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Einführung: FE für H(curl) und H(div)

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......@@ -5919,6 +5919,117 @@ Dieser Spezialfall heißt \emph{Poincaré-Lemma}.
\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
Wir sollen jetzt konforme Finite-Elemente-Diskretisierungen für Problem in $H(\curl)$
und $H(\div)$ konstruieren.
\medskip
Da $H^1 \subset H(\curl)$ und $H^1 \subset H(\div)$ geht das im Prinzip mit ganz
normalen Lagrange-Elementen.
\medskip
Dabei verliert man aber relativ viel Struktur des Problems.
\bigskip
Zur Erinnerung: Der de Rham-Komplex
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccc}
\R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
&
H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
&
H(\curl) & \overset{\curl}{\longrightarrow}
&
H(\div) & \overset{\div}{\longrightarrow}
&
L^2(\Omega).
\end{array}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Bei den Maxwell-Gleichungen hatten wir folgende Variablen:
\begin{itemize}
\item Die elektrische und magnetische Feldstärke $\bE \in H(\curl)$
bzw.\ $\bH \in H(\curl)$.
\item Die elektrischen und magnetischen Flüsse $\bD \in H(\div)$
bzw.\ $\bB \in H(\div)$.
\item Das skalare Potential $\phi \in H^1$ mit $\bE = \nabla \phi$.
\item Das Vektorpotential $\bA \in H(\curl)$ mit $\bB = \curl \bA$.
\end{itemize}
Die Variablen hängen also an unterschiedlichen Stellen im de Rham-Komplex.
\bigskip
\item Für die zwei prototypischen $H(\curl)$ bzw.\ $H(\div)$-Probleme
haben wir gesehen dass sich das Verhalten des Differentialoperators
ändert je nachdem ob man ein Gradientenfeld oder ein $\curl$-Feld einsetzt.
\medskip
Die Helmholtz-Zerlegung erlaubte es, diese beiden Beiträge immer klar
voneinander zu trennen.
\medskip
Mit Lagrange-Elementen ist das nicht so einfach.
Diese sind nicht ohne weiteres $\curl$- oder $\div$-frei.
\end{enumerate}
Wir wollen deshalb folgenden erweiterten de Rham-Komplex:
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccc}
\R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
&
H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
&
H(\curl) & \overset{\curl}{\longrightarrow}
&
H(\div) & \overset{\div}{\longrightarrow}
&
L^2(\Omega) \\
& & \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\
\R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
&
W_h & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
&
V_h & \overset{\curl}{\longrightarrow}
&
Q_h & \overset{\div}{\longrightarrow}
&
S_h
\end{array}
\end{equation*}
und dabei soll die zweite Reihe wie die erste eine exakte Sequenz bilden.
\medskip
Außerdem wünschen wir uns eine diskrete Helmholtz-Zerlegung.
\todo[inline]{Wie soll die aussehen?}
So eine Konstruktion ist tatsächlich möglich! Man nimmt dazu
\begin{align*}
W_h & \colonequals
\Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\} \\
%
V_h & \colonequals
\text{Das Nédélec-Element} \\
%
Q_h & \colonequals
\text{Das Raviart--Thomas-Element} \\
%
W_h & \colonequals
\Big\{ v \in C(\Omega) \; : \; \text{$v|_T$ ist Polynom vom Grad höchstens $k$} \Big\}
\end{align*}
\section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
......
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