Skip to content
GitLab
Menu
Projects
Groups
Snippets
Help
Help
Support
Community forum
Keyboard shortcuts
?
Submit feedback
Contribute to GitLab
Sign in
Toggle navigation
Menu
Open sidebar
Sander, Oliver
skript-mehrgitter
Commits
4976b35e
Commit
4976b35e
authored
Jun 06, 2021
by
Sander, Oliver
Browse files
Einführung: FE für H(curl) und H(div)
parent
bbfe7fae
Pipeline
#6506
passed with stage
in 52 seconds
Changes
1
Pipelines
1
Hide whitespace changes
Inline
Side-by-side
skript-mehrgitter-sander.tex
View file @
4976b35e
...
...
@@ -5919,6 +5919,117 @@ Dieser Spezialfall heißt \emph{Poincaré-Lemma}.
\section
{
Finite Elemente für
\texorpdfstring
{$
H
(
\div
)
$}{
H(div)
}
und
\texorpdfstring
{$
H
(
\curl
)
$}{
H(curl)
}}
Wir sollen jetzt konforme Finite-Elemente-Diskretisierungen für Problem in
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$
konstruieren.
\medskip
Da
$
H
^
1
\subset
H
(
\curl
)
$
und
$
H
^
1
\subset
H
(
\div
)
$
geht das im Prinzip mit ganz
normalen Lagrange-Elementen.
\medskip
Dabei verliert man aber relativ viel Struktur des Problems.
\bigskip
Zur Erinnerung: Der de Rham-Komplex
\begin{equation*}
\begin{array}
{
ccccccccc
}
\R
&
\overset
{
\text
{
id
}}{
\longrightarrow
}
&
H
^
1(
\Omega
)
&
\overset
{
\nabla
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\curl
)
&
\overset
{
\curl
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\div
)
&
\overset
{
\div
}{
\longrightarrow
}
&
L
^
2(
\Omega
).
\end{array}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item
Bei den Maxwell-Gleichungen hatten wir folgende Variablen:
\begin{itemize}
\item
Die elektrische und magnetische Feldstärke
$
\bE
\in
H
(
\curl
)
$
bzw.
\
$
\bH
\in
H
(
\curl
)
$
.
\item
Die elektrischen und magnetischen Flüsse
$
\bD
\in
H
(
\div
)
$
bzw.
\
$
\bB
\in
H
(
\div
)
$
.
\item
Das skalare Potential
$
\phi
\in
H
^
1
$
mit
$
\bE
=
\nabla
\phi
$
.
\item
Das Vektorpotential
$
\bA
\in
H
(
\curl
)
$
mit
$
\bB
=
\curl
\bA
$
.
\end{itemize}
Die Variablen hängen also an unterschiedlichen Stellen im de Rham-Komplex.
\bigskip
\item
Für die zwei prototypischen
$
H
(
\curl
)
$
bzw.
\
$
H
(
\div
)
$
-Probleme
haben wir gesehen dass sich das Verhalten des Differentialoperators
ändert je nachdem ob man ein Gradientenfeld oder ein
$
\curl
$
-Feld einsetzt.
\medskip
Die Helmholtz-Zerlegung erlaubte es, diese beiden Beiträge immer klar
voneinander zu trennen.
\medskip
Mit Lagrange-Elementen ist das nicht so einfach.
Diese sind nicht ohne weiteres
$
\curl
$
- oder
$
\div
$
-frei.
\end{enumerate}
Wir wollen deshalb folgenden erweiterten de Rham-Komplex:
\begin{equation*}
\begin{array}
{
ccccccccc
}
\R
&
\overset
{
\text
{
id
}}{
\longrightarrow
}
&
H
^
1(
\Omega
)
&
\overset
{
\nabla
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\curl
)
&
\overset
{
\curl
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\div
)
&
\overset
{
\div
}{
\longrightarrow
}
&
L
^
2(
\Omega
)
\\
&
&
\cup
&
&
\cup
&
&
\cup
&
&
\cup
\\
\R
&
\overset
{
\text
{
id
}}{
\longrightarrow
}
&
W
_
h
&
\overset
{
\nabla
}{
\longrightarrow
}
&
V
_
h
&
\overset
{
\curl
}{
\longrightarrow
}
&
Q
_
h
&
\overset
{
\div
}{
\longrightarrow
}
&
S
_
h
\end{array}
\end{equation*}
und dabei soll die zweite Reihe wie die erste eine exakte Sequenz bilden.
\medskip
Außerdem wünschen wir uns eine diskrete Helmholtz-Zerlegung.
\todo
[inline]
{
Wie soll die aussehen?
}
So eine Konstruktion ist tatsächlich möglich! Man nimmt dazu
\begin{align*}
W
_
h
&
\colonequals
\Big\{
v
\in
C(
\Omega
)
\;
:
\;
\text
{$
v|
_
T
$
ist Polynom vom Grad höchstens
$
k
$}
\Big\}
\\
%
V
_
h
&
\colonequals
\text
{
Das Nédélec-Element
}
\\
%
Q
_
h
&
\colonequals
\text
{
Das Raviart--Thomas-Element
}
\\
%
W
_
h
&
\colonequals
\Big\{
v
\in
C(
\Omega
)
\;
:
\;
\text
{$
v|
_
T
$
ist Polynom vom Grad höchstens
$
k
$}
\Big\}
\end{align*}
\section
{
Mehrgitter für Probleme in
\texorpdfstring
{$
H
(
\div
)
$}{
H(div)
}
und
\texorpdfstring
{$
H
(
\curl
)
$}{
H(curl)
}}
...
...
Write
Preview
Supports
Markdown
0%
Try again
or
attach a new file
.
Attach a file
Cancel
You are about to add
0
people
to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Cancel
Please
register
or
sign in
to comment