Nichtlineares Schwarz-Verfahren: diverse Verbesserungen

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@@ -9832,9 +9832,10 @@ Damit meinen wir dass für alle $(x_1,\dots,x_N) \in X_1 \times \dots X_N$
  \psi \Big( \sum_{j=1}^N x_j\Big) = \sum_{j=1}^N \psi(x_j).
 \end{equation*}
 Außerdem brauchen wir dass für alle $x_j \in X_j$ und $y_j \in \sum_{k=1,k\neq j}^N X_k$
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
+\label{eq:nonsmooth_independence}
  \psi(x_j + P_j y_j) = \psi(x_j).
-\end{equation*}
+\end{equation}
 \todo[inline]{Definieren $P_j$!}
 \todo[inline]{Diese Bedingung besser erklären!}
 
@@ -9869,12 +9870,12 @@ eine eindeutige Lösung.  Der Algorithmus ist also durchführbar.
 
 
 \begin{theorem}
- Sei $u$ der Minimierer von $J$ in $X$, uns sei $(u_\nu)$ die durch das Schwarz-Verfahren
+ Sei $u$ der Minimierer von $J$ in $X$, und sei $(u_\nu)$ die durch das Schwarz-Verfahren
  erzeugte Folge mit Startwert $u_0$.  Setze
  \begin{align*}
+  \gamma & \colonequals \frac{N C_X^2 L^2 }{2\alpha^2} \\
   q & \colonequals \frac{\gamma}{1+\gamma} \\
-  \gamma & \colonequals N C_X^2 L^2 \frac{1}{2\alpha^2} \\
-  C_0    & \colonequals 2(1+\gamma)\alpha^{-1} (J(u_0) - J(u)).
+  C_0    & \colonequals \frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (J(u_0) - J(u)).
  \end{align*}
  Dann gilt
  \begin{equation*}
@@ -9882,9 +9883,6 @@ eine eindeutige Lösung.  Der Algorithmus ist also durchführbar.
  \end{equation*}
 \end{theorem}
 
-Einen Beweis für den glatten Fall $\psi = 0$ findet sich bei
-\citet[Theorem~I.3]{lions}.
-
 \begin{proof}
  \begin{itemize}
   \item Sei $\nu = n + \frac{j}{N} \ge 1$.
@@ -9893,26 +9891,35 @@ Einen Beweis für den glatten Fall $\psi = 0$ findet sich bei
 
   \item Deshalb hat $J(\cdot + u_\nu)|_{X_j}$ sein Minimum in $0$.
 
-  \item Sei $\partial J$ das Subdifferential von $J$.
-  \todo[inline]{Das müssen wir definieren...}
+  \item Sei $\partial J(u_\nu)$ das Subdifferential von $J$ an der Stelle $u_\nu$,
+   d.h.\ die Menge aller Vektoren $v \in X$ so dass
+   \begin{equation*}
+    \langle v,(x-u_\nu) \rangle \le J(x) - J(u_\nu).
+   \end{equation*}
 
-  \item Es ist $0 \in \partial J(u_\nu)|_{X_j}$, und deshalb\todo{Warum?}
-  \begin{equation*}
+  \item Es ist $0 \in \partial J(u_\nu)|_{X_j} = D\phi(u_\nu) + \partial \psi(u_\nu)$,
+   und deshalb $- D\phi(u_\nu) \in \partial \psi(u_\nu)$, was bedeutet dass
+  \begin{equation}
+  \label{eq:nonsmooth_bounds_smooth}
    D\phi(u_\nu)(\eta) \le \psi(u_\nu - \eta) - \psi(u_\nu)
    \qquad
    \forall \eta \in X_j.
-  \end{equation*}
+  \end{equation}
+   \todo[inline]{Details nachprüfen!}
 
   \item Zusammen mit der Elliptizität von $D\phi$ erhalten wir
-  \begin{align*}
+  \begin{align}
+   \nonumber
    \alpha \norm{u_\nu - u_{\nu - \frac{1}{N}}}^2
    & \le
    \phi(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - \phi(u_\nu) + D\phi(u_\nu)(u_\nu - u_{\nu - \frac{1}{N}}) \\
+   \nonumber
    & \le
    \phi(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - \phi(u_\nu) + \psi(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - \psi(u_\nu) \\
+   \label{eq:values_bound_square}
    & =
    J(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - J(u_\nu).
-  \end{align*}
+  \end{align}
 
  \end{itemize}
 
@@ -9924,19 +9931,18 @@ Dabei sind die Indizes mod $N$ zu verstehen.
 
 \medskip
 
-Sei $k \in \{ j - N+1, \dots, j\}$.
-
-Wir rechnen
+Für ein $k \in \{ j - N+1, \dots, j\}$ rechnen wir
 \begin{align*}
- D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(\sum_{m = j-N+1}^k P_m(u_\nu - u))
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^k P_m(u_\nu - u)\Big)
  & =
- D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u))
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
     + D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(P_k(u_\nu - u)) \\
     & \text{(wegen Linearität von $D\phi$ im zweiten Argument)} \\
  & \le
- D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u))
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
     + \psi(u_{n + \frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) \\
     & \qquad - \psi(u_{n + \frac{k}{N}}).
+    \qquad (\text{wegen~\eqref{eq:nonsmooth_bounds_smooth}})
 \end{align*}
 
 Indem wir diese Abschätzung nacheinander für $k=j, j-1, \dots, j-N+1$
@@ -9946,32 +9952,37 @@ anwenden bekommen wir
  \le
  \sum_{k=j-N+1}^j \Big( \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big) \\
  +
- \sum_{k=j-N+1}^j \Big(D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(\cdot) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})(\cdot)\Big)
+ \sum_{k=j-N+1}^j \Big(D\phi(u_{n+\frac{k}{N}}) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})\Big)
  \Big(\sum_{m=j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
 \end{multline*}
 Das schätzen wir weiter ab, und erhalten
-\begin{align*}
+\begin{align}
+ \nonumber
  D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
  & \le
  \sum_{k=j-N+1}^j \Big( \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big) \\
+ \nonumber
  & +
- \Bigg|\sum_{k=j-N+1}^j \Big(D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(\cdot) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})(\cdot)\Big)
- \Big(\sum_{m=j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big) \Bigg| \\
+ \sum_{k=j-N+1}^j \norm[\bigg]{D\phi(u_{n+\frac{k}{N}}) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})}_{X^*}
+ \norm[\bigg]{\sum_{m=j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)}_X \\
  & \le
  \sum_{k=j-N+1}^j \Big( \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big) \\
+ \nonumber
   & +
- L\sum_{k=j-N+1}^j \norm{u_{n+\frac{k}{N}} - u_{n+\frac{k-1}{N}}}_{X^*}
+ L\sum_{k=j-N+1}^j \norm{u_{n+\frac{k}{N}} - u_{n+\frac{k-1}{N}}}_X
  \qquad (\text{Lipschitz-Stetigkeit von $D\phi$}) \\
+ \label{eq:bound_on_Dphi}
  & \cdot C_X \norm{u_\nu - u}
  \qquad (\text{Stabilität der Zerlegung $\{X_i\}$})
-\end{align*}
+\end{align}
 
 \paragraph{Nächster Teilschritt} \mbox{}
 
 Als nächstes schätzen wir den nichtglatten Term
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
+\label{eq:nonsmooth_sum}
  \sum_{k=j-N+1}^j \Big( \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big)
-\end{equation*}
+\end{equation}
 ab.  Dazu nutzen wir die Separabilität von $\psi$.
 
 \medskip
@@ -9985,16 +9996,15 @@ Nach Konstruktion des Algorithmus ist
  \forall k \in \{ j-N+1, \dots, j\}.
 \end{equation*}
 
-Wegen der Separierbarkeit~\eqref{} erhält man
-\begin{equation*}
+Wegen der Separierbarkeit~\eqref{eq:nonsmooth_independence} erhält man
+\begin{equation}
+\label{eq:carstensen_3.7}
  \psi(P_k(u_{n+\frac{k}{N}} - u_\nu) + P_k u) = \psi(P_k u)
-\end{equation*}
-und
-\begin{equation*}
+ \qquad \text{und} \qquad
  \psi(P_k(u_{n+\frac{k}{N}})) = \psi(P_k u_\nu).
-\end{equation*}
+\end{equation}
 
-Jetzt schauen wir uns einen Summanden von~\eqref{} an:
+Jetzt schauen wir uns einen Summanden von~\eqref{eq:nonsmooth_sum} an:
 \begin{align*}
  \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n + \frac{k}{N}})
  & =
@@ -10003,21 +10013,22 @@ Jetzt schauen wir uns einen Summanden von~\eqref{} an:
  \sum_{m=j-N+1}^j\psi( P_m (u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u))) - \sum_{m=j-N+1}^j \psi(P_m u_{n + \frac{k}{N}}) \\
  & \qquad (\text{Separierbarkeit})
 \end{align*}
-Wegen [2.8] erhält man
+Wegen~\eqref{eq:nonsmooth_independence} erhält man
 \begin{equation*}
  = \psi( P_k u_{n+\frac{k}{N}} - P_k P_k(u_\nu - u)) - \psi(P_k u_{n + \frac{k}{N}})
 \end{equation*}
 
-Wegen [3.7] erhält man
-\begin{equation*}
+Wegen \eqref{eq:carstensen_3.7} erhält man
+\begin{equation}
+\label{eq:nonsmooth_intermediate_bound}
  \psi(u_{n+\frac{k}{N}} - P_k(u_\nu - u)) - \psi(u_{n + \frac{k}{N}})
  =
- \psi(\P_k u) - \psi(P_k u_\nu).
-\end{equation*}
+ \psi(P_k u) - \psi(P_k u_\nu).
+\end{equation}
 
 \paragraph{Nächster Teilschritt} \mbox{}
 
-Das bauen wir in [3.5] ein.  [3.5] sagt
+Das bauen wir in~\eqref{eq:bound_on_Dphi} ein.  Zur Erinnerung: \eqref{eq:bound_on_Dphi} sagt
 \begin{multline*}
  D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
  \le
@@ -10031,24 +10042,24 @@ Mit der Abschätzung für $\psi$ ergibt das
  \le
  C_X L \norm{u - u_\nu}_X \cdot \sum_{k=j-N+1}^j \norm{u_{n+\frac{k}{N}} - u_{n+\frac{k-1}{N}}}_X \\
  +
- \underbrace{\sum_{k=j-N+1}^j (\psi(P_ku) - \psi(P_k u_\nu))}_{=\psi(u) - \psi(u_\nu), \text{wegen ???}}.
+ \underbrace{\sum_{k=j-N+1}^j (\psi(P_ku) - \psi(P_k u_\nu))}_{\text{$=\psi(u) - \psi(u_\nu)$, wegen \eqref{eq:nonsmooth_intermediate_bound}}}.
 \end{multline*}
-Wegen~\eqref{} wiederum ist
+Wegen~\eqref{eq:values_bound_square} wiederum ist
 \begin{equation*}
  \norm{u_{n + \frac{k}{N}} - u_{n + \frac{k-1}{N}}}^2
  \le
- \frac{1}{\alpha} \Big( f(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - f(u_{n + \frac{k}{N}})\Big),
+ \frac{1}{\alpha} \Big( J(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - J(u_{n + \frac{k}{N}})\Big),
 \end{equation*}
 und deshalb
 \begin{equation*}
  D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
  \le
  C_X L \frac{1}{\sqrt{\alpha}}
- \sum_{k=j-N+1}^j \Big( f(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - f(u_{n + \frac{k}{N}}) \Big)^\frac{1}{2}.
+ \sum_{k=j-N+1}^j \Big( J(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - J(u_{n + \frac{k}{N}}) \Big)^\frac{1}{2}.
 \end{equation*}
 Schreibe zur Abkürzung
 \begin{equation*}
- \delta_\mu \colonequals f(u_\mu) - f(u)
+ \delta_\mu \colonequals J(u_\mu) - J(u)
  \qquad \text{und} \qquad
  \epsilon_\mu \colonequals \norm{u-u_\mu}_X.
 \end{equation*}
@@ -10058,7 +10069,7 @@ Dann erhält man
  \alpha \epsilon_\nu^2 + \delta_\nu
  & \le
  C_X L \alpha^{-1/2} \epsilon_\nu \cdot
-   \sum_{\mu = \nu -1 + \frac{1}{N}} (\delta_{\mu - \frac{1}{N}} - \delta_\mu)^{1/2} \\
+   \sum_{\mu = \nu -1 + \frac{1}{N}}^j (\delta_{\mu - \frac{1}{N}} - \delta_\mu)^{1/2} \\
  %
  & \le
  \gamma (\delta_{\nu-1} - \delta_\nu) + \frac{1}{2} \alpha \epsilon_\nu^2.
@@ -10071,14 +10082,29 @@ Daraus wiederum folgt
 \end{equation*}
 Daraus folgt zum einen
 \begin{equation*}
- \delta_\nu \le \delta_0 \cdot q^{[\nu]}
+ \delta_\nu
+ \le
+ q \cdot \delta_{\nu-1} - \frac{\alpha}{2(1+\gamma)} \epsilon_\nu^2
+ \le
+ q \cdot \delta_{\nu-1}
+ \le
+ \delta_0 \cdot q^{\nu},
 \end{equation*}
-\todo[inline]{Carstensen sagt nicht was er mit den eckigen Klammern meint...}
-und zu zum anderen die Behauptung
-\begin{equation*}
- \norm{u - u_\nu}_X^2 \le C_0 \cdot q^{[\nu]}.
+\todo[inline]{Carstensen schreibt hier $q^{[\nu]}$ sagt nicht
+  was er damit genau meint...}
+und zum anderen die Behauptung
+\begin{align*}
+ \norm{u - u_\nu}_X^2 = \epsilon_\nu^2
+ & \le
+ \frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (q \delta_{\nu-1} - \delta_\nu) \\
+ & \le
+ ??? \\
+ & \le
+ \underbrace{\frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (J(u_0) - J(u))}_{=C_0} \cdot q^{[\nu]}\\
+ & =
+ C_0 \cdot q^{[\nu]}.
  \qedhere
-\end{equation*}
+\end{align*}
 
 \end{proof}