Separater Konvergenzbeweis für glatte Probleme

Der Beweis für nichtglatte Probleme ist zu technisch.

skript-mehrgitter-sander.bib

@@ -193,3 +193,12 @@ year = {2013}
  number = {3},
  pages = {177--190}
 }
+
+@InProceedings{lions:1987,
+ author = {Pierre-Louis Lions},
+ title = {On the {S}chwarz alternating method},
+ booktitle = {Proceedings of the First International Symposium of Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations},
+ pages = {1–-42},
+ year = {1987},
+ editor = {Roland Glowinski and Gene Golub and G. Meurant and J. Periaux},
+}

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -9665,7 +9665,7 @@ Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gi
 
 \chapter{Nichtlineare Gleichungen}
 
-Mehrgitterverfahren funktionieren auch für manche nichtlinearen Probleme, aber die Theorie
+Mehrgitterverfahren funktionieren auch für manche nichtlineare Probleme, aber die Theorie
 dahinter ist viel weniger gut verstanden.
 
 \medskip
@@ -9686,15 +9686,21 @@ ist konzeptionell interessanter.  Wir beschäftigen uns hier deshalb nur mit Ans
 
 Die grundlegende Idee der Mehrgitterverfahren ändert sich für nichtlineare Probleme nicht:
 \begin{itemize}
- \item Ein einfaches nichtlineares Verfahren entfernt die hochfrequenten Anteile
+ \item Ein einfaches iteratives Verfahren (\glqq Glätter\grqq{}) entfernt die hochfrequenten Anteile
   des Fehlers.
  \item Die niederfrequenten Anteile können auf einem gröberen Gitter behandelt werden.
 \end{itemize}
 
+\bigskip
+
 Wie sehen nichtlineare Glätter aus?
 
 \medskip
 
+Sei $X$ wieder ein endlichdimensionaler Hilbertraum.
+
+\smallskip
+
 Bisher haben wir Probleme der folgenden Art betrachtet: Finde ein $x \in X$
 so dass
 \begin{equation*}
@@ -9716,32 +9722,36 @@ Im Folgenden betrachten wir wieder Probleme der Bauart
 aber $a(\cdot,\cdot)$ darf jetzt nichtlinear \emph{im ersten Argument} sein.
 
 \begin{example}
- Die $p$-Laplace-Gleichung ist
+ Die $p$-Laplace-Gleichung ist (mit einem $p>1$)
  \begin{equation*}
   - \div (\abs{\nabla u}^{p-2} \nabla u) = 0.
  \end{equation*}
  Testen mit einer Funktion $\varphi$ ergibt
  \begin{equation*}
-  \int_\Omega \abs{\nabla u}^{p-2} \langle \nabla u, \nabla \varphi \rangle = \text{Randterme}.
+  a(u,\varphi)
+  \colonequals
+  \int_\Omega \abs{\nabla u}^{p-2} \langle \nabla u, \nabla \varphi \rangle \,dx + \text{Randterme}
+  = 0.
  \end{equation*}
- Die ist ein Problem der Art~\eqref{eq:generic_nonlinear_problem}, und die Form $a(u,\varphi)$ ist linear in $\varphi$.
+ Dies ist ein Problem der Art~\eqref{eq:generic_nonlinear_problem}, und die Form $a(\cdot,\cdot)$ ist linear im zweiten Argument.
 \end{example}
 
+\bigskip
+
 Wir konstruieren jetzt Schwarz-Verfahren für das nichtlineare Problem~\eqref{eq:generic_nonlinear_problem}.
-Sei dafür wieder $\{X_i\}_{i=1}^n$ eine Zerlegung von $X$ in Teilräume, nicht
+Sei dafür $\{X_i\}_{i=1}^n$ eine Zerlegung von $X$ in Teilräume, nicht
 notwendigerweise direkt.
 
 \medskip
 
 Schwarz-Verfahren für lineare Gleichungen bestanden daraus, dass wir die Defektgleichung
-\todo{Prüfen!}
 \begin{equation}
 \label{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung}
  a(c,w) = (f,w) - a(u^k,w)
  \qquad
- \forall w \in \X_i
+ \forall w \in X_i
 \end{equation}
-in einem Teilraum $X_i$ gelöst haben, und das Ergebnis $c \in X_i$ als Korrektur benutzt haben:
+in einem Teilraum $X_i$ gelöst, und das Ergebnis $c \in X_i$ als Korrektur benutzt haben:
 \begin{equation*}
  u^{k+1} = u^k + c.
 \end{equation*}
@@ -9761,23 +9771,58 @@ Ansonsten kann man aber die Schwarz-Verfahren auch für nichtlineare Probleme du
  \item Die Teilprobleme~\eqref{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung} löst man dann
   z.B.\ mit einem Newton-Löser.
 
- \item Wobei natürlich im allgemeinen Fall völlig unklar ist ob es überhaupt eine
-  Lösung gibt.  Oder vielleicht gleich mehrere.
+ \item Wobei natürlich im allgemeinen Fall völlig unklar ist ob~\eqref{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung}
+  überhaupt eine Lösung hat.  Oder vielleicht gleich mehrere.
 \end{itemize}
 
+\subsection{Multiplikative Schwarz-Verfahren für stark konvexe Minimierungsprobleme}
+
 Wir  würden jetzt gerne wissen unter welchen Bedingungen solche Schwarz-Verfahren
 konvergieren, und ob sie immer noch Glättungseigenschaften haben.
 
 \medskip
 
 Rigorose Ergebnisse gibt es allerdings nur in wenigen Spezialfällen.
-Das Folgende stammt aus einem Artikel von \citet{carstensen:1997}.
+Das Folgende stammt aus einem Artikel von \citet{lions:1987}, die Notation
+ist aber von \citet{carstensen:1997}.
 
 \medskip
 
-In gewissem Sinne handelt es sich um die einfachsten nichtlinearen Probleme.
+Manche partielle Differentialgleichungen lassen sich als Minimierungsprobleme
+auf einem Funktionenraum schreiben.
 
-\todo[inline]{Erklären dass manche Probleme Minimierungsprobleme sind.}
+\begin{example}
+\label{ex:pde_minimization_problems}
+ Lösungen der Laplace-Gleichung $- \Delta u = 0$ minimieren die sogenannte
+ \emph{Dirichlet-Energie}
+ \begin{equation*}
+  \mathcal{J} : H^1(\Omega) \to \R
+  \qquad
+  \mathcal{J}(u) \colonequals \frac{1}{2} \int_\Omega \norm{\nabla u}^2\,dx.
+ \end{equation*}
+ Allgemeiner minimieren Lösungen der $p$-Laplace-Gleichung die Energie
+ \begin{equation*}
+  \mathcal{J}^p : W^{1,p}(\Omega) \to \R
+  \qquad
+  \mathcal{J}^p(u) \colonequals \frac{1}{p} \int_\Omega \norm{\nabla u}^p\,dx.
+ \end{equation*}
+
+\end{example}
+
+\begin{exercise}
+ Zeigen Sie dass die Fréchet-Ableitung von $\mathcal{J}^p$ an der Stelle $u$
+ gerade
+ \begin{equation*}
+  D\mathcal{J}^p(u)(\cdot)
+  =
+  \int_\Omega \norm{\nabla u}^{p-2} \langle \nabla u, \nabla \cdot\rangle\,dx
+ \end{equation*}
+ ist.
+\end{exercise}
+Manche solcher Funktionale, z.B.\ die aus Beispiel~\ref{ex:pde_minimization_problems}
+sind konvex. In gewissem Sinne sind das die einfachsten nichtlinearen Probleme.
+
+\bigskip
 
 Sei $\phi : X \to \R$ ein Fréchet-differenzierbares Funktional mit
 uniform-elliptischer und Lipschitz-stetiger Fréchet-Ableitung $D\phi$.
@@ -9791,6 +9836,8 @@ für alle $u,v \in X$
  \norm{D\phi(u)(\cdot) - D\phi(v)(\cdot)}_{X^*} & \le L \norm{u-v}_X.
 \end{align*}
 
+Gesucht ist jetzt der eindeutige Minimierer von $\phi$ in $X$.
+
 \begin{exercise}
  Zeigen Sie: Aus der ersten Bedingung folgt dass $\phi$ \emph{stark konvex} ist,
  dass also
@@ -9803,12 +9850,222 @@ für alle $u,v \in X$
  \todo[inline]{Bin nicht sicher ob $\alpha$ oder $\frac{\alpha}{2}$ richtig ist.}
 \end{exercise}
 
-Gesucht ist jetzt der eindeutige Minimierer von $\phi$ über $X$.
 
 \bigskip
 
-Das eben beschriebene Szenario beinhaltet schon ein paar interessante Probleme,
-aber wir betrachten dennoch einen etwas allgemeineren Fall.
+Wir betrachten das folgende multiplikative Schwarz-Verfahren.
+
+\begin{itemize}
+ \item Sei $u_n \in X$ die aktuelle Iterierte.
+
+ \item Für alle $j=1,\dots, N$ berechne
+  \begin{equation*}
+   u_{n + \frac{j}{N}} = \argmin_{v \in u_{n+\frac{j-1}{N}} + X_j} \phi(v).
+  \end{equation*}
+\end{itemize}
+
+Eine Iteration des Schwarz-Verfahrens ist also eine Folge von Minimierungsproblemen
+in den Räumen $X_1,\dots,X_N$.
+
+\begin{exercise}
+ Zeige: Wenn $\phi$ quadratisch ist, also
+ \begin{equation*}
+  \phi(v) = \frac{1}{2} a(v,v) - (f,v)
+ \end{equation*}
+ mit einer symmetrischen, elliptischen Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$,
+ dann erhält man genau das multiplikative Schwarz-Verfahren aus Kapitel~\ref{}.
+\end{exercise}
+
+Da $\phi$ stark konvex und koerzitiv ist hat jedes der lokalen Minimierungsprobleme
+eine eindeutige Lösung.  Der Algorithmus ist also durchführbar.
+
+\begin{exercise}
+ Zeigen Sie dass $\phi$ koerzitiv ist, dass also $\phi(v) \to \infty$ für $v \to \infty$.
+\end{exercise}
+
+Für den Konvergenzsatz brauchen wir noch Projektionsoperatoren $P_j : X \to X_j$
+so dass
+\begin{equation*}
+ P_1 + \cdots + P_N = \operatorname{Id}.
+\end{equation*}
+Weiterhin brauchen wir eine Stabilitätsbedingung:  Es soll eine Konstante $C_X > 0$
+geben, so dass für alle Teilmengen $\Lambda \subseteq \{1,\dots,N\}$ und alle $x \in X$
+\begin{equation*}
+ \norm[\Big]{\sum_{j \in \Lambda} P_j x }_X
+ \le
+ C_X \norm{x}_X.
+\end{equation*}
+Das ist ähnlich wie die Stabilitätsbedingung aus dem vorigen Kapitel,
+aber nicht ganz das gleiche.
+
+
+
+\begin{theorem}[\citet{lions:1987}, \citet{carstensen:1997}]
+ Sei $u$ der Minimierer von $J$ in $X$, und sei $(u_\nu)$ die durch das Schwarz-Verfahren
+ erzeugte Folge mit Startwert $u_0$.  Setze
+ \begin{align*}
+  \gamma & \colonequals \frac{N C_X^2 L^2 }{2\alpha^2} \\
+  q & \colonequals \frac{\gamma}{1+\gamma} \\
+  C_0    & \colonequals \frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (\phi(u_0) - \phi(u)).
+ \end{align*}
+ Dann gilt
+ \begin{equation*}
+  \norm{u - u_\nu}_X^2 \le C_0 q^\nu.
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+ Sei $\nu = n + \frac{j}{N} \ge 1$.
+
+ \begin{itemize}
+  \item Nach Konstruktion ist $u_\nu$ der Minimierer von $\phi$ in $X_j$.
+
+  \item Weil $\phi$ Fréchet-differenzierbar ist gilt
+  \begin{equation}
+   \label{eq:derivative_is_zero}
+   D\phi(u_\nu)(\eta) = 0
+   \qquad
+   \forall \eta \in X_j.
+  \end{equation}
+
+  \item Zusammen mit der Elliptizität von $D\phi$ können wir den Abstand
+   zwischen aufeinanderfolgenden Iterierten durch Funktionswerte abschätzen
+  \begin{align}
+   \nonumber
+   \alpha \norm{u_\nu - u_{\nu - \frac{1}{N}}}^2
+   & \le
+   \phi(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - \phi(u_\nu) + D\phi(u_\nu)(u_\nu - u_{\nu - \frac{1}{N}}) \\
+   \label{eq:values_bound_square_smooth}
+   & =
+   \phi(u_{\nu - \frac{1}{N}}) - \phi(u_\nu).
+  \end{align}
+
+ \end{itemize}
+
+Jetzt zerlegen wir den Fehler in Teilräume
+\begin{equation*}
+ u_\nu - u = \sum_{k = j - N+1}^j P_k(u_\nu - u).
+\end{equation*}
+Dabei sind die Indizes mod $N$ zu verstehen.
+
+\medskip
+
+Für ein $k \in \{ j - N+1, \dots, j\}$ rechnen wir
+\begin{align*}
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^k P_m(u_\nu - u)\Big)
+ & =
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
+    + \underbrace{D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})(P_k(u_\nu - u))}_{\text{$=0$, wegen~\eqref{eq:derivative_is_zero}}} \\
+    & \text{(wegen Linearität von $D\phi$ im zweiten Argument)} \\
+ & =
+ D\phi(u_{n+\frac{k}{N}})\Big(\sum_{m = j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
+\end{align*}
+
+Indem wir diese Abschätzung nacheinander für $k=j, j-1, \dots, j-N+1$
+anwenden bekommen wir
+\begin{multline*}
+ D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
+ \le
+ \sum_{k=j-N+1}^j \Big(D\phi(u_{n+\frac{k}{N}}) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})\Big)
+ \Big(\sum_{m=j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)\Big)
+\end{multline*}
+Das schätzen wir weiter ab, und erhalten
+\begin{align}
+ \nonumber
+ D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
+ & \le
+ \sum_{k=j-N+1}^j \norm[\bigg]{D\phi(u_{n+\frac{k}{N}}) - D\phi(u_{n+\frac{k-1}{N}})}_{X^*}
+ \norm[\bigg]{\sum_{m=j-N+1}^{k-1} P_m(u_\nu - u)}_X \\
+ \nonumber
+ & \le
+ L\sum_{k=j-N+1}^j \norm{u_{n+\frac{k}{N}} - u_{n+\frac{k-1}{N}}}_X
+ \qquad (\text{Lipschitz-Stetigkeit von $D\phi$}) \\
+ \label{eq:bound_on_Dphi_smooth}
+ & \qquad \cdot C_X \norm{u_\nu - u}_X
+ \qquad (\text{Stabilität der Zerlegung $\{X_i\}$})
+\end{align}
+
+Wegen~\eqref{eq:values_bound_square_smooth} ist
+\begin{equation*}
+ \norm{u_{n + \frac{k}{N}} - u_{n + \frac{k-1}{N}}}^2
+ \le
+ \frac{1}{\alpha} \Big( \phi(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - \phi(u_{n + \frac{k}{N}})\Big),
+\end{equation*}
+und deshalb
+\begin{equation*}
+ D\phi(u_\nu)(u_\nu - u)
+ \le
+ C_X L \norm{u_\nu - u}_X \frac{1}{\sqrt{\alpha}}
+ \sum_{k=j-N+1}^j \Big( \phi(u_{n + \frac{k-1}{N}}) - \phi(u_{n + \frac{k}{N}}) \Big)^\frac{1}{2}.
+\end{equation*}
+Schreibe zur Abkürzung
+\begin{equation*}
+ \delta_\mu \colonequals \phi(u_\mu) - \phi(u)
+ \qquad \text{und} \qquad
+ \epsilon_\mu \colonequals \norm{u-u_\mu}_X.
+\end{equation*}
+
+Aus der Elliptizität von $D\phi$ erhält man
+\begin{equation*}
+ \alpha \norm{u_\nu - u}_X^2 + \phi(u_\nu) - \phi(u)
+ \le
+ D\phi(u_\nu)(u_\nu - u),
+\end{equation*}
+und mit der Kurzschrift
+\begin{align*}
+ \alpha \epsilon_\nu^2 + \delta_\nu
+ & \le
+ D\phi(u_\nu)(u_\nu - u) \\
+ & \le
+ C_X L \alpha^{-1/2} \epsilon_\nu \cdot
+   \sum_{k = j - N+1}^j (\delta_{n + \frac{k-1}{N}} - \delta_{n+\frac{k}{N}})^{1/2} \\
+ & \le
+ C_X L \alpha^{-1/2} \epsilon_\nu \cdot
+   \sum_{\mu = \nu -1 + \frac{1}{N}}^j (\delta_{\mu - \frac{1}{N}} - \delta_\mu)^{1/2} \\
+ %
+ & \le
+ \gamma (\delta_{\nu-1} - \delta_\nu) + \frac{1}{2} \alpha \epsilon_\nu^2.
+\end{align*}
+\todo[inline]{Indexverschiebung im vorletzten Schritt prüfen!}
+Daraus wiederum folgt
+\begin{equation*}
+ \frac{\alpha}{2(1+\gamma)} \cdot \epsilon^2_\nu + \delta_\nu
+ \le
+ q \cdot \delta_{\nu-1}.
+\end{equation*}
+Daraus folgt zum einen
+\begin{equation*}
+ \delta_\nu
+ \le
+ q \cdot \delta_{\nu-1} - \frac{\alpha}{2(1+\gamma)} \epsilon_\nu^2
+ \le
+ q \cdot \delta_{\nu-1}
+ \le
+ \delta_0 \cdot q^{\nu},
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Carstensen schreibt hier $q^{[\nu]}$ sagt nicht
+  was er damit genau meint...}
+und zum anderen die Behauptung
+\begin{align*}
+ \norm{u - u_\nu}_X^2 = \epsilon_\nu^2
+ & \le
+ \frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (q \delta_{\nu-1} - \delta_\nu) \\
+ & \le
+ ??? \\
+ & \le
+ \underbrace{\frac{2(1+\gamma)}{\alpha} (\phi(u_0) - \phi(u))}_{=C_0} \cdot q^{\nu}\\
+ & =
+ C_0 \cdot q^{\nu}.
+ \qedhere
+\end{align*}
+
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Erweiterung auf nichtdifferenzierbare Funktionale}
+
+Wir betrachten jetzt noch einen etwas allgemeineren Fall.
+Dieser wurde von \citeauthor{carstensen:1997} in~\cite{carstensen:1997} untersucht.
 
 \medskip
 
@@ -9836,38 +10093,21 @@ Außerdem brauchen wir dass für alle $x_j \in X_j$ und $y_j \in \sum_{k=1,k\neq
 \label{eq:nonsmooth_independence}
  \psi(x_j + P_j y_j) = \psi(x_j).
 \end{equation}
-\todo[inline]{Definieren $P_j$!}
 \todo[inline]{Diese Bedingung besser erklären!}
 
-\bigskip
-
-Wir betrachten das folgende multiplikative Schwarz-Verfahren.
-
-\begin{itemize}
- \item Sei $u_j \in X$ die aktuelle Iterierte.
-
- \item Für alle $j=1,\dots, N$
-  \begin{equation*}
-   u_{n + \frac{j}{N}} = \argmin_{v \in u_{n+\frac{j-1}{N}} + X_j} J(v).
-  \end{equation*}
-\end{itemize}
-
-\begin{exercise}
- Zeige: Wenn $J$ quadratisch ist, also
+\begin{example}
+ Ein Beispiel für so ein Funktional ist
  \begin{equation*}
-  J(v) = \frac{1}{2} a(v,v) - (f,v)
+  X = \R^N,
+  \qquad
+  X_i = \{ v \in \R^N \; : \; v_j = 0 \text{falls $i \neq j$} \},
+  \qquad
+  \psi(v) = \sum_{i=1}^N \abs{v_i}.
  \end{equation*}
- mit einer symmetrischen, elliptischen Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$,
- dann erhält man genau das multiplikative Schwarz-Verfahren aus Kapitel~\ref{}.
-\end{exercise}
-
-Da $J$ strikt konvex und koerzitiv ist hat jedes der lokalen Minimierungsprobleme
-eine eindeutige Lösung.  Der Algorithmus ist also durchführbar.
 
-\begin{exercise}
- Zeigen Sie dass $J$ koerzitiv ist.
-\end{exercise}
+\end{example}
 
+Man erhält genau das gleiche Konvergenzresultat wie im glatten Fall.
 
 \begin{theorem}
  Sei $u$ der Minimierer von $J$ in $X$, und sei $(u_\nu)$ die durch das Schwarz-Verfahren