Fehlerkorrekturen beim Jacobi-Verfahren als Teilraumkorrekturverfahren

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -2717,7 +2717,7 @@ Als Beispiel betrachten wir den Fall
 \end{equation*}
 Dann ist $A$ eine $N \times N$-Matrix, und
 \begin{equation*}
- a(v,w) = v^T A w
+ a(v,w) = (Av,w) = w^T A v
  \qquad
  \forall v,w \in \R^N.
 \end{equation*}
@@ -2742,7 +2742,7 @@ Nach Definition löst $P_iv \in X_i \subset \R^N$ die Gleichung
 \end{equation*}
 bzw.
 \begin{equation*}
- (P_iv)^T Aw = v^TAw
+ w^T A P_iv = w^TAv
  \qquad
  \forall w \in X_i.
 \end{equation*}
@@ -2750,11 +2750,15 @@ bzw.
 Da jedes $w \in X_i$ die Form $(0,\dots,0,\underbrace{\alpha}_{i},0,\dots,0)^T$ hat
 ist die Gleichung äquivalent zu
 \begin{equation*}
- \sum_{j,l} (P_iv)_j A_{jl}w_l
+ \sum_{j,l} w_j A_{jl} (P_iv)_l
  =
- \sum_j (P_iv)_j A_{ji}
+ \sum_j A_{ij} (P_iv)_j
  =
- v_j A_{ji}.
+ \sum_j A_{ij} v_j
+ =
+ (Av)_i
+ =
+ R_iAv.
 \end{equation*}
 Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist
 \begin{equation*}
@@ -2762,9 +2766,7 @@ Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist
  =
  (0,\dots,0,A_{ii}^{-1}v_i,0,\dots,0)^T
  =
- R_i^T A_{ii}^{-1} v_i
- =
- R_i^T A_{ii}^{-1} R_i v.
+ R_i^T A_{ii}^{-1} R_i Av.
 \end{equation*}
 
 Ein Korrekturschritt mit nur einem Teilraum ist also