Einführung: FE für H(curl) und H(div)

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -5919,6 +5919,117 @@ Dieser Spezialfall heißt \emph{Poincaré-Lemma}.
 
 \section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
 
+Wir sollen jetzt konforme Finite-Elemente-Diskretisierungen für Problem in $H(\curl)$
+und $H(\div)$ konstruieren.
+
+\medskip
+
+Da $H^1 \subset H(\curl)$ und $H^1 \subset H(\div)$ geht das im Prinzip mit ganz
+normalen Lagrange-Elementen.
+
+\medskip
+
+Dabei verliert man aber relativ viel Struktur des Problems.
+
+\bigskip
+
+Zur Erinnerung: Der de Rham-Komplex
+\begin{equation*}
+\begin{array}{ccccccccc}
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\curl)    & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\div)     & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ L^2(\Omega).
+\end{array}
+\end{equation*}
+
+\begin{enumerate}
+ \item Bei den Maxwell-Gleichungen hatten wir folgende Variablen:
+\begin{itemize}
+ \item Die elektrische und magnetische Feldstärke $\bE \in H(\curl)$
+  bzw.\ $\bH \in H(\curl)$.
+
+ \item Die elektrischen und magnetischen Flüsse $\bD \in H(\div)$
+  bzw.\ $\bB \in H(\div)$.
+
+ \item Das skalare Potential $\phi \in H^1$ mit $\bE = \nabla \phi$.
+
+ \item Das Vektorpotential $\bA \in H(\curl)$ mit $\bB = \curl \bA$.
+\end{itemize}
+
+Die Variablen hängen also an unterschiedlichen Stellen im de Rham-Komplex.
+
+\bigskip
+
+ \item Für die zwei prototypischen $H(\curl)$ bzw.\ $H(\div)$-Probleme
+  haben wir gesehen dass sich das Verhalten des Differentialoperators
+  ändert je nachdem ob man ein Gradientenfeld oder ein $\curl$-Feld einsetzt.
+
+  \medskip
+
+  Die Helmholtz-Zerlegung erlaubte es, diese beiden Beiträge immer klar
+  voneinander zu trennen.
+
+  \medskip
+
+  Mit Lagrange-Elementen ist das nicht so einfach.
+
+  Diese sind nicht ohne weiteres $\curl$- oder $\div$-frei.
+
+\end{enumerate}
+
+Wir wollen deshalb folgenden erweiterten de Rham-Komplex:
+\begin{equation*}
+\begin{array}{ccccccccc}
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\curl)    & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\div)     & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ L^2(\Omega) \\
+ & & \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ W_h & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ V_h & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ Q_h & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ S_h
+\end{array}
+\end{equation*}
+
+und dabei soll die zweite Reihe wie die erste eine exakte Sequenz bilden.
+
+\medskip
+
+Außerdem wünschen wir uns eine diskrete Helmholtz-Zerlegung.
+\todo[inline]{Wie soll die aussehen?}
+
+So eine Konstruktion ist tatsächlich möglich!  Man nimmt dazu
+\begin{align*}
+ W_h & \colonequals
+ \Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\} \\
+ %
+ V_h & \colonequals
+ \text{Das Nédélec-Element} \\
+ %
+ Q_h & \colonequals
+ \text{Das Raviart--Thomas-Element} \\
+ %
+ W_h & \colonequals
+ \Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\}
+\end{align*}
+
 
 \section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}