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Zerlegungen für Nédélec- und Raviart-Thomas-Räume

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......@@ -770,7 +770,7 @@ Allerdings wird das Verfahren für kleine $\eta$ auch immer langsamer.
Ein paar direkte Charakterisierungen für den Fall $\eta = 1$ findet man z.B.\ bei \citet{dahmen_reusken:2008}.
Wir greifen die Konvergenztheorie des Jacobi-Verfahrens in Kapitel~\ref{sec:jacobi_smoother}
Wir greifen die Konvergenztheorie des Jacobi-Verfahrens in Kapitel~\ref{sec:jacobi_smoother_fourier_analysis}
wieder auf.
\subsubsection{Konvergenzgeschwindigkeit}
......@@ -1141,7 +1141,7 @@ In Wirklichkeit ist es etwas anders:
\missingfigure{Sechs Bilder mit den Fehlern für die obigen Iterierten!}
\subsection{Fourier-Analyse}
\label{sec:jacobi_smoother}
\label{sec:jacobi_smoother_fourier_analysis}
Den Glättungseffekt von Gauß--Seidel- und Jacobi-Verfahren kann man besser verstehen,
wenn man sich wieder die Eigenwerte und Eigenfunktionen von $A$ und $I - CA$ anschaut.
......@@ -4570,6 +4570,7 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
\subsection{Glätter: Die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz}
\label{sec:abstract_schwarz_smoothers}
Im vorigen Abschnitt haben wir bewiesen dass das Mehrgitterverfahren konvergiert,
wenn der Glätter bestimmte Eigenschaften hat.
......@@ -5041,6 +5042,8 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass die multiplikative Methode positiv definit ist.
Da $x$ und die Zerlegung von $v$ beliebig waren, folgt Bedingung~\eqref{eq:scondition2}.
\end{proof}
\todo[inline]{Hier muss noch gezeigt werden dass die Konstanten tatsächlich
$h$-unabhängig sind!}
......@@ -5796,6 +5799,7 @@ Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
unabhängig von $\mu$ und $\kappa$ sind.
\subsection{Die Helmholtz-Zerlegung}
\label{sec:helmholtz_decomposition}
Für die Poisson-Gleichung spielen die konstanten Funktionen eine
besondere Rolle, denn sie sind der Kern von $\nabla$.
......@@ -7960,15 +7964,15 @@ In Formeln
\begin{equation*}
\bd_h \vec \omega(F)
=
\sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial F} \vec \omega(f)
\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{2}{f \in \mathcal{S}_l}{f \in \partial F}} \vec \omega(f)
\end{equation*}
für eine $(l+1)$-Seite $F$, bzw.
\begin{equation*}
\sum_{F_\in \mathcal{S}} \bd_h \vec \omega(F)
=
\sum_{F_\in \mathcal{S}} \sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial F} \vec \omega(f)
\sum_{F_\in \mathcal{S}} \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{2}{f \in \mathcal{S}_l}{f \in \partial F}} \vec \omega(f)
=
\sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial \mathcal{S}} \vec \omega(f)
\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{2}{f \in \mathcal{S}_l}{f \in \partial \mathcal{S}}} \vec \omega(f)
\end{equation*}
für eine Menge $\mathcal{S}$ von $(l+1)$-Seiten.
......@@ -8313,6 +8317,75 @@ Ein paar Details finden sich bei~\citet{hiptmair:2002}, Kapitel~3.4.
\chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
Wir wollen jetzt robuste Mehrgitterverfahren für Probleme in $H(\div)$ und $H(\curl)$ konstruieren.
\medskip
Die Probleme werden beschrieben durch die Linearformen
\begin{align*}
a^d(\bu,\bv)
& \colonequals
\rho^2 (\bu,\bv) + \kappa^2(\div \bu, \div \bv) \\
a^c(\bu,\bv)
& \colonequals
\rho^2 (\bu,\bv) + \kappa^2(\curl \bu, \curl \bv).
\end{align*}
(Achtung: Die Konstanten $\kappa$ und $\rho$ haben hier nicht mehr die Bedeutung
aus dem Elektromagnetismus.)
\medskip
Mit \glqq robust\grqq{} meinen wir dass die Konvergenzraten nicht nur von $h$, sondern auch
von $\rho$ und $\kappa$ unabhängig sein sollen.
\smallskip
Wir interessieren uns für alle Werte $0 < \rho,\kappa < \infty$.
\medskip
Die zu den Bilinearformen gehörigen Differentialoperatoren sind
\begin{align*}
A^d & \colonequals \rho^2 I - \kappa^2 \gradv \div \\
A^c & \colonequals \rho^2 I - \kappa^2 \curlv \curlv.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item Dummerweise funktioniert das Mehrgitterverfahren so wie wir es bisher gemacht haben
nicht für Probleme in $H(\div)$ und $H(\curl)$.
\item Das Problem sind die Glätter.
\item Es gibt nämlich einen entscheidenden Unterschied zwischen den Operatoren $A^d$ und $A^c$
einerseits, und $H^1$-elliptischen Operatoren wie $I - \kappa^2 \Delta$ andererseits:
\item Die Eigenfunktionen von $\rho^2 I - \kappa^2 \Delta$ für niedrige Eigenwerte gehören
immer zu Funktionen, die man auf einem groben Gitter gut darstellen kann
(siehe die Begründung in Kapitel~\ref{sec:jacobi_smoother_fourier_analysis}).
\item Das ist bei $A^d$, $A^c$ nicht so: Insbesondere sind alle divergenzfreien
Funktionen Eigenfunktionen von $A^d$ zum Eigenwert $\rho^2$;
diese können hochoszillativ sein.
Ein \glqq normaler\grqq{} Glätter entfernt aber genau die Anteil des Fehlers
mit hohen Eigenwerten.
\item Gleichzeitig verhält sich $A^d$ insgesamt nicht wie die Identität:
Für $\bu$ mit $\bu = \nabla \varphi$ gilt bekanntlich
\begin{equation*}
(\rho^2 I - \kappa^2 \gradv \div) \bu = (\rho^2 I - \kappa^2\bm{\Delta})\bu
\end{equation*}
(siehe Kapitel~\ref{sec:helmholtz_decomposition}).
\end{itemize}
Wir vermuten deshalb dass die Helmholtz-Zerlegung eine zentrale Rolle spielen wird.
\medskip
Da alle für uns relevanten Eigenschaften von $a^d(\cdot,\cdot)$ und $a^c(\cdot,\cdot)$
skalierungsinvariant sind können wir o.\,B.\,d.\,A.\ annehmen dass $\rho = 1$.
\section{Wiederholung: Konvergenztheorie des Mehrgitterverfahrens}
Wir wiederholen kurz die wesentlichen Teile von Kapitel~\ref{chaMGconvergence}.
......@@ -8324,7 +8397,7 @@ $a(\cdot,\cdot)$ und $(\cdot,\cdot)$.
\smallskip
Die Problemstellung ist: Gegeben ein $f \in X$, finde ein $x \in X$ so dass
Die Problemstellung ist: Für gegebenes $f \in X$ finde ein $x \in X$ so dass
\begin{equation*}
a(x,y) = (f,y)
\end{equation*}
......@@ -8335,7 +8408,7 @@ für alle $y \in X$.
Sei $X_{1} \subset X_{2} \subset \dots \subset X_{J} = X $ eine Folge von geschachtelten
Teilräumen.
\bigskip
\medskip
Die $a(\cdot,\cdot)$-Projektion $P_{j} : X \to X_{j}$ und die
$(\cdot,\cdot)$-Projektion $Q_{j} : X \to X_{j}$ sind durch
......@@ -8360,7 +8433,7 @@ Der Operator $A_j$ ist für alle $j\in \set{1,\dots ,J }$ positiv definit und se
\medskip
Wir definieren das Mehrgitterfahren als
Wir betrachten das Mehrgitterfahren als
einen linearen Operator $\Theta_J : X \to X$, der zu einem linearen Verfahren
\begin{equation*}
x^{k+1} = x^k + \Theta_J (f - Ax^k)
......@@ -8371,7 +8444,7 @@ gehört.
Die Definition des abstrakten Mehrgitter-Operators $\Theta_{J}$ erfolgt rekursiv:
\begin{itemize}
\item $\Theta_1 \colonequals A_{1}^{-1}$.
\item Für $j=1,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
\item Für $j=2,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
\begin{algorithm}[H]\label{MGVerfahrenAlg}
\DontPrintSemicolon
......@@ -8394,7 +8467,7 @@ Dieses Verfahren ist der \emph{Glätter} des Mehrgitter-Verfahrens.
\medskip
Wir denken dabei z.B.\ an das Jacobi-Verfahren ($R_j = \eta D_j^{-1}$),
Wir denken dabei z.B.\ an das Jacobi-Verfahren,
oder an das symmetrische Gauß--Seidel-Verfahren.
\bigskip
......@@ -8402,7 +8475,7 @@ oder an das symmetrische Gauß--Seidel-Verfahren.
Konvergenz des Mehrgitterverfahrens folgt,
wenn der Glätter bestimmte Eigenschaften erfüllt.
\begin{theorem}\label{thm:absMGconvergence}
\begin{theorem}\label{thm:absMGconvergence_revisited}
Sei für jedes $j=1,\dots ,J$ der Glätter $R_{j}$ symmetrisch bzgl.\ $(\cdot,\cdot)$,
positiv definit und so, dass er die Bedingungen
\begin{equation*}
......@@ -8438,15 +8511,19 @@ folgt die Konvergenz des Mehrgitterverfahrens:
Das Verfahren konvergiert \emph{gitterunabhängig}, wenn wir einen Glätter $R_j$
so konstruieren können dass $\alpha$ nicht von der Problemgröße abhängt.
\smallskip
\subsection{Glätter: Die additive und die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz}
Zusätzlich wollen wir jetzt auch noch Unabhängigkeit von $\kappa$.
\subsection{Glätter}
Die additive und die symmetrische, multiplikative Methode
von Schwarz erfüllen die Bedingungen aus Satz~\ref{thm:absMGconvergence}.
\smallskip
Ob $\alpha$ tatsächlich $h$-unabhängig ist hängt von der weiteren
Ob $\alpha$ tatsächlich $h$- und $\kappa$-unabhängig ist hängt von der weiteren
Zerlegung der Räume $X_j$ ab.
\medskip
......@@ -8462,20 +8539,24 @@ Dann kann ein beliebiges $x\in X_{j}$ durch
x = \sum_{i=1}^{n_j} x_i
\end{equation*}
mit $x_i\in X_{j}^i$, beschrieben werden.
Diese Zerlegung hängt von den Räumen $X_{j}^i$ ab und ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
Diese Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
Wir nutzen die Operatoren $A_{j},P_{j},Q_{j}$ für die Teilräume $X_j^i$
und bezeichnen sie mit $A_{j,i},P_{j}^i$ und $Q_{j}^i$.
\smallskip
Im Hinterkopf haben wir dabei wieder Zerlegungen gemäß der Knotenbasis,
aber für die $H(\curl)$- und $H(\div)$-Finite-Elemente-Räume lernen wir
gleich Neue kennen.
gleich Alternativen kennen.
\bigskip
Die Güte der Zerlegungen $\{X_j^i\}$ macht sich an zwei Konstanten fest.
\smallskip
Die erste Eigenschaft wird manchmal als \emph{Stabilität} der Zerlegung bezeichnet.
\begin{definition}
\label{def:ssmcondition1_revisited}
Es existiert $\gamma>0$, so dass
\begin{equation}\label{eq:ssmcondition1_revisited}
\inf_{\substack{x= \sum_{i=1}^{n_j} x^i\\x^i\in X_{j}^i }} \sum_{i=1}^{n_j} a(x^i,x^i)
......@@ -8485,7 +8566,10 @@ Die Güte der Zerlegungen $\{X_j^i\}$ macht sich an zwei Konstanten fest.
\end{equation}
\end{definition}
Die zweite Bedingung verlangt dass die Teilräume möglichst senkrecht zueinander stehen.
\begin{definition}
\label{def:ssmcondition2_revisited}
Es existiert $\beta >0$, so dass für beliebige $x,y\in X_j$ mit $x=\sum_{i=1}^{n_j} x^i$
und $y=\sum_{l=1}^{n_j} y^l$
\begin{equation}\label{eq:ssmcondition2_revisited}
......@@ -8495,115 +8579,250 @@ Die Güte der Zerlegungen $\{X_j^i\}$ macht sich an zwei Konstanten fest.
\end{equation}
gilt.
\end{definition}
Hierdurch wird verlangt dass
die Teilräume \glqq möglichst senkrecht\grqq{} zueinander stehen.
Die Glätter aus Kapitel~\ref{sec:abstract_schwarz_smoothers} erfüllen
die Bedingungen des Mehrgitter-Konvergenzsatzes~\ref{thm:absMGconvergence_revisited}
mit Konstanten $\alpha$, die jeweils von $\gamma$ und $\beta$ abhängen.
\begin{theorem}\label{konvergenceAdditiveSmoother}
Seien die Bedingungen \eqref{eq:ssmcondition1_revisited}
und \eqref{eq:ssmcondition2_revisited} erfüllt und sei die Skalierungskonstante $\eta <\frac{1}{\beta}$.
Dann erfüllt die additive Methode von Schwarz $\Radd_j = \eta R_{j}$ die Bedingungen von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha = \frac{\gamma}{\eta}$.
und \eqref{eq:ssmcondition2_revisited} erfüllt.
\begin{itemize}
\item Sei die Skalierungskonstante $\eta <\frac{1}{\beta}$.
Dann erfüllt die additive Methode von Schwarz $\Radd_j = \eta R_{j}$ die Bedingungen
von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha = \frac{\gamma}{\eta}$.
\item Die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz $R_{j}^\textup{mult}$ erfüllt die Bedingungen
von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha = \beta^2\gamma$.
\end{itemize}
\end{theorem}
Das Ziel ist jetzt also, Zerlegungen zu konstruieren, für die $\gamma$ und $\beta$
unabhängig von $h$ und $\kappa$ sind.
\begin{theorem}
Seien die Bedingungen \eqref{eq:ssmcondition1_revisited},
\eqref{eq:ssmcondition2_revisited} erfüllt.
Dann erfüllt die symmetrische, multiplikative Methode von Schwarz $R_{j}^\textup{mult}$ die Bedingungen
von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha = \beta^2\gamma$.
\end{theorem}
\section{Zerlegungen der Finiten-Elemente Räume für $H^1$, $H(\curlv)$, $H(\div)$ und $L^2$}
\label{sectionDecompFESpaces}
Wir konstruieren jetzt Zerlegungen der Räume $W_h$, $\bQ_h$, $\bV_h$, $S_h$
und zeigen, dass diese die gewünschten Bedingungen erfüllen.
\medskip
Sei $\Omega \subset \R^3$ ein Gebiet mit stückweise affinem Rand, und
sei $\T_{h}$ eine Triangulierung von $\Omega$.
\medskip
\section{Zerlegungen der Finiten-Elemente Räume für \textit{\textbf{H}}$(\curlv)$, \textit{\textbf{H}}$(\div)$ und \textit{\textbf{L}}$^2$ }\label{sectionDecompFESpaces}
Sei $\Omega \subset \R^3$ ein beschränktes konvexes Polyeder.
Sei $\T_{h}$ eine Triangulierung von $\Omega$ bestehend aus abgeschlossenen Simplizes.
Wir bezeichen die Menge der Ecke, Kanten und Flächen von $\T_{h}$ mit $\V_{h}$, $\E_{h}$ und $\F_{h}$.
Definiere für $\nu \in \V_{h}\cup \E_{h} \cup \F_{h} \cup \T_{h}$ die Mengen
\begin{align*}
\T_{h}^{\nu} &\colonequals \left\{ T \in \T_{h} | \nu \subset T\right\} \\
\T_{h}^{\nu} &\colonequals \{ T \in \T_{h} \; : \; \nu \subset T\} \\
\Omega_{h}^{\nu} &\colonequals \operatorname{int}\left( \bigcup \T^\nu_{h} \right)
\end{align*}
\missingfigure{decomposition\_omega}
%\input{tikz/decomposition_omega}
und die Funktionenräume
\begin{align}\label{defVnu}
X_{h}^{\nu} &\colonequals \left\{ x \in X_{h} | \operatorname{supp} x \subset \bar{\Omega}_{h}^{\nu} \right\}
X_h^\nu
&\colonequals
\big\{ x \in X_h \; : \; \operatorname{supp} x \subset \overline{\Omega}_h^\nu \big\}
\end{align}
für $X_{h} \in \left\{\bQ_{h}, \bV_{h},S_{h} \right\}$.
für $X_{h} \in \{W_h, \bQ_{h}, \bV_{h},S_{h} \}$.
\medskip
Die Gebiete $\Omega_h^\nu$ sind
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\def \xone{0};
\def \yone{0};
\def \h{3};
% \T^v_{h}
\coordinate (A) at (\xone,\yone);
\coordinate (B) at ($ (A) + (1.5*\h,0.5*\h) $);
\coordinate (C) at ($ (A) + (1*\h,\h) $);
\coordinate (D) at ($ (A) + (-0.3*\h,0.8*\h) $);
\coordinate (E) at ($ (A) + (-0.5*\h,-0.5*\h) $);
\coordinate (F) at ($ (A) + (0.2*\h,-0.6*\h) $);
%draw
%\filldraw[red!20] (B) -- (C) --(D) -- (E) -- (F) --cycle;
\filldraw (A) circle (2pt);
\filldraw (A) node[below right] {$\nu$};
\draw (B) -- (C) --(D) -- (E) -- (F) --cycle;
\foreach \i in {B,C,D,E,F}{
\draw (A) -- (\i);
}
%\fill[black,font=\footnotesize] (A) node[above right] {$u \equiv -1$};
%\draw[-to] (A) ++(1.3,0.8) -- ++(-0.5,-0.3);
% \T^e_{h}
\coordinate (A) at ($(A) + (2*\h+1,-0.5*\h)$);
\coordinate (B) at ($ (A) + (1.5*\h,0.5*\h) $);
\coordinate (C) at ($ (A) + (1*\h,\h) $);
\coordinate (D) at ($ (A) + (-0.3*\h,0.8*\h) $);
%draw
%\filldraw[red!20] (A) -- (B) -- (C) --(D) --cycle;
%\filldraw (A) circle (2pt);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
\draw[thick] (A) -- (C);
\filldraw ($(A)!0.5!(C)$) node[below right] {$\nu$};
%\fill[black,font=\footnotesize] (A) node[above right] {$u \equiv -1$};
%\draw[-to] (A) ++(1.3,0.8) -- ++(-0.5,-0.3);
% \T^t_{h}
\coordinate (A) at ($(A) + (1.5*\h+1,0)$);
\coordinate (B) at ($ (A) + (1.5*\h,0.5*\h) $);
\coordinate (C) at ($ (A) + (1*\h,\h) $);
%draw
\draw[black!20] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle;
\coordinate (MAB) at ($(A)!0.6!(B)$);
\coordinate (MAC) at ($(A)!0.6!(C)$);
\filldraw ($(MAB)!0.5!(MAC)$) node {$\nu$};
%\fill[black,font=\footnotesize] (A) node[above right] {$u \equiv -1$};
%\draw[-to] (A) ++(1.3,0.8) -- ++(-0.5,-0.3);
\end{tikzpicture}
$\nu$ ist Knoten \qquad\qquad\qquad $\nu$ ist Kante \qquad\qquad\qquad $\nu$ ist Element
\end{center}
\begin{theorem}\label{chExSeqZerlegung}
Es existieren die Zerlegungen:
\begin{align}
\bQ_{h} &= \sum\limits_{v \in\V_{h} } \bQ_{h}^v = \sum\limits_{e \in\E_{h} } \bQ_{h}^e \label{decompQh}\\
\bV_{h} &= \sum\limits_{v \in\V_{h} } \bV_{h}^v = \sum\limits_{e \in\E_{h} } \bV_{h}^e = \sum\limits_{f \in\F_{h} } \bV_{h}^f \label{decompVh}\\
S_{h} &= \sum\limits_{v \in\V_{h} } S_{h}^v = \sum\limits_{e \in\E_{h} } S_{h}^e = \sum\limits_{f \in\F_{h} } S_{h}^f = \sum\limits_{T \in\T_{h} } S_{h}^T \label{decompSh}
\nonumber
W_{h} &= \sum_{v \in\V_{h} } W_{h}^v \\
\bQ_{h} &= \sum_{v \in\V_{h} } \bQ_{h}^v = \sum_{e \in\E_{h} } \bQ_{h}^e \label{decompQh}\\
\bV_{h} &= \sum_{v \in\V_{h} } \bV_{h}^v = \sum_{e \in\E_{h} } \bV_{h}^e = \sum_{f \in\F_{h} } \bV_{h}^f \label{decompVh}\\
S_{h} &= \sum_{v \in\V_{h} } S_{h}^v = \sum_{e \in\E_{h} } S_{h}^e = \sum_{f \in\F_{h} } S_{h}^f = \sum_{T \in\T_{h} } S_{h}^T \label{decompSh}
\end{align}
Für diese Zerlegungen gilt jeweils die Abschätzung:
\begin{equation*}
\sum\limits_{\nu\in \Theta_{h}} \norm{x^\nu}^2 \leq c \norm{x}^2 \quad \forall x\in X_{h}\in \left\{\bQ_{h},\bV_{h},S_{h} \right\}
\sum_{\nu\in \Theta_{h}} \norm{x^\nu}^2_{L^2} \leq c \norm{x}^2_{L^2}
\quad
\forall x\in X_{h}\in \left\{W_h, \bQ_{h},\bV_{h},S_{h} \right\}
\end{equation*}
und $\Theta_{h}\in \left\{\V_{h},\E_{h},\F_{h},\T_{h} \right\}$.
Nicht aufgelistete Zerlegungen existieren nicht.
\end{theorem}
\begin{example}
Für $\bv\in \bV_{h}$ gilt
\begin{equation*}
\bv = \sum\limits_{v\in \V_{h}} \bv^v
\end{equation*}
mit $\bv^v \in \bV_{h}^v$ und
\begin{equation*}
\sum\limits_{v \in \V_{h}} \norm{\bv^v}^2 \leq c \norm{\bv}^2.
\end{equation*}
\missingfigure{decompositionRT}
%\input{tikz/decompositionRT}
\end{example}
Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
Das sieht schon so ähnlich aus wie in Definition~\ref{def:ssmcondition1_revisited}
gefordert. Allerdings geht es dort um die Energienorm.
Die Vorstellung dazu ist:
\begin{itemize}
\item Jede Funktion aus einem der vier Funktionenräume lässt sich als Linearkombination
der kanonischen Basisfunktionen schreiben.
\item Für $S_h$ ist der Träger jeder dieser Funktionen ein einzelnes Element:
\missingfigure{Kanonische Basisfunktionen von $S_h$}
\item Für $\bV_h$ (die Raviart-Thomas Elemente) ist der Träger jeder dieser Funktionen
ein einzelnes Element, oder zwei benachbarte Elemente mit gemeinsamer Fläche:
\missingfigure{Kanonische Basisfunktionen von $\bV_h$}
\item Für $\bQ_h$ (die Nédélec Elemente) ist der Träger jeder dieser Funktionen
ein einzelnes Element, oder zwei benachbarte Elemente mit gemeinsamer Fläche,
oder alle Elemente an einer gemeinsamen Kante:
\missingfigure{Kanonische Basisfunktionen von $\bQ_h$}
(Leider lassen sich diese Funktionen für 3d-Gitter nur mit Mühe visualisieren.
Deswegen sieht man hier (das ist zumindest der Plan) nur 2d-Gitter, bei denen
aber der Unterschied zwischen Raviart-Thomas und Nédélec-Elementen nicht
so groß ist.)
\item Für $W_h$ (die Lagrange-Elemente) ist der Träger jeder dieser Funktionen
ein einzelnes Element, oder zwei benachbarte Elemente mit gemeinsamer Fläche,
oder alle Elemente an einer gemeinsamen Kante, oder alle Elemente an einem
gemeinsamen Knoten:
\missingfigure{Kanonische Basisfunktionen von $W_h$}
\end{itemize}
Damit ist insbesondere klar dass es die nicht aufgeführten Zerlegungen nicht gibt.
\bigskip
Bevor wir Satz~\ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\begin{lemma}\label{chExactSeqHelp}
Sei $r$ eine Funktion aus einem endlich dimensionalem Funktionenraum $R$.
Sei $\set{\psi_{\nu}}_{\nu}$ eine Basis von $R$ und $r=\sum_{\nu'} a_{\nu'}\psi_{\nu'}$.
Die Summe läuft über eine geeignete Indexmenge von $R$.
Dann existiert eine Konstante $c>0$, sodass
Sei $R$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Norm $\norm{\cdot}$
und einer Basis $\set{\psi_{\nu}}_{\nu}$. Dann existiert eine Konstante
$c > 0$ so dass für alle $r=\sum_{\nu'} a_{\nu'}\psi_{\nu'}$
die Ungleichung
\begin{equation}\label{exactSeqHelphelp}
\norm{a_{\nu}\psi_{\nu}} \leq c\norm{r}
\end{equation}
gilt.
für alle $\nu$ gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $0 \le \nu < \dim R$.
Wir können $a_{\nu}\neq 0$ annehmen, da sonst die Aussage trivial ist.
Die Ungleichung \eqref{exactSeqHelphelp} ist äquivalent zu
\begin{equation*}
\norm{\psi_{\nu}} \leq c \frac{\norm{r}}{\abs{a_{\nu}}} = c \norm{\sum_{\nu'} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}}}\psi_{\nu'}}.
\norm{\psi_{\nu}} \leq c \frac{\norm{r}}{\abs{a_{\nu}}}
=
c \norm[\Big]{\sum_{\nu'} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}}}\psi_{\nu'}}.
\end{equation*}
Angenommen es gäbe kein $c>0$.
Dann existiert eine Folge von Koeffizienten $(a_\nu^{i})_{{i\in \N}}$ sodass
Dann würde eine Folge von Koeffizienten $(a_\nu^{i})_{{i\in \N}}$
mit $\lim_{i \to \infty} a_\nu^{i} = a_\nu$ existieren, so dass
\begin{equation*}
\lim_{i \to \infty} \norm{ \operatorname{sign}{(a_{\nu}^i)}\psi_{\nu} + \sum_{\substack{\nu'\neq \nu}} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}^i}}\psi_{\nu'}} = 0
\lim_{i \to \infty} \norm[\Big]{\sum_{\nu'} \frac{a_{\nu'}^i}{\abs{a_{\nu}}}\psi_{\nu'}}
=
\lim_{i \to \infty} \norm[\Big]{ \operatorname{sign}{(a_{\nu}^i)}\psi_{\nu} + \sum_{\substack{\nu'\neq \nu}} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}^i}}\psi_{\nu'}}
= 0.
\end{equation*}
gilt.
Aus der Definitheit der Norm folgt dann
\begin{equation*}
\lim_{i\to\infty} \Big( \operatorname{sign}{(a_{\nu}^i)}\psi_{\nu} + \sum_{\nu'\neq \nu} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}^i}}\psi_{\nu'} \Big)=0.
\lim_{i\to\infty} \Big( \operatorname{sign}{(a_{\nu}^i)}\psi_{\nu} + \sum_{\nu'\neq \nu} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}^i}}\psi_{\nu'} \Big)
=
\operatorname{sign}{(a_{\nu}^i)}\psi_{\nu} + \sum_{\nu'\neq \nu} \frac{a_{\nu'}}{\abs{a_{\nu}^i}}\psi_{\nu'}
=
0.
\end{equation*}
Nun entsteht mit der linearen Unabhängigkeit von Basiselementen und unserer Annahme ein Widerspruch.
Das würde bedeuten dass die $\psi_\nu$ nicht linear unabhängig sind -- ein Widerspruch.
\end{proof}
\todo[inline]{Dieser Beweis überzeugt mich nicht.}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{chExSeqZerlegung}]
Wir betrachten die Räume $S_h$, $\bV_h$, $\bQ_h$, $W_h$ nacheinander.
\smallskip
Mit $\phi$ bzw. $\bphi$ bezeichnen wir eine globale Basisfunktion des jeweiligen Raumes.
\smallskip
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{chExSeqZerlegung}]
Wir betrachten die Räume nacheinander.
Mit $\phi$ bzw. $\bphi$ bezeichnen wir eine globale Basisfunktion des jeweiligen Raumes.
Die Koeffizienten bezeichnen wir mit $a\in \R$.
Mit den Subindizes $v,e,f,T$ wird verdeutlicht zu welchem geometrischen Objekt die Basisfunktion gehört.
Als Beispiel ist $a_{f}\phi_{f}$ eine um $a_{f}$ skalierte Basisfunktion, deren zugehöriger Freiheitsgrad zu der Seite $f$ gehört.
\begin{enumerate}[wide]
\item
Der Raum $S_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defFEL2} und \eqref{defFESh} nur Freiheitsgrade auf einzelnen Tetraedern aus $\T_{h}$. Die Träger der Basisfunktionen liegen in genau einem Simplex.
Für ein beliebiges $s\in S_{h}$ gilt
\item (Der Raum $S_h$ der stückweisen Polynome)
Für den Raum $S_{h}$ sind alle Freiheitsgrade
einzelnen Tetraedern aus $\T_h$ zugeordnet. Die Träger der Basisfunktionen liegen in
je genau einem Simplex.
Für ein beliebiges $s\in S_{h}$ gibt es deshalb reelle Koeffizienten $a_T$
so dass
\begin{equation*}
s = \sum_{T\in \T_{h}} a_{T}\phi_{T}.
\end{equation*}
Insbesondere ist dies schon eine gewünschte Zerlegung, da $\phi_{T}\in S^T_{h}$.
Da $\phi_{T}\in S^T_{h}$ ist dies schon eine gewünschte Zerlegung.
\medskip
Für die drei anderen Zerlegungen aus \eqref{decompSh} nutzen wir, dass ein Tetraeder aus 4 Seiten, 6 Kanten und 4 Ecken gebildet wird.
Zum Beispiel durchläuft die Summe bei der Seitenzerlegung die 4 Seiten jedes Tetraeders $T$ genau einmal.
Damit ist $T$ in genau den vier $\T_{h}^f$ enthalten, für die $f\in \d T$ gilt.
......@@ -8616,7 +8835,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\end{align*}
Die zugehörigen Abschätzungen folgen sofort mit $\nu \in \V_{h}\cup\E_{h}\cup\F_{h}$
\begin{equation*}
\norm{s^\nu} = \norm{\sum_{T\in \T^\nu_{h}} \frac{1}{c^\nu}a_{T}\phi_{T}} \leq \norm{s}_{L^2(\T^\nu_{h})}
\norm{s^\nu} = \norm[\Big]{\sum_{T\in \T^\nu_{h}} \frac{1}{c^\nu}a_{T}\phi_{T}} \leq \norm{s}_{L^2(\T^\nu_{h})}
\end{equation*}
und $c^v=c^f=4$ bzw. $c^e=6$.
Dann resultiert für jede Menge $\Theta_{h}\in \set{\V_{h},\E_{h},\F_{h},\T_{h}}$
......@@ -8625,20 +8844,22 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\end{equation*}
\item Der Raum der Raviart-Thomas Funktionen $\bV_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defRT} Freiheitsgrade, die auf Tetraedern und Seiten definiert sind.
Es gilt für $\bv\in \bV_{h}$
\item (Der Raum $\bV_h$ der Raviart-Thomas Funktionen)
Der Raum $\bV_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defRT} Freiheitsgrade, die auf Tetraedern und Seiten definiert sind.
Jedes $\bv\in \bV_{h}$ kann also dargestellt werden als
\begin{equation*}
\bv = \sum_{T\in \T_{h}} a_{T}\bphi_{T} + \sum_{f\in \F_{h}} a_{f}\bphi_{f}.
\end{equation*}
Mit $\operatorname{supp}\bphi_{f}=\Omega^f_{h}$ für eine Seite $f$ folgt im Allgemeinen $\bphi_{f} \not \in \bV_{h}^T$.
\missingfigure{!!!}
%\input{tikz/facetteDecompRT}
Daher kann es keine Zerlegung über die Simplizes des Gitters geben.
Für die drei Zerlegungen aus \eqref{decompVh} nutzen wir die obige Idee mit dem Zusatz, dass eine Seite drei Kanten und drei Ecken besitzt.
Für die drei Zerlegungen aus \eqref{decompVh} nutzen wir die selbe Idee
wie für den Raum $S_h$.
Zusätzlich definieren wir für eine Kante $e$ und eine Ecke $v$ die Mengen
\begin{align*}
\F^e_{h}&\colonequals\set{f\in \F_{h}| e\subset f}\\
\F^v_{h}&\colonequals\set{f\in \F_{h}| v\subset f}.
\F^e_{h}&\colonequals\set{f\in \F_{h} \; : \; e\subset f}\\
\F^v_{h}&\colonequals\set{f\in \F_{h} \; : \; v\subset f}.
\end{align*}
Damit folgen die Zerlegungen
\begin{align*}
......@@ -8677,8 +8898,12 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage: