begin{equation*}
\frac{\partial \bE}{\partial t}(x,t)
\to
i \omega \bE(x,T).
\end{equation*}
\todo[inline]{Wie genau?}
und aus den Maxwell-Gleichungen wird
\begin{align*}
\curl \hat{\bE}(x) + i \omega \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
\div \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
\curl \hat{\bH}(x) - (i\omega \epsilon + \sigma) \hat{\bE}(x) & = \hat{\bj}_i(x) \\
\div \epsilon \hat{\bE}(x) & = \hat{\rho}(x).
\end{align*}
Die Vektorpotentialformulierung ist
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + i \omega \sigma \bA - \omega^2 \epsilon \bA = \bj_i,
\end{equation*}
mit $\bB = \curl \bA$ und $\bE = -i\Omega \bA$.
\subsubsection{Das magneto-quasistatische Problem}
In diesem Modell geht man davon aus dass sich der magnetische Fluss $\bH$
so langsam ändert dass die entsprechende Zeitableitung ignoriert werden kann.
\medskip
Das ist z.B.\ bei Motoren oder Transformatoren der Fall.
\todo[inline]{In this case, the magnetic induction is the dominant factor,
and the contribution of the displacement currents is negligible in comparison
to the currents, i.e., $\abs{\frac{\partial \bD}{\partial t}} \ll \abs{\bj}$.}
Man erhält
\begin{align*}
\frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE & = 0\\
\div \bB & = 0 \\
\curl \bH & = \bj \\
\div \bD & = \rho.
\end{align*}
Die Vektorpotentialformulierung ist
\begin{equation*}
\sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \curl \mu^{-1} \curl \bA = \bj_i.
\end{equation*}
Zeitharmonisch:
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + i\omega \sigma \bA = \bj_i.
\end{equation*}
\subsubsection{Statische Gleichungen}
Wenn die erzeugende Ladung $\rho$ und Ströme $\bj$ zeitunabhängig sind
kann man sich für statische Lösungen interessieren.
Dabei fallen dann alle Zeitableitungen weg, und das Problem zerfällt
in zwei Teile: einen elektrostatischen und einen magnetostatischen Teil.
Das elektrostatische Problem ist
\begin{align*}
\curl \bE & = 0 \\
\div \bD & = \rho \\
\bD & = \epsilon \bE.
\end{align*}
Wenn man ein skalares Potential $\varphi$ einführt so dass $\bE = - \nabla \varphi$
erhält man die Poissongleichung
\begin{equation*}
- \div (\epsilon \nabla \varphi) = \rho.
\end{equation*}
Das magnetostatische Problem ist
\begin{align*}
\curl \bH & = \bj_i \\
\div \bB & = 0\\
\bB & = \mu \bH.
\end{align*}
Die Vektorpotentialformulierung ist
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA = \bj_i
\end{equation*}
mit $\bB = \curl \bA$.
\section{Der de Rham Komplex} \section{Der de Rham Komplex}
\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
\section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}} \section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
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