From 40e2fd86915398458b2fdd8528aaf936a6e7165d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Oliver Sander <oliver.sander@tu-dresden.de>
Date: Tue, 15 Jun 2021 14:38:28 +0200
Subject: [PATCH] Die diskrete Helmholtz-Zerlegung
---
skript-mehrgitter-sander.tex | 687 ++++++++++++++++++++++++++++++-----
1 file changed, 592 insertions(+), 95 deletions(-)
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+++ b/skript-mehrgitter-sander.tex
@@ -34,7 +34,7 @@
\usepackage{mathtools}
\usepackage{mathabx} % for \vvvert
\usepackage{colonequals}
-\usepackage{enumitem}
+\usepackage{enumitem} % Enumerations without indentation
\usepackage[maxbibnames=99, % Never write 'et al.' in a bibliography
giveninits=true, % Abbreviate first names
@@ -66,14 +66,14 @@
\newcommand{\Rmult}{R^\textup{mult}}
% Bold letters
-\newcommand{\ba}{\bm{a}}
+\newcommand*{\ba}{\bm{a}}
\newcommand*\bb{\bm{b}}
-\newcommand{\bj}{\bm{j}}
-\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
+\newcommand*{\bj}{\bm{j}}
+\newcommand*{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand*\bp{\bm{p}}
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+\newcommand*{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand*\bx{\bm{x}}
@@ -89,8 +89,11 @@
\newcommand*\bQ{\bm{Q}}
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+\newcommand*\bpsi{\bm{\psi}}
\newcommand{\btau}{\bm{\tau}}
+\newcommand*{\bPi}{\bm{\Pi}}
+
\newcommand*\bHd{\bH(\div)}
\newcommand*\til{\widetilde}
\newcommand{\stackrela}[2]{\overset{#1}&{#2}}
@@ -6121,6 +6124,9 @@ Das sind die Polynome die ausschließlich aus Monomen vom Grad exakt~$k$ bestehe
Dabei sind $q_{f,i}$ bzw. $\bq_{K,i}$ jeweils eine Basis von $\bbP_k(f)$ bzw. $(\bbP_{k-1}(K))^3$.
\end{definition}
+\todo[inline]{Übung: Der Normalenanteil der Restriktion auf eine Ebene
+enthält keine Terme höchster Ordnung.}
+
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def \xone{0};
@@ -6187,7 +6193,8 @@ Das sind die Polynome die ausschließlich aus Monomen vom Grad exakt~$k$ bestehe
\end{center}
\newcommand*\bs{\bm{s}}
-\newcommand*\gradv{\operatorname{\textbf{grad}}}
+\newcommand*\gradv{\textup{\textbf{grad}\,}}
+\newcommand*\gradvh{\textup{\textbf{grad}}_h\,}
\begin{remark}\label{chaFEdofDiv}
Mit der Formel~\eqref{eq:integration_by_parts_graddiv} für die partielle Integration gilt
@@ -6520,6 +6527,9 @@ ein normierter Richtungsvektor der Kante $e=(p_{1},p_{2})$.
\end{align}
\end{definition}
+\todo[inline]{Übung: Der Tangentialanteil der Restriktion auf eine Gerade
+enthält keine Terme höchster Ordnung.}
+
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def \xone{0};
@@ -6711,87 +6721,490 @@ Ein alternative Definition ist
\section{Die diskrete Helmholtz-Zerlegung}
-In diesem Kapitel nutzen wir die Funktionenräume aus Kapitel~\ref{chFiniteElemente}, um den Raum der Raviart-Thomas Elemente in zwei orthogonale Räume zu zerlegen.
+Im vorigen Kapitel hatten wir die folgenden Finite-Elemente-Räume eingeführt:
+\begin{align*}
+ W_h & \colonequals
+ \Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\} \\
+ %
+ \bV_h & \colonequals
+ \text{Das Nédélec-Element} \\
+ %
+ \bQ_h & \colonequals
+ \text{Das Raviart--Thomas-Element} \\
+ %
+ S_h & \colonequals
+ \Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\}
+\end{align*}
-Die zugrundeliegende Idee basiert auf dem De-Rham Komplex in drei Dimensionen, welcher aus der Theorie der Differentialformen stammt.
-Um diesen zu formulieren, benötigen wir die folgende Definition.
-\begin{definition}
- Eine Sequenz von Räumen $\set{A_{i}}_{i=1,2,3}$ mit Abbildungen $d_{1}:A_{1}\to A_{2}$ und $d_{2}:A_{2}\to A_{3}$
+Wir zeigen jetzt dass diese neuen Räume die erhofften Eigenschaften haben.
+
+\begin{enumerate}
+ \item Der diskrete de Rham Komplex, d.h., die untere Zeile von
\begin{equation*}
- A_{1}\stackrel{d_{1}}{\to}A_{2}\stackrel{d_{2}}{\to}A_{3}
+ \begin{array}{ccccccccc}
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\curl) & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\div) & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ L^2(\Omega) \\
+ & & \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ W_h & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ \bV_h & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ \bQ_h & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ S_h
+ \end{array}
\end{equation*}
- heißt \textit{exakt an der Stelle $A_{2}$}, genau dann wenn
+ ist exakt für einfach zusammenhängende Gebiete.
+
+ \medskip
+
+ Das heißt dass das Bild eines linearen Operators genau der Kern
+ des darauffolgenden Operators ist.
+
+ \item Es gibt eine diskrete Helmholtz-Zerlegung.
+
+ Zur Erinnerung: Die normale Helmholtz-Zerlegung besagt dass man jedes
+ Vektorfeld $\bu \in L^2(\Omega)^3$ darstellen kann als Summe
\begin{equation*}
- \ker(d_{2}A_{2}) = d_{1}A_{1}
+ \bu = \curl \ba + \nabla \phi.
\end{equation*}
- gilt.
- Eine Sequenz von Räumen $\set{A_{i}}_{i=1,\dots ,n+1}$ mit Abbildungen $d_{i}:A_{i}\to A_{i+1}$ mit $i=1,\dots ,n$ heißt \textit{exakt}, genau dann wenn, sie exakt an der Stelle $A_{i}$ für $i=2,\dots ,n$ ist.
-\end{definition}
+ Wir zeigen die folgende diskrete Variante:
+ \begin{theorem}[diskrete Helmholtz-Zerlegung]
+ Für den Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ existiert die Zerlegung
+ \begin{equation*}
+ \bV_{h} = \curlv\bQ_h \oplus \gradvh S_h.
+ \end{equation*}
+ Für den Raum der Nédélec Funktionen $\bQ_{h}$ existiert die Zerlegung
+ \begin{equation*}
+ \bQ_{h} = \curlv_h\bV_h \oplus \gradv W_h.
+ \end{equation*}
+ \end{theorem}
+ Dazu müssen wir natürlich noch erklären was $\gradvh$ und $\curlv_h$ sind.
-Der De-Rham Komplex, dass die Sequenz
-\begin{equation}\label{deRhamKomplex}
- 0\to H^1/\R\stackrel{\gradv}{\to} \bH(\curlv) \stackrel{\curlv}{\to} \bH(\div) \stackrel{\div}{\to} L^2 \to 0
-\end{equation}
-exakt ist für konvexe Gebiete $\Omega$.
-Es gilt insbesondere $\ker(\div\bH(\div)) = \curlv\bH(\curlv)$ und damit
-\begin{align*}
- \bH(\div) &= \ker(\div\bH(\div)) \oplus \set{\bv\in \bH(\div)|\div\bv\neq 0}\\
- &= \curlv\bH(\curlv)\oplus \set{\bv\in \bH(\div)|\div\bv\neq 0}.
-\end{align*}
-Diese Zerlegung wird Helmholtz Zerlegung genannt.
-Wir werden nun jeden der Räume aus \eqref{deRhamKomplex} durch einen endlich dimensionalen Raum approximieren.
-Dann zeigen wir, dass die Finiten-Elemente Räume auch eine exakte Sequenz bilden.
+\end{enumerate}
-Fixiere $k\in \N$ und definiere den Raum $W_{h}$
-\begin{align*}
- W_{h} &\colon = \left\{ u \in C(\Omega) ;\ u|_{K} \in \bbP_{k+1} \right\}
-\end{align*}
-als Approximation für $H^1$. Es gilt $W_{h} \subset H^1$.
+\bigskip
+
+Zunächst brauchen wir die folgenden zwei Hilfssätze.
+
+\medskip
+
+In den kommenden Beweisen sind $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ immer
+Multiindizes in $\N_0^3$. Für einen Punkt $\bx = (x,y,z)$ schreiben
+wir $\bx^\alpha = x^{\alpha_{1}}y^{\alpha_{2}}z^{\alpha_{3}}$.
+Außerdem schreiben wir $e_1 \colonequals (1,0,0)$, $e_2 \colonequals (0,1,0)$,
+$e_3 \colonequals (0,0,1)$.
+
+\begin{lemma}\label{anhang_curl}
+ Für $\bp\in (\bbP_k)^3$ mit $\curlv\bp = 0$ existiert $\phi\in \bbP_{k+1}$ mit $\gradv\phi =\bp$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ Es reicht, die Aussage für homogene Polynome zu zeigen.
+
+ \medskip
+
+ Sei deshalb o.B.d.A $\bp \in (\til \bbP_k)^3$.
+
+ \medskip
+
+ Wir nutzen die eindeutige Darstellung
+ \begin{align}\label{polygradDecomp}
+ \bp &=
+ \sum_{\abs{\alpha}=k-2} \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ a_{1} yz\\
+ a_{2} xz\\
+ a_{3} xy\\
+ \end{pmatrix}\bx^{\alpha}}_{\equalscolon\bp_{\alpha}}
+ + \sum_{\substack{\abs{\beta}=k-1\\ \beta_{1}=0}} \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0\\
+ b_{\beta,2}z\\
+ b_{\beta,3}y
+ \end{pmatrix}\bx^\beta}_{\equalscolon\bp_{\beta}}
+ + \sum_{\substack{\abs{\gamma}=k-1\\ \gamma_{2}=0}} \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ c_{\gamma,1}z\\
+ 0\\
+ c_{\gamma,3}x
+ \end{pmatrix}\bx^\gamma }_{\equalscolon\bp_{\gamma}} \nonumber\\
+ &{}\quad+ \sum_{\substack{\abs{\delta}=k-1\\ \delta_{3}=0}} \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ d_{\delta,1}y\\
+ d_{\delta,2}x\\
+ 0
+ \end{pmatrix}\bx^\delta}_{\equalscolon\bp_{\delta}}
+ + \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ f_{1}x^k\\
+ f_{2}y^k\\
+ f_{3}z^k\\
+ \end{pmatrix}}_{\equalscolon\bp_{f}}.
+ \end{align}
+
+ Wir zeigen nun für jeden Summanden einzeln dass er der Gradient eines Polynoms ist.
+
+ \medskip
+
+ Wir betrachten zuerst den Term $\bp_{f}$.
+ Mit
+ \begin{equation*}
+ \phi_{f}\colonequals \frac{1}{k+1}(f_{1}x^{k+1} + f_{2}y^{k+1} + f_{3}z^{k+1})
+ \end{equation*}
+ gilt $\gradv\phi_{f} = \bp_{f} $.
+
+ Betrachte für einen beliebigen Multiindex $\beta$ mit $\beta_{1}=0$ und $\abs{\beta}=k-1$ das Polynom
+ \begin{equation*}
+ \bp_{\beta} \colonequals
+ \begin{pmatrix}
+ 0\\
+ b_{\beta,2}z\\
+ b_{\beta,3}y
+ \end{pmatrix}\bx^\beta.
+ \end{equation*}
+ Es gilt
+ \begin{align*}
+ \curlv \bp_{\beta} =
+ \begin{pmatrix}
+ (b_{\beta,3}(\beta_{2}+1)-b_{\beta,2}(\beta_{3}+1))\bx^\beta \\
+ 0\\
+ 0
+ \end{pmatrix}.
+ \end{align*}
+ Da $\bx^\beta$ genau einmal in der Darstellung \eqref{polygradDecomp} vorkommt, folgt aus der Bedingung $\curlv\bp=0$, dass auch $\curlv\bp_{\beta}=0$ gilt.
+
+ \medskip
+
+ Da $\bx^\beta$ nicht das Nullpolynom ist, folgt
+ \begin{equation*}
+ \frac{b_{\beta,3}}{\beta_{3}+1}= \frac{b_{\beta,2}}{\beta_{2}+1}\equalscolon b_{\beta}.
+ \end{equation*}
+ Dann gilt für $\phi_{\beta}\colonequals b_{\beta}\bx^{\beta+e_{2}+e_{3}}\in \til\bbP_{k+1}$,
+ \begin{equation*}
+ \gradv \phi_{\beta} = \bp_{\beta}.
+ \end{equation*}
+ Analog erhalten wir Funktionen $\phi_{\gamma},\phi_{\delta}\in \til\bbP_{k+1}$ mit
+ \begin{align*}
+ \gradv \phi_{\gamma} &= \gradv(c_{\gamma}\bx^{\gamma+e_{1}+e_{3}})= \bp_{\gamma}\\
+ \gradv \phi_{\delta} &= \gradv(d_{\delta}\bx^{\beta+e_{2}+e_{3}})=\bp_{\delta}.
+ \end{align*}
+
+
+ Zuletzt betrachten wir $\bp_{\alpha}$.
+
+ Es gilt
+ \begin{align*}
+ 0= \curlv \bp = \curlv \bp_{\alpha} =
+ \begin{pmatrix}
+ (a_{\alpha,3}(\alpha_{2}+1)-a_{\alpha,2}(\alpha_{3}+1))\bx^{\alpha+e_{1}} \\
+ (a_{\alpha,1}(\alpha_{3}+1)-a_{\alpha,3}(\alpha_{1}+1))\bx^{\alpha+e_{2}} \\
+ (a_{\alpha,2}(\alpha_{1}+1)-a_{\alpha,1}(\alpha_{2}+1))\bx^{\alpha+e_{3}}
+ \end{pmatrix}.
+ \end{align*}
+ Damit ergibt sich
+ \begin{equation*}
+ \frac{a_{\alpha,1}}{\alpha_{1}+1}=\frac{a_{\alpha,2}}{\alpha_{2}+1}=\frac{a_{\alpha,3}}{\alpha_{3}+1} \equalscolon a_{\alpha}.
+ \end{equation*}
+
+
+ Dann gilt für $\phi_{\alpha}\colonequals a_{\alpha}\bx^{\alpha + e_{1}+ e_{2}+ e_{3}}\in \til\bbP_{k+1}$,
+ \begin{equation*}
+ \gradv\phi_{\alpha} = \bp_{\alpha}.
+ \end{equation*}
+
+ Definiere schließlich
+ \begin{equation*}
+ \phi \colonequals
+ \sum_{\abs{\alpha}=k-2}\phi_{\alpha} + \sum_{\substack{\abs{\beta}=k-1\\ \beta_{1}=0}} \phi_{\beta} + \sum_{\substack{\abs{\gamma}=k-1\\ \gamma_{2}=0}}\phi_{\gamma}
+ + \sum_{\substack{\abs{\delta}=k-1\\ \delta_{3}=0}} \phi_{\delta} + \phi_{f}.
+ \end{equation*}
+ Dann gilt
+ \begin{equation*}
+ \bp = \gradv \phi.\qedhere
+ \end{equation*}
+
+\end{proof}
+
+Jetzt zeigen wir das entsprechende Resultat für divergenzfreie Polynome.
+
+\begin{lemma}\label{anhang_div}
+ Für $\bp\in (\bbP_k)^3$ mit $\div\bp = 0$ existiert $\bm{\psi}\in (\bbP_{k+1})^3$ mit $\curlv\bm{\psi} =\bp$ und $\bm{\psi}\cdot \bx =0$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ Sei wieder o.B.d.A.\ $\bp \in (\til \bbP_k)^3$.
+ Wir teilen $\bp$ in vier Summen auf
+ \begin{equation*}
+ \bp = \sum_{\abs{\alpha}=k-1}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ a_{\alpha,1}\bx^{\alpha + e_{1}}\\
+ a_{\alpha,2}\bx^{\alpha + e_{2}}\\
+ a_{\alpha,3}\bx^{\alpha + e_{3}}
+ \end{pmatrix}
+ }_{\equalscolon \bp_{\alpha}}
+ + \sum_{\substack{\abs{\beta}=k\\ \beta_{1}=0}}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ b_{\beta}\bx^\beta\\
+ 0\\
+ 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{\equalscolon \bp_{\beta}}
+ + \sum_{\substack{\abs{\gamma}=k\\ \gamma_{2}=0}}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0\\
+ c_{\gamma}\bx^\gamma\\
+ 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{\equalscolon \bp_{\gamma}}
+ + \sum_{\substack{\abs{\delta}=k\\ \delta_{3}=0}}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0\\
+ 0\\
+ c_{\delta}\bx^\delta\\
+ \end{pmatrix}
+ }_{\equalscolon \bp_{\delta}}.
+ \end{equation*}
+
+ Anschaulich enthält der erste Summand die Monome die in der ersten
+ Komponente mindestens ein $x$, in der zweiten Komponente mindestens ein $y$
+ etc.\ enthalten.
+
+ \smallskip
+
+ Der zweite Summand enthält Terme die in der ersten
+ Komponente kein $x$ enthalten, etc.
+
+ \medskip
+
+ Wir konstruieren zuerst für ein beliebiges $\alpha$ ein Polynom $\bpsi_{\alpha}\in (\til\bbP_{k+1})^3$
+ mit $\bpsi_{\alpha}\cdot\bx=0$, so dass
+ \begin{equation*}
+ \curlv\bpsi_{\alpha} =
+ \begin{pmatrix}
+ a_{\alpha,1}\bx^{\alpha + e_{1}}\\
+ a_{\alpha,2}\bx^{\alpha + e_{2}}\\
+ a_{\alpha,3}\bx^{\alpha + e_{3}}
+ \end{pmatrix}
+ = \bp_{\alpha}.
+ \end{equation*}
+
+ Wir schreiben im Folgenden $a_1$, $a_2$, $a_3$, statt $a_{\alpha,1}$, $a_{\alpha,2}$, $a_{\alpha,3}$.
+
+ Sei
+ \begin{equation*}
+ \bpsi_{\alpha} \colonequals
+ \begin{pmatrix}
+ b_{1}\bx^{\alpha+e_{2}+e_{3}}\\
+ b_{2}\bx^{\alpha+e_{1}+e_{3}}\\
+ b_{3}\bx^{\alpha+e_{1}+e_{2}}
+ \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+ mit noch zu bestimmenden Koeffizienten $b_{i}$.
+ Dann gilt
+ \begin{equation*}
+ \curlv \bpsi_{\alpha} =
+ \begin{pmatrix}
+ (b_{3}(\alpha_{2}+1)-b_{2}(\alpha_{3}+1))\bx^{\alpha+e_{1}}\\
+ (b_{1}(\alpha_{3}+1)-b_{3}(\alpha_{1}+1))\bx^{\alpha+e_{2}}\\
+ (b_{2}(\alpha_{1}+1)-b_{1}(\alpha_{2}+1))\bx^{\alpha+e_{3}}
+ \end{pmatrix}.
+ \end{equation*}
+ Wenn man fordert dass dieser Ausdruck gleich $\bp_\alpha$ sein soll
+ ergibt sich das Gleichungssystem
+ \begin{equation*}
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & -(\alpha_{3}+1) & \alpha_{2}+1\\
+ \alpha_{3}+1 & 0 & -(\alpha_{1}+1)\\
+ -(\alpha_{2}+1) & \alpha_{1}+1 & 0
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ b_{1} \\
+ b_{2} \\
+ b_{3}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ a_{1} \\
+ a_{2} \\
+ a_{3}
+ \end{pmatrix}.
+ \end{equation*}
+ Durch Transformieren erhalten wir das System
+ \begin{equation*}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ \alpha_{3}+1 & -(\alpha_{3}+1) & \alpha_{2}-\alpha_{1}\\
+ 0 & \alpha_{3}+1 & -(\alpha_{2}+1)\\
+ 0 & 0 & 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{\equalscolon J}
+ \begin{pmatrix}
+ b_{1} \\
+ b_{2} \\
+ b_{3}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ a_{1} + a_{2} \\
+ -a_{1} \\
+ a_{1}(\alpha_{1}+1) + a_{2}(\alpha_{2}+1) + a_{3}(\alpha_{3}+1)
+ \end{pmatrix}.
+ \end{equation*}
+ Allerdings ist
+ \begin{align*}
+ 0 = \div \bp_{\alpha} = (a_{1}(\alpha_{1}+1) + a_{2}(\alpha_{2}+1) + a_{3}(\alpha_{3}+1))\bx^\alpha,
+ \end{align*}
+ und deshalb ist die dritte Komponente der rechten Seite Null.
+
+ Nun können wir die dritte Zeile von $J$ durch $(1,1,1)$ ersetzen.
+ Das entspricht der Bedingung $b_1 + b_2 + b_3 = 0$. Man erhält damit
+ \begin{align*}
+ \bpsi_\alpha \cdot \bx
+ & =
+ \begin{pmatrix}
+ b_{1}\bx^{\alpha+e_{2}+e_{3}}\\
+ b_{2}\bx^{\alpha+e_{1}+e_{3}}\\
+ b_{3}\bx^{\alpha+e_{1}+e_{2}}
+ \end{pmatrix}
+ \cdot
+ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\
+ & =
+ b_1 x \bx^{\alpha + e_2 + e_3} + b_2 y \bx^{\alpha + e_1 + e_3} + b_3 z \bx^{\alpha + e_1 + e_2} \\
+ & =
+ (b_1 + b_2 + b_3) \bx^{\alpha + (1,1,1)} \\
+ & =
+ 0.
+ \end{align*}
+
+ Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar und die Lösung $(b_{1},b_{2},b_{3})$ erfüllt die Anforderungen.
+
+ \bigskip
+
+ Für die verbliebenen drei Summen können wir die Polynome $\bpsi_{\beta},\bpsi_{\gamma}$
+ und $\bpsi_{\delta}$ direkt angeben:
+ \begin{align*}
+ \bpsi_{\beta} &\colonequals \frac{1}{\beta_{2} + \beta_{3} + 2}b_{\beta}
+ \begin{pmatrix}
+ 0\\
+ -\bx^{\beta+e_{3}}\\
+ \bx^{\beta+e_{2}}
+ \end{pmatrix}\\
+ \bpsi_{\gamma} &\colonequals \frac{1}{\gamma_{1} + \gamma_{3} + 2}c_{\gamma}
+ \begin{pmatrix}
+ \bx^{\gamma+e_{3}}\\
+ 0\\
+ -\bx^{\gamma+e_{1}}
+ \end{pmatrix}\\
+ \bpsi_{\delta} &\colonequals \frac{1}{\delta_{1} + \delta_{2} + 2}d_{\delta}
+ \begin{pmatrix}
+ -\bx^{\delta+e_{2}}\\
+ \bx^{\delta+e_{1}}\\
+ 0
+ \end{pmatrix}.
+ \end{align*}
+ Es gilt
+ \begin{align*}
+ \curlv\bpsi_{\beta} &= \bp_{\beta}, & \curlv\bpsi_{\gamma} &= \bp_{\gamma}, & \curlv\bpsi_{\delta} &= \bp_{\delta}.
+ \end{align*}
+
+ Definiere die Funktion
+ \begin{equation*}
+ \bpsi \colonequals \sum_{\abs{\alpha}=k-1} \bpsi_{\alpha} + \sum_{\substack{\abs{\beta}=k\\ \beta_{1}=0}} \bpsi_{\beta} + \sum_{\substack{\abs{\gamma}=k\\ \gamma_{2}=0}} \bpsi_{\gamma} + \sum_{\substack{\abs{\delta}=k\\ \delta_{3}=0}} \bpsi_{\delta}.
+ \end{equation*}
+ Die Funktion $\bpsi$ erfüllt die Bedingung $\bpsi\cdot \bx=0$ und es gilt
+ \begin{equation*}
+ \curlv \bpsi = \bp.\qedhere
+ \end{equation*}
+\end{proof}
+
+\bigskip
+
+Nach diesen Vorarbeiten zeigen wir jetzt die Exaktheit des diskreten
+de Rham Komplexes.
-Für die Approximaton von $\bH(\curlv)$, $\bH(\div)$ und $L^2$ nutzen wir $\bQ_{h}$, $\bV_{h}$ und $S_{h}$ aus Kapitel \ref{chFiniteElemente}.
\begin{theorem}
+\label{thm:diskrete_exakte_sequenz}
Die Sequenz
\begin{equation*}
- 0 \rightarrow W_{h}/ \R \overset{\gradv}{\rightarrow} \bm{Q}_{h} \overset{\curlv}{\rightarrow} \bm{V}_{h} \overset{\div}{\rightarrow} S_{h} \rightarrow 0
+ \R \overset{\operatorname{id}}{\longrightarrow}
+ W_{h} \overset{\gradv}{\longrightarrow}
+ \bQ_h \overset{\curlv}{\longrightarrow}
+ \bm{V}_{h} \overset{\div}{\longrightarrow} S_{h} \longrightarrow 0
\end{equation*}
- ist exakt.
+ ist exakt auf jedem Element.
\end{theorem}
-\begin{proof}
+\begin{proof}
Zu zeigen ist
\begin{align}
- \ker(\gradv W_{h}/\R) &= 0\label{exactSequence1}\\
+ \ker(\gradv W_h) &= \operatorname{id}(\R) \label{exactSequence1}\\
\ker(\curlv \bm{Q}_{h}) &= \gradv W_{h}\label{exactSequence2}\\
\ker(\div \bm{V}_{h}) &= \curlv \bm{Q}_{h}\label{exactSequence3}\\
S_{h} &= \div \bm{V}_{h}\label{exactSequence4}.
\end{align}
-\textbf{1})\
-Sei $\phi = \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{\abs{\alpha}=1}a_{\alpha}\bx^\alpha \in \ker(\gradv W/\R)$ mit einem Multiindex $\alpha = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ und der üblichen Notation $\bx^\alpha = x^{\alpha_{1}}y^{\alpha_{2}}z^{\alpha_{3}}$.
+\begin{enumerate}[wide]
+ \item ($\ker(\gradv W_h) = \operatorname{id}(\R)$)
+
+ Wir zeigen stattdessen $\ker(\gradv W_h / \R) = 0$.
+
+ Sei
+\begin{equation*}
+ \phi = \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{\abs{\alpha}=1}a_{\alpha}\bx^\alpha \in \ker(\gradv W_h/\R).
+\end{equation*}
Dann gilt
\begin{equation*}
0=\gradv\phi = \sum_{i=1}^{k+1}\sum_{\abs{\alpha}=i}a_{\alpha}\gradv\bx^\alpha \iff a_{\alpha} =0\quad \forall \abs{\alpha}=i\quad \forall i=1,\dots k+1.
\end{equation*}
-Also folgt $\phi=0$.\\
+Also folgt $\phi=0$.
-\textbf{2})\
-Für Gleichung \eqref{exactSequence2} benötigen wir, dass $\curlv \bp = 0$ für $\bp\in(\bbP_{k})^3$ impliziert, dass ein $\phi\in \bbP_{k+1}$ mit $\gradv \phi = \bp$ existiert.
-Der Beweis dafür wird in Lemma \ref{anhang_curl} im Anhang geführt.
-Es gilt
+
+\item ($\ker(\curlv \bQ_{h}) = \gradv W_h$)
+
+Wir nutzen die Definition des Nédélec Elements und schreiben
\begin{align*}
- \ker(\curlv \bQ_{h}) &= \left\{ \bq \in \bQ_{h} \ |\ \curlv \bq =0 \right\} \\
- \stackrela{\text{Def. }\ref{defNedelec}}{=} \Big\{ \bp + \til\bp, \bp\in (\bbP_{k})^3, \til\bp\in (\til\bbP_{k+1})^3 \text{ mit } \til\bp\cdot \bx =0 \ |\ \underbrace{\curlv\bp}_{\in (\bbP_{k-1})^3} + \underbrace{\curlv \til\bp}_{\in (\til\bbP_{k})^3} = 0 \Big\}\\
- & = \Big\{ \bp + \til\bp, \bp\in (\bbP_{k})^3, \til\bp\in (\til\bbP_{k+1})^3 \text{ mit } \til\bp\cdot \bx =0 \ |\ \curlv\bp = 0 ,\ \curlv \til\bp= 0 \Big\}
+ \ker(\curlv \bQ_{h})
+ &=
+ \left\{ \bq \in \bQ_{h} \ |\ \curlv \bq =0 \right\} \\
+ & =
+ \Big\{ \bp + \til\bp, \bp\in (\bbP_{k})^3, \til\bp\in (\til\bbP_{k+1})^3 \text{ mit } \til\bp\cdot \bx =0 \ |\ \underbrace{\curlv\bp}_{\in (\bbP_{k-1})^3} + \underbrace{\curlv \til\bp}_{\in (\til\bbP_{k})^3} = 0 \Big\}\\
+ & =
+ \Big\{ \bp + \til\bp, \bp\in (\bbP_{k})^3, \til\bp\in (\til\bbP_{k+1})^3 \text{ mit } \til\bp\cdot \bx =0 \ |\ \curlv\bp = 0 ,\ \curlv \til\bp= 0 \Big\}.
\end{align*}
-Dann existieren $\phi\in \bbP_{k+1},\psi\in \bbP_{k+2}$ mit
+Von Lemma~\ref{anhang_curl} wissen wir dass $\phi\in \bbP_{k+1},\psi\in \bbP_{k+2}$
+existieren so dass
\begin{equation*}
- \gradv \phi = \bp ,\ \gradv\psi=\til\bp.
+ \gradv \phi = \bp,
+ \qquad
+ \gradv\psi=\til\bp.
\end{equation*}
Sei $\psi = \sum_{i=0}^{k+2} \sum_{\abs{\alpha}=i} a_{\alpha}\bx^\alpha$.
Dann gilt
\begin{equation*}
- 0 = \til\bp \cdot \bx = \gradv\psi\cdot\bx = \sum_{i=0}^{k+2} i\sum_{\abs{\alpha}=i} a_{\alpha}\bx^\alpha.
+ 0
+ =
+ \til\bp \cdot \bx
+ =
+ \gradv\psi\cdot\bx
+ =
+ \frac{\partial \psi}{\partial x} \cdot x
+ + \frac{\partial \psi}{\partial y} \cdot y
+ + \frac{\partial \psi}{\partial z} \cdot z
+ =
+ \sum_{i=0}^{k+2} i\sum_{\abs{\alpha}=i} a_{\alpha}\bx^\alpha.
\end{equation*}
Daraus folgt, dass $\psi$ konstant ist.
Damit gilt $\til\bp = \gradv\psi =0$.
@@ -6801,40 +7214,51 @@ Es folgt
& \subset \left\{ \gradv \phi,\ \phi \in \bbP_{k+1}\right\}\\
& = \gradv W_{h}.
\end{align*}
-Die Rückrichtung $\gradv W_{h} \subset \ker(\curlv \bQ_{h})$ folgt sofort aus der Eigenschaft $\curlv\gradv u =0$ für alle hinreichend glatten Funktionen $u$.\\
+Die Rückrichtung $\gradv W_{h} \subset \ker(\curlv \bQ_{h})$ folgt sofort aus der Eigenschaft $\curlv\gradv u =0$ für alle hinreichend glatten Funktionen $u$.
-\textbf{3})\
-Für Gleichung \eqref{exactSequence3} benötigen wir, dass $\div \bp=0$ für $\bp\in(\bbP_{k})^3$ impliziert, dass ein $\bm{\psi}\in (\bbP_{k+1})^3$ mit $\bp = \curlv\bm{\psi}$ und $\bm{\psi}\cdot\bx=0$ existiert.
-Der Beweis dafür wird in Lemma \ref{anhang_div} im Anhang geführt.
-Weiterhin gilt
-\begin{equation}\label{exactSeqhelperdiv}
+\item ($\ker(\div \bm{V}_{h}) = \curlv \bm{Q}_{h}$)
+
+Wir beginnen mit
+\begin{align*}
+ \ker(\div \bm{V}_{h}) &= \{ \bm{v} \in \bm{V}_{h} \ |\ \div \bm{v} = 0 \}.
+\end{align*}
+Wir setzen die Definition~\ref{defRT} der Raviart--Thomas-Elemente ein, und erhalten
+\begin{align*}
+ \ker(\div \bm{V}_{h}) &= \Big\{ \bm{p} + r \bm{x}, \bm{p} \in (\bbP_{k})^3, r \in \til \bbP_{k} \ |\ \underbrace{\div \bp}_{\in\bbP_{k-1}} + \underbrace{\div(r \bx)}_{\in \til\bbP_{k}} = 0 \Big\}
+\end{align*}
+Da
+\begin{equation*}
\div(r\bx)=(k+3)r \quad \forall r\in \til\bbP_{k}.
-\end{equation}
-Damit folgt
+\end{equation*}
+folgt
+\begin{align*}
+ \ker(\div \bm{V}_{h})
+ &=
+ \left\{ \bm{p} + r \bm{x}, \bm{p} \in (\bbP_{k})^3, r \in \til\bbP_{k} \ |\ \div \bp = 0 \text{ und }(k+3)r =0 \right\}\\
+ &=
+ \big\{ \bm{p} \in (\bbP_{k})^3\ |\ \div \bp = 0 \big\}.
+\end{align*}
+Nach Lemma~\ref{anhang_div} impliziert $\div \bp=0$ für $\bp\in(\bbP_{k})^3$,
+dass ein $\bm{\psi}\in (\bbP_{k+1})^3$ mit $\bp = \curlv\bm{\psi}$ und $\bm{\psi}\cdot\bx=0$ existiert.
+Damit erhalten wir
\begin{align*}
- \ker(\div \bm{V}_{h}) &= \left\{ \bm{v} \in \bm{V}_{h} \ |\ \div \bm{v} = 0 \right\}\\
- \stackrela{\text{Def. } \ref{defRT}}{=} \Big\{ \bm{p} + r \bm{x}, \bm{p} \in (\bbP_{k})^3, r \in \til \bbP_{k} \ |\ \underbrace{\div \bp}_{\in\bbP_{k-1}} + \underbrace{\div(r \bx)}_{\in \til\bbP_{k}} = 0 \Big\}\\
- \stackrela{\eqref{exactSeqhelperdiv}}{=} \left\{ \bm{p} + r \bm{x}, \bm{p} \in (\bbP_{k})^3, r \in \til\bbP_{k} \ |\ \div \bp = 0 \text{ und }(k+3)r =0 \right\}\\
- &= \left\{ \bm{p} \in (\bbP_{k})^3\ |\ \div \bp = 0 \right\}\\
- \stackrela{\text{Lemma }\ref{anhang_div}}{=} \left\{ \bm{p} \in (\bbP_{k})^3\ |\ \bp = \curlv\bm{\psi} ,\ \bm{\psi}\in(\bbP_{k+1})^3,\ \bm{\psi}\cdot\bx=0 \right\}\\
+ \ker(\div \bm{V}_{h})
+ &=
+ \left\{ \bm{p} \in (\bbP_{k})^3\ |\ \bp = \curlv\bm{\psi} ,\ \bm{\psi}\in(\bbP_{k+1})^3,\ \bm{\psi}\cdot\bx=0 \right\}\\
&\subset \left\{ \curlv\bm{\psi} ,\ \bm{\psi}\in(\bbP_{k+1})^3,\ \bm{\psi}\cdot\bx=0 \right\}\\
&\subset \curlv\bQ_{h}.
\end{align*}
-Die Inklusion $\curlv\bQ_{h} \subset \ker(\div \bV_{h})$ folgt mit
+Die Inklusion $\curlv\bQ_{h} \subset \ker(\div \bV_{h})$ folgt, da
\begin{align*}
- \div( \curlv \bu) &= \div
- \begin{pmatrix}
- \d_{2}u_{3} -\d_{3}u_{2}\\
- \d_{3}u_{1} -\d_{1}u_{3}\\
- \d_{1}u_{2} -\d_{2}u_{1}\\
- \end{pmatrix}\\
- &= \d_{1}(\d_{2}u_{3} -\d_{3}u_{2}) + \d_{2}(\d_{3}u_{1} -\d_{1}u_{3})+ \d_{3}(\d_{1}u_{2} -\d_{2}u_{1}) \\
- &= 0
+ \div( \curlv \bu) &= 0
\end{align*}
-für hinreichend glatte Funktionen $\bu$.\\
+für alle hinreichend glatten Funktionen $\bu$.
+
+\medskip
+
+\item ($S_{h} = \div \bm{V}_{h}$)
-\textbf{4}) \
-Wir zeigen $S_{h} \subset \div\bV_{h}$.
+Wir zeigen zunächst $S_{h} \subset \div\bV_{h}$.
Für ein beliebiges $s\in S_{h}$ mit $s = \sum_{i=0}^k\sum_{\abs{\alpha}=i}a_{\alpha}\bx^{\alpha}$ können wir ein Urbild explizit angeben
\begin{equation*}
\bv = \sum_{i=0}^k \frac{1}{i+3}\sum_{\abs{\alpha}=i}a_{\alpha}\bx^{\alpha}
@@ -6847,40 +7271,113 @@ Für ein beliebiges $s\in S_{h}$ mit $s = \sum_{i=0}^k\sum_{\abs{\alpha}=i}a_{\a
Dann gilt $\div\bv = s$.
Da $\bV_{h}\subset (\bbP_{k+1})^3$ und $\div((\bbP_{k+1})^3)\subset \bbP_{k}$ gilt, folgt $\div(\bV_{h})\subset S_{h}$
+\end{enumerate}
\end{proof}
+\bigskip
+
+Jetzt zeigen wir die diskrete Helmholtz-Zerlegung.
+
+\smallskip
+
+Zur Erinnerung: Die eigentliche Helmholtz-Zerlegung besagt dass man jedes
+$L^2$-Vektorfeld $\bu$ schreiben kann als
+\begin{equation*}
+ \bu = \curlv \ba + \nabla \phi,
+\end{equation*}
+wobei $\curlv \ba$ und $\nabla \phi$ senkrecht aufeinanderstehen.
+
+\bigskip
+
+Das zeigen wir jetzt auch für Finite Elemente Funktionen.
-Wir definieren den Operator $\gradv_{h}\colon S_{h} \to \bV_{h}$ als den $L^2$-adjungierten Operator zu $-\div$:
+\medskip
+
+Der Trick ist dass man nicht den normalen Gradienten $\nabla$ benutzt.
+Stattdessen definieren wir $\gradvh$ als Adjungierte der Divergenz.
+
+\begin{itemize}
+ \item Von Satz~\ref{thm:diskrete_exakte_sequenz} wissen wir dass
+ $S_h$ das Bild des Operators
+ \begin{equation*}
+ \div : \bV_h \to S_h
+ \end{equation*}
+ ist.
+
+ \item Also ist $\div$ bijektiv auf dem Quotientenraum $\bV_h / \ker \div$.
+
+ \item Es existieren also auch Bijektionen $S_h \to \bV_h / \ker \div$;
+ Wenn $\widetilde{\div^{-1}}$ so eine Bijektion ist können wir $\bV_h$ darstellen als
+ \begin{equation*}
+ \bV_h = \widetilde{\div^{-1}} S_h \oplus \ker \div.
+ \end{equation*}
+
+ \item Wieder nach Satz~\ref{thm:diskrete_exakte_sequenz} ist gerade
+ \begin{equation*}
+ \ker \div = \curlv (\bQ_h).
+ \end{equation*}
+
+ \item Was nehmen wir für $\widetilde{\div^{-1}}$? Naheliegend wäre die
+ Umkehrabbildung von $\div$, aber wir nehmen stattdessen die $L^2$-Adjungierte.
+\end{itemize}
+
+
+\begin{definition}
+Der Operator $\gradvh\colon S_{h} \to \bV_{h}$ ist der $L^2$-adjungierte Operator zu $-\div$:
\begin{equation}\label{defGradvh}
(\gradv_{h} s,\bv)\colonequals(s,-\div \bv) \quad \forall \bv\in \bV_{h}.
\end{equation}
+\end{definition}
+
+Es gilt
+\begin{lemma}
+ Wenn ein linearer Operator $A$ bijektiv ist, so ist auch sein adjungierter
+ Operator bijektiv.
+\end{lemma}
+
+
+\begin{theorem}[diskrete Helmholtz-Zerlegung~I]\label{disHelmholtzDecomp}
+ Für den Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ existiert die diskrete Helmholtz-Zerlegung
+ \begin{equation*}
+ \bV_{h} = \curlv\bQ_{h} \oplus \gradv_{h}S_{h}.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+Ganz ähnlich zeigt man
+\begin{theorem}[diskrete Helmholtz-Zerlegung~II]
+ Für den Raum der Nédélec Funktionen $\bQ_{h}$ existiert die diskrete Helmholtz-Zerlegung
+ \begin{equation*}
+ \bQ_{h} = \curlv_h\bV_h \oplus \gradv W_h.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+Dabei sit $\curlv_h$ der $L^2$-adjungierte Operator von $\curlv$.
+
+\bigskip
+
+Warum nimmt man ausgerechnet den adjungierten Operator der Divergenz als Abbildung
+von $S_h$ nach $\bV_h$? Weil er die nötigen Orthogonalitätseigenschaften hat!
\begin{lemma}\label{helmholtOrthogonal}
- Die Räume $\curlv\bQ_{h}$ und $\gradv_{h}S_{h}$ sind $\bL^2$- und $\bH(\div)$-orthogonal.
+ Die Räume $\curlv\bQ_{h}$ und $\gradvh S_{h}$ sind $\bL^2$- und $\bH(\div)$-orthogonal.
\end{lemma}
\begin{proof}
Seien $\bq\in \bQ_{h}$ und $s\in S_{h}$ beliebig.
- Dann gilt $\curlv\bq,\gradv_{h}s\in \bV_{h}$ und es folgt
+ Dann gilt $\curlv\bq,\gradvh s\in \bV_{h}$ und es folgt
\begin{align}
- (\curlv \bq, \gradv_{h}s) \stackrela{\eqref{defGradvh}}{=} (- \underbrace{\div\curlv \bq}_{=0},s) = 0\label{orthoinl2}\\
+ (\curlv \bq, \gradvh s) \stackrela{\eqref{defGradvh}}{=} (- \underbrace{\div\curlv \bq}_{=0},s) = 0\label{orthoinl2}\\
+ \intertext{und}
(\curlv \bq, \gradv_{h}s)_{\bHd} &=(\curlv \bq, \gradv_{h}s) + ( \underbrace{\div\curlv \bq}_{=0}, \div\gradv_{h}s) \overset{\eqref{orthoinl2}}{=} 0.\nonumber
+ \qedhere
\end{align}
- Damit gilt
- \begin{align}
- \norm{\curlv \bq + \gradv_{h}s}_{\bL^2}^2 &= \norm{\curlv \bq}^2 + \norm{\gradv_{h}s}^2 + \underbrace{2(\curlv \bq, \gradv_{h}s) }_{=0}\label{exfirstOrtho}\\
- \norm{\curlv \bq + \gradv_{h}s}_{\bHd}^2 \stackrela{\eqref{exfirstOrtho}}{=} \norm{\curlv \bq}_{\bHd}^2 + \norm{\gradv_{h}s}_{\bHd}^2 \nonumber\\
- &{} \qquad + \underbrace{2(\div\curlv \bq, \div\gradv_{h}s) }_{=0}\nonumber.
- \end{align}
- Da $\bq$ und $s$ beliebig waren, folgt die Behauptung.
\end{proof}
+\bigskip
-\begin{theorem}[diskrete Helmholtz-Zerlegung]\label{disHelmholtzDecomp}
- Für den Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ existiert die diskrete Helmholtz-Zerlegung
- \begin{equation*}
- \bV_{h} = \curlv\bQ_{h} \oplus \gradv_{h}S_{h}.
- \end{equation*}
-\end{theorem}
+Damit gilt insbesondere
+\begin{align}
+ \norm{\curlv \bq + \gradvh s}_{\bL^2}^2 &= \norm{\curlv \bq}^2 + \norm{\gradvh s}^2 \label{exfirstOrtho} \\
+\intertext{und}
+ \norm{\curlv \bq + \gradvh s}_{\bHd}^2 &= \norm{\curlv \bq}_{\bHd}^2 + \norm{\gradvh s}_{\bHd}^2.
+\end{align}
Für die Approximation von Funktionen aus $\bHd$ werden wir Funktionen aus $\bH(\curl)$ und $L^2$ benutzen.
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