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Fehlerkorrekturen beim Jacobi-Verfahren als Teilraumkorrekturverfahren

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...@@ -2717,7 +2717,7 @@ Als Beispiel betrachten wir den Fall ...@@ -2717,7 +2717,7 @@ Als Beispiel betrachten wir den Fall
\end{equation*} \end{equation*}
Dann ist $A$ eine $N \times N$-Matrix, und Dann ist $A$ eine $N \times N$-Matrix, und
\begin{equation*} \begin{equation*}
a(v,w) = v^T A w a(v,w) = (Av,w) = w^T A v
\qquad \qquad
\forall v,w \in \R^N. \forall v,w \in \R^N.
\end{equation*} \end{equation*}
...@@ -2742,7 +2742,7 @@ Nach Definition löst $P_iv \in X_i \subset \R^N$ die Gleichung ...@@ -2742,7 +2742,7 @@ Nach Definition löst $P_iv \in X_i \subset \R^N$ die Gleichung
\end{equation*} \end{equation*}
bzw. bzw.
\begin{equation*} \begin{equation*}
(P_iv)^T Aw = v^TAw w^T A P_iv = w^TAv
\qquad \qquad
\forall w \in X_i. \forall w \in X_i.
\end{equation*} \end{equation*}
...@@ -2750,11 +2750,15 @@ bzw. ...@@ -2750,11 +2750,15 @@ bzw.
Da jedes $w \in X_i$ die Form $(0,\dots,0,\underbrace{\alpha}_{i},0,\dots,0)^T$ hat Da jedes $w \in X_i$ die Form $(0,\dots,0,\underbrace{\alpha}_{i},0,\dots,0)^T$ hat
ist die Gleichung äquivalent zu ist die Gleichung äquivalent zu
\begin{equation*} \begin{equation*}
\sum_{j,l} (P_iv)_j A_{jl}w_l \sum_{j,l} w_j A_{jl} (P_iv)_l
= =
\sum_j (P_iv)_j A_{ji} \sum_j A_{ij} (P_iv)_j
= =
v_j A_{ji}. \sum_j A_{ij} v_j
=
(Av)_i
=
R_iAv.
\end{equation*} \end{equation*}
Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
...@@ -2762,9 +2766,7 @@ Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist ...@@ -2762,9 +2766,7 @@ Da wir aber $P_iv$ ebenfalls in $X_i$ suchen ist
= =
(0,\dots,0,A_{ii}^{-1}v_i,0,\dots,0)^T (0,\dots,0,A_{ii}^{-1}v_i,0,\dots,0)^T
= =
R_i^T A_{ii}^{-1} v_i R_i^T A_{ii}^{-1} R_i Av.
=
R_i^T A_{ii}^{-1} R_i v.
\end{equation*} \end{equation*}
Ein Korrekturschritt mit nur einem Teilraum ist also Ein Korrekturschritt mit nur einem Teilraum ist also
......
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