Detailverbesserungen bei den RT- und Nédélec-Elementen

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -6355,7 +6355,6 @@ folgenden kurzen Hilfssatz.
   \end{align*}
 \end{lemma}
 %
-\renewcommand*\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}}
 \begin{proof}
   Sei $f=\bF(\hat{f})$ eine Seite von  $K$.
   Dann gilt
@@ -6363,18 +6362,18 @@ folgenden kurzen Hilfssatz.
     N_{f,i}(\bu) &= \int_{f} \bu\cdot\bn q_{f,i} \,d\bs\\
                  &= \int_{f} \frac{1}{\det\bB}  \bB\hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\bn q_{f,i}\,d\bs\\
                  &= \int_{f} \frac{1}{\det\bB}  \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\bB^T\bn q_{f,i}\,d\bs\\
-                 &= \int_{f} \frac{\norm{\hat{f}}}{\norm{f}}  \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\hat{\bn} q_{f,i}\diff \bs\\
-                 &= \int_{f} \frac{1}{\det\bB}\hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\hat{\bn} \hat{q}_{\hat{f},i}(\bF^{-1}(\bx))\diff \bs\\
-                 &= \int_{\hat{f}} \hat{\bu} \cdot\hat{\bn} \hat{q}_{\hat{f},i}\diff \bs\\
+                 &= \int_{f} \frac{\norm{\hat{f}}}{\norm{f}}  \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\hat{\bn} q_{f,i}\,d\bs\\
+                 &= \int_{f} \frac{1}{\det\bB}\hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx)) \cdot\hat{\bn} \hat{q}_{\hat{f},i}(\bF^{-1}(\bx))\,d\bs\\
+                 &= \int_{\hat{f}} \hat{\bu} \cdot\hat{\bn} \hat{q}_{\hat{f},i}\,d\bs\\
                  &= N_{\hat{f},i}(\hat{\bu}).
   \end{align*}
   Für die Freiheitsgrade auf $K$ gilt
   \begin{align*}
-    N_{K,i}(\bu) &= \int_{K} \bu\cdot\bq_{K,i}\diff \bx\\
-                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB}  \bB\hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\bq_{K,i}\diff \bx\\
-                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB} \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\bB^T\bq_{K,i}\diff \bx\\
-                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB} \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\hat{\bq}_{\hat{K},i}(\bF^{-1}(\bx))\diff \bx\\
-                 &= \int_{\hat{K}} \hat{\bu}\cdot\hat{\bq}_{\hat{K},i}\diff \bx.\qedhere
+    N_{K,i}(\bu) &= \int_{K} \bu\cdot\bq_{K,i}\,d\bx\\
+                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB}  \bB\hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\bq_{K,i}\,d\bx\\
+                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB} \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\bB^T\bq_{K,i}\,d\bx\\
+                 &= \int_{K} \frac{1}{\det\bB} \hat{\bu}(\bF^{-1}(\bx))\cdot\hat{\bq}_{\hat{K},i}(\bF^{-1}(\bx))\,d\bx\\
+                 &= \int_{\hat{K}} \hat{\bu}\cdot\hat{\bq}_{\hat{K},i}\,d\bx.\qedhere
   \end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -6399,7 +6398,7 @@ Betrachte die Menge
 \begin{equation*}
   \bm{\Sigma}^\Omega \colonequals \set{\bv\in \bL^2\ |\ \bv|_{K}\in\bH(\div,K)\ \forall K\in \T_{h} }.
 \end{equation*}
-\begin{lemma}\label{chFEcontinuity}
+\begin{lemma}\label{lem:Hdiv_continuity}
   Sei $\bv\in \bm{\Sigma}^\Omega$.
   Dann gilt $\bv\in \bH(\div)$ genau dann, wenn die Normalenkomponente von $\bv$ stetig an allen Seiten $f\in \F_{h}$ ist.
 \end{lemma}
@@ -6424,11 +6423,11 @@ Anschaulich gesprochen \glqq fließt \grqq genau soviel durch eine Seite $f$ in
   (also für alle $q \in C^\infty(\Omega)$ mit in $\Omega$ kompaktem Träger)
   \begin{align*}
     0
-    &=\int_{\Omega}  \div(\bv)q\diff\bx + \int_{\Omega}  \bv\cdot \gradv q\diff\bx\\
-    &= \int_{K_{1}}  \div(\bv)|_{K_{1}}q  +  \bv|_{K_{1}}\cdot \gradv q\diff\bx\\
-    &{}\quad +  \int_{K_{2}}  \div(\bv)|_{K_{2}}q  +  \bv|_{K_{2}}\cdot \gradv q\diff\bx\\
-    &= \int_{\d K_{1}}  \bv|_{K_{1}}\cdot\bn q\diff\bs + \int_{\d K_{2}}  \bv|_{K_{2}}\cdot\bn q\diff\bs \\
-    &= \underbrace{\int_{\d \Omega}  \bv\cdot\bn q\diff\bs}_{=0,\ q\in C_{c}^\infty(\Omega)} + \int_{\d K_{1}\cap\d K_{2}}  (\bv|_{K_{1}}-\bv|_{K_{2}})\cdot\bn_{1} q\diff\bs .
+    &=\int_{\Omega}  \div(\bv)q\,d\bx + \int_{\Omega}  \bv\cdot \gradv q\,d\bx\\
+    &= \int_{K_{1}}  \div(\bv)|_{K_{1}}q  +  \bv|_{K_{1}}\cdot \gradv q\,d\bx\\
+    &{}\quad +  \int_{K_{2}}  \div(\bv)|_{K_{2}}q  +  \bv|_{K_{2}}\cdot \gradv q\,d\bx\\
+    &= \int_{\d K_{1}}  \bv|_{K_{1}}\cdot\bn q\,d\bs + \int_{\d K_{2}}  \bv|_{K_{2}}\cdot\bn q\,d\bs \\
+    &= \underbrace{\int_{\d \Omega}  \bv\cdot\bn q\,d\bs}_{=0,\ q\in C_{c}^\infty(\Omega)} + \int_{\d K_{1}\cap\d K_{2}}  (\bv|_{K_{1}}-\bv|_{K_{2}})\cdot\bn_{1} q\,d\bs .
   \end{align*}
   Hier bezeichnet $\bn_{1}$ die äußere Normale bezüglich $K_{1}$.
   Daraus folgt, dass die Normalenkomponente von $\bv$ stetig an der Seite $\d K_{1}\cap \d K_{2}$ ist.
@@ -6441,17 +6440,17 @@ Anschaulich gesprochen \glqq fließt \grqq genau soviel durch eine Seite $f$ in
 
   Aus der Definition der schwachen Divergenz folgt, dass für $\bv|_{K_{i}}$ eine Funktion $\til v_{i}\in  L^2(K_{i})$ existiert, sodass für alle $q\in C_{c}^\infty(K_{i})$
   \begin{equation*}
-    \int_{K_{i}} \til v_{i} q \diff \bx= - \int_{K_{i}} \bv \cdot \gradv q \diff \bx
+    \int_{K_{i}} \til v_{i} q \,d\bx= - \int_{K_{i}} \bv \cdot \gradv q \,d\bx
   \end{equation*}
   gilt.
   Dann folgt für alle $q\in C_{c}^{\infty}(\Omega)$
   \begin{align*}
-    \int_{\Omega}  \bv\cdot \gradv q\diff\bx &= \int_{K_{1}} \bv|_{K_{1}}\cdot \gradv q\diff\bx + \int_{K_{2}} \bv|_{K_{2}}\cdot \gradv q\diff\bx\\
-                                             &= \int_{K_{1}} \til v_{1}q\diff\bx + \int_{K_{2}} \til v_{2} q\diff\bx + \int_{\d K_{1}\cap \d K_{2}} \underbrace{(\bv|_{K_{1}}-\bv|_{K_{2}})\cdot\bn}_{=0} q \diff \bs.
+    \int_{\Omega}  \bv\cdot \gradv q\,d\bx &= \int_{K_{1}} \bv|_{K_{1}}\cdot \gradv q\,d\bx + \int_{K_{2}} \bv|_{K_{2}}\cdot \gradv q\,d\bx\\
+                                             &= \int_{K_{1}} \til v_{1}q\,d\bx + \int_{K_{2}} \til v_{2} q\,d\bx + \int_{\d K_{1}\cap \d K_{2}} \underbrace{(\bv|_{K_{1}}-\bv|_{K_{2}})\cdot\bn}_{=0} q \,d \bs.
   \end{align*}
   Definiere nun $\til v$ durch $\til v|_{K_{1}}= \til v_{1}$ und $\til v|_{K_{2}}=\til v_{2}$. Dann gilt
   \begin{equation*}
-    \int_{\Omega} \til v q \diff \bx= - \int_{\Omega} \bv \cdot \gradv q \diff \bx
+    \int_{\Omega} \til v q \,d \bx= - \int_{\Omega} \bv \cdot \gradv q \,d \bx
   \end{equation*}
   für alle $q\in C_{c}^\infty(\Omega)$ und die Behauptung ist gezeigt.
 \end{proof}
@@ -6459,7 +6458,7 @@ Anschaulich gesprochen \glqq fließt \grqq genau soviel durch eine Seite $f$ in
 \begin{remark}\label{rtcontinuousFlow}
   Für die äußeren Normale $\bn_{1},\bn_{2}$ an $f=\d K_{1}\cap\d K_{2}$ gilt $\bn_{1}=-\bn_{2}$.
   Wähle o.B.d.A. die Normale $\bn\colonequals\bn_{1}$ an $f$.
-  Damit wird die Bedingung aus Lemma \ref{chFEcontinuity} zu
+  Damit wird die Bedingung aus Lemma~\ref{chFEcontinuity} zu
   \begin{equation*}
     (\bv|_{K_{1}}\cdot \bn)|_{f} = (\bv|_{K_{2}}\cdot \bn)|_{f}.
   \end{equation*}
@@ -6598,7 +6597,7 @@ enthält keine Terme höchster Ordnung.}
   Mit der Formel~\eqref{eq:integration_by_parts_curl} für die partielle
   Integration gilt
   \begin{equation*}
-    \int_{K} \bq \cdot\curlv\bu  \diff \bx =  \underbrace{\int_{K} \curlv\bq \cdot\bu}_{\text{Typ III}}\diff \bx  + \underbrace{\int_{\d K}(\bu\times\bn)\cdot\bq}_{\text{Typ II}} \diff \bs \quad \forall \bq\in (\bbP_{k-1})^3.
+    \int_{K} \bq \cdot\curlv\bu  \,d \bx =  \underbrace{\int_{K} \curlv\bq \cdot\bu}_{\text{Typ III}}\,d \bx  + \underbrace{\int_{\d K}(\bu\times\bn)\cdot\bq}_{\text{Typ II}} \,d \bs \quad \forall \bq\in (\bbP_{k-1})^3.
   \end{equation*}
   Manche Testfunktionen $\bq$ lassen sich aber als $\bq = \nabla q$
   mit $q \in \bbP_k$ darstellen.
@@ -6610,16 +6609,16 @@ enthält keine Terme höchster Ordnung.}
   Um diese Fälle abzudecken, werden  Aussagen über die linke Seite hinzugezogen.
   Dafür nutzen wir den Satz von Stokes für eine Seite $f$
   \begin{equation*}
-  \int_{f} \curlv\bu\cdot\bn \diff \bs= \int_{\d f}\bu\cdot\bt\diff \bs.
+  \int_{f} \curlv\bu\cdot\bn \,d \bs= \int_{\d f}\bu\cdot\bt\,d \bs.
   \end{equation*}
 
   Es gilt dann
   \begin{align*}
-    \int_{K}\gradv q\cdot\curlv\bu  + q\underbrace{\div(\curlv \bu)}_{=0} \diff \bx &= \int_{K} \div(q\curlv\bu ) \diff \bx\\
-                                                          &= \int_{\d K} q\curlv\bu\cdot\bn \diff \bs \\
-                                                          &= \sum_{f\in \d K}\int_{f} q\curlv\bu\cdot\bn \diff \bs\\
-                                                          &= \sum_{f\in \d K}\int_{f} \curlv(q\bu)\cdot\bn - (\gradv q\times\bu)\cdot\bn \diff \bs\\
-                                                          &= \sum_{f\in \d K} \underbrace{\int_{\d f} q\bu\cdot \bt}_{\text{Typ I}} \diff \bs- \underbrace{\int_{f} (\bu\times\bn)\cdot\gradv q}_{\text{Typ II}}\diff \bs
+    \int_{K}\gradv q\cdot\curlv\bu  + q\underbrace{\div(\curlv \bu)}_{=0} \,d \bx &= \int_{K} \div(q\curlv\bu ) \,d \bx\\
+                                                          &= \int_{\d K} q\curlv\bu\cdot\bn \,d \bs \\
+                                                          &= \sum_{f\in \d K}\int_{f} q\curlv\bu\cdot\bn \,d \bs\\
+                                                          &= \sum_{f\in \d K}\int_{f} \curlv(q\bu)\cdot\bn - (\gradv q\times\bu)\cdot\bn \,d \bs\\
+                                                          &= \sum_{f\in \d K} \underbrace{\int_{\d f} q\bu\cdot \bt}_{\text{Typ I}} \,d \bs- \underbrace{\int_{f} (\bu\times\bn)\cdot\gradv q}_{\text{Typ II}}\,d \bs
   \end{align*}
   Mit den Freiheitsgraden des Nédélec Elements wird also der curl von Funktionen $\bu$
   getestet.
@@ -6681,7 +6680,7 @@ Betrachte die Menge
 \begin{equation*}
   \bm{\Xi}^\Omega \colonequals \set[\Big]{\bv\in \bL^2\ |\ \bv|_{K}\in\bH(\curl,K)\ \forall K\in \T_{h} }.
 \end{equation*}
-\begin{lemma}\label{chFEcontinuity}
+\begin{lemma}\label{lem:Hcurl_continuity}
   Sei $\bv\in \bm{\Xi}^\Omega$.
   Dann gilt $\bv\in \bH(\curl)$ genau dann, wenn die \emph{Tangential}komponente
   $\bv \times \bn$ von $\bv$ stetig an allen Seiten $f\in \F_{h}$ ist.