Fourier-Analyse des Jacobi-Glätters

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -1068,6 +1068,108 @@ In Wirklichkeit ist es etwas anders:
 \subsection{Fourier-Analyse}
 \label{sec:jacobi_smoother}
 
+Wir untersuchen jetzt genauer, wie das Jacobi-Verfahren den Fehler glättet.
+
+(Das Gauß--Seidel-Verfahren glättet besser, aber es ist auch schwieriger
+zu untersuchen.  Wir lassen es hier aus.)
+
+Zur Erinnerung: Das gedämpfte Jacobi-Verfahren ist
+\begin{equation*}
+ x^{k+1}
+ =
+ (I - \omega D^{-1}A)x^k + D^{-1}b.
+\end{equation*}
+
+Wir betrachten wieder das Modellproblem.  Dort ist
+\begin{equation*}
+ A_ii = \frac{4}{h^2}
+ \qquad
+ \text{für alle $i=1,\dots,n$},
+\end{equation*}
+und somit
+\begin{equation*}
+ x^{k+1} = (I- \omega \frac{h^2}{4} A) x^k + \frac{h^2}{4}b.
+\end{equation*}
+
+Um das Glättungsverhalten des Jacobi-Verfahrens zu verstehen berechnen wir
+die Eigenfunktionen der Iterationsmatrix $I - \omega \frac{h^2}{4}A$.
+
+Die Eigenfunktionen von $I - \omega \frac{h^2}{4}A$ sind offensichtlich
+die selben wie die von $A$, und zwar
+\begin{equation*}
+ \varphi_h^{i,j}
+ =
+ \sin i\pi x \cdot \sin j \pi y.
+\end{equation*}
+Die Eigenwerte von $A$ sind
+\todo[inline]{Fehlen noch}
+Die Eigenwerte von $I - \omega \frac{h^2}{4}A$ sind
+\begin{equation*}
+ \chi_h^{i,j}
+ =
+ 1 - \frac{\omega}{2} ( 2 - \cos i \pi h - \cos j \pi h)
+\end{equation*}
+
+\bigskip
+
+Die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens wird bekanntlich durch den
+Spektralradius von $I-CA$ bestimmt, und der ist hier für alle $0 < \omega \le 1$
+\begin{equation*}
+ \rho (I-CA)
+ =
+ \abs{\chi_h^{1,1}}
+ =
+ \abs{1 - \omega(1-\cos \pi h)}
+ =
+ 1 - O(\omega h^2).
+\end{equation*}
+Falls $\omega \le 0$ oder $\omega >1$ gilt
+\begin{equation*}
+ \rho(I-CA) > 1
+\end{equation*}
+(falls $h$ klein genug).
+
+\bigskip
+
+Jetzt schreiben wir die Fehlerfortpflanzung
+\begin{equation*}
+ e^{k+1} = x^{k+1} - x^*
+ =
+ (I - \omega \frac{h^2}{4}A)(x^k - x^*)
+\end{equation*}
+in der Eigenvektorbasis
+\begin{align*}
+ e^k
+ & =
+ \sum_{i,j = 1}^n \alpha_{i,j}^k \cdot \varphi_h^{i,j} \\
+ %
+ e^{k+1}
+ & =
+ (I - \omega \frac{h^2}{4}A) e^k
+ =
+ \sum_{i,j = 1}^n \chi_h^{i,j} \alpha_{i,j}^k \cdot \varphi_h^{i,j}.
+\end{align*}
+
+Die Eigenfunktionen sind \glqq hochfrequent\grqq{} für große $i$, $j$,
+und \glqq niederfrequent\grqq{} für kleine $i$, $j$.
+
+\medskip
+
+Gleichzeitig sind die Eigenwerte für große $i$, $j$ klein, und für kleine $i$, $j$, groß.
+\missingfigure{Eigenwerte als Funktion von $i$ und $j$.}
+
+Deshalb verschwinden die hochfrequenten Anteile des Fehlers schnell,
+obwohl der Fehler insgesamt nur sehr langsam verschwindet.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 \subsection{Zweigitterverfahren}
 
 Die zweite wichtige Einsicht ist: