Commit 87916e7a authored by Sander, Oliver's avatar Sander, Oliver
Browse files

Fourier-Analyse des Jacobi-Glätters

parent 93a36c2d
......@@ -1068,6 +1068,108 @@ In Wirklichkeit ist es etwas anders:
\subsection{Fourier-Analyse}
\label{sec:jacobi_smoother}
Wir untersuchen jetzt genauer, wie das Jacobi-Verfahren den Fehler glättet.
(Das Gauß--Seidel-Verfahren glättet besser, aber es ist auch schwieriger
zu untersuchen. Wir lassen es hier aus.)
Zur Erinnerung: Das gedämpfte Jacobi-Verfahren ist
\begin{equation*}
x^{k+1}
=
(I - \omega D^{-1}A)x^k + D^{-1}b.
\end{equation*}
Wir betrachten wieder das Modellproblem. Dort ist
\begin{equation*}
A_ii = \frac{4}{h^2}
\qquad
\text{für alle $i=1,\dots,n$},
\end{equation*}
und somit
\begin{equation*}
x^{k+1} = (I- \omega \frac{h^2}{4} A) x^k + \frac{h^2}{4}b.
\end{equation*}
Um das Glättungsverhalten des Jacobi-Verfahrens zu verstehen berechnen wir
die Eigenfunktionen der Iterationsmatrix $I - \omega \frac{h^2}{4}A$.
Die Eigenfunktionen von $I - \omega \frac{h^2}{4}A$ sind offensichtlich
die selben wie die von $A$, und zwar
\begin{equation*}
\varphi_h^{i,j}
=
\sin i\pi x \cdot \sin j \pi y.
\end{equation*}
Die Eigenwerte von $A$ sind
\todo[inline]{Fehlen noch}
Die Eigenwerte von $I - \omega \frac{h^2}{4}A$ sind
\begin{equation*}
\chi_h^{i,j}
=
1 - \frac{\omega}{2} ( 2 - \cos i \pi h - \cos j \pi h)
\end{equation*}
\bigskip
Die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens wird bekanntlich durch den
Spektralradius von $I-CA$ bestimmt, und der ist hier für alle $0 < \omega \le 1$
\begin{equation*}
\rho (I-CA)
=
\abs{\chi_h^{1,1}}
=
\abs{1 - \omega(1-\cos \pi h)}
=
1 - O(\omega h^2).
\end{equation*}
Falls $\omega \le 0$ oder $\omega >1$ gilt
\begin{equation*}
\rho(I-CA) > 1
\end{equation*}
(falls $h$ klein genug).
\bigskip
Jetzt schreiben wir die Fehlerfortpflanzung
\begin{equation*}
e^{k+1} = x^{k+1} - x^*
=
(I - \omega \frac{h^2}{4}A)(x^k - x^*)
\end{equation*}
in der Eigenvektorbasis
\begin{align*}
e^k
& =
\sum_{i,j = 1}^n \alpha_{i,j}^k \cdot \varphi_h^{i,j} \\
%
e^{k+1}
& =
(I - \omega \frac{h^2}{4}A) e^k
=
\sum_{i,j = 1}^n \chi_h^{i,j} \alpha_{i,j}^k \cdot \varphi_h^{i,j}.
\end{align*}
Die Eigenfunktionen sind \glqq hochfrequent\grqq{} für große $i$, $j$,
und \glqq niederfrequent\grqq{} für kleine $i$, $j$.
\medskip
Gleichzeitig sind die Eigenwerte für große $i$, $j$ klein, und für kleine $i$, $j$, groß.
\missingfigure{Eigenwerte als Funktion von $i$ und $j$.}
Deshalb verschwinden die hochfrequenten Anteile des Fehlers schnell,
obwohl der Fehler insgesamt nur sehr langsam verschwindet.
\subsection{Zweigitterverfahren}
Die zweite wichtige Einsicht ist:
......
Supports Markdown
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment