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Entferne Text zu den Nedelec- und RT-Interpolationsoperatoren

Zu viele Details für eine Mehrgittervorlesung.
parent af552f26
......@@ -9661,272 +9661,8 @@ Nédélec-Element benötigt.
\end{proof}
Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
\subsection{Der Interpolationsoperator des Raviart-Thomas Elements}\label{rtinterpolestimates}
Um beliebige Funktionen aus $\bH(\div,K)$ durch Funktionen aus $\bm{\Sigma}_{k}^K$ zu approximieren, definieren wir den lokalen Interpolationsoperator $\bPi^K:\bH(\div,K)\to \bm{\Sigma}_{k}^K$ durch
\begin{equation}\label{defrtinterpol}
\bPi^K(\bu) \colonequals \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}N_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}N_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i}.
\end{equation}
Die Funktionen $\bphi_{K,i}$ bzw. $\bphi_{f,i}$ sind die Formfunktionen zum Freiheitsgrad $N_{K,i}$ bzw. $N_{f,i}$.\\
Aus der Definition des Operators folgt für Funktionen $\bu \in \bm{\Sigma}_{k}^K$ mit $\bu = \sum_{i} a_{K,i}\bphi_{K,i} + \sum_{f} \sum_{i} a_{f,i}\bphi_{f,i}$ sofort
\begin{equation}\label{rtinterpol}
\bPi^K(\bu) = \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}a_{K,i}N_{K,i}(\bphi_{K,i})\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}a_{f,i}N_{f,i}(\bphi_{f,i})\bphi_{f,i} =\bu.
\end{equation}
\begin{lemma}\label{rtInterpolInva}
Seien $K$, $\hat{K},\bF$ und $\bB$ wie aus Definition \ref{rtPiola}.
Sei $\bu\in \bm{\Sigma}_{k}^K$ die Piolatransformierte von $\hat{\bu}\in \bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$.
Dann gilt $\bPi^K\bu$ ist die Piolatransformierte von $\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}$.
Es gilt also
\begin{equation*}
(\bPi^K\bu)(\bx) = \frac{1}{\det \bB}\bB (\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Seien $\bphi_{f,i}$ bzw. $ \bphi_{K,i}\in \bm{\Sigma}_{k}^K$ die Piolatransformierten von den Formfunktionen $\hat{\bphi}_{f,i} $ bzw. $\hat{\bphi}_{K,i} \in \bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$.
Mit Lemma \ref{piolInvariantRTdofs} folgt
\begin{align*}
(\bPi^K\bu)(\bx) &= \sum_{N_{i}\in N^K_{k,K}}N_{i}(\bu)\bphi_{K,i}(\bx) + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{i}\in N^K_{k,f}}N_{i}(\bu)\bphi_{f,i}(\bx)\\
&= \sum_{N_{i}\in N^{\hat{K}}_{k,\hat{K}}}N_{i}(\hat{\bu})\left(\frac{1}{\det \bB}\bB\hat{\bphi}_{\hat{K},i}(\bF^{-1}(\bx)) \right)\\
&{}\quad+ \sum_{f\in \d \hat{K}} \sum_{N_{i}\in N^{\hat{K}}_{k,f}}N_{i}(\hat{\bu})\left(\frac{1}{\det \bB}\bB\hat{\bphi}_{f,i}(\bF^{-1}(\bx)) \right)\\
&= \frac{1}{\det \bB}\bB (\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
\end{align*}
\end{proof}
Dieses Lemma erlaubt es, den Interpolationsoperator nur auf dem Referenzelement $\hat{K}$ zu definieren.
Um Funktionen $\bu\in \bH(\div,K)$ auf beliebigen Tetraedern $K$ zu interpolieren, nutzen wir die Piolatransformation auf das Referenzelement.
Dort wenden wir den Interpolationsoperator an und transformieren diese Approximation zurück auf den Tetraeder $K$.
Das folgende Lemma gliedert sich nicht richtig in den Lesefluss ein, enthält aber eine wichtige Eigenschaft, die wir in Kapitel \ref{exactSeq} benutzen.
\begin{lemma}\label{rtPiProjection}
Für $\bu\in \bH(\div)$ gilt
\begin{equation*}
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p)_{L^2(K)} =0 \quad \forall p\in \bbP_{k}.
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{align*}
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \underbrace{\gradv p}_{\in (\bbP_{k-1})^3}\,d \bx - \int_{\d K}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn p\,d s.
\end{align*}
Insbesondere gibt es eine Linearkombinationen der $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ sodass
\begin{align*}
\gradv p &= \sum_{i} a_{i}\bq_{K,i} \\
p|_{f} &= \sum_{i} a_{f,i}q_{f,i}
\end{align*}
gilt.
Damit folgt nun mit \eqref{rtinterpol}
\begin{align*}
(\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \sum_{i}a_{i}\int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \bq_{K,i}\,d \bx - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\int_{f}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn q_{f,i}\,d s\\
&= \sum_{i}a_{i}N^K_{i}(\bu-\bPi^K \bu) - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}N^K_{f,i}(\bu-\bPi^K\bu)\\
&= \sum_{i}a_{i}\Big[N^K_{i}(\bu)- \underbrace{N^K_{i}(\bPi^K \bu)}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{i}(\bu)}\Big] - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\Big[ N^K_{f,i}(\bu)- \underbrace{N^K_{f,i}(\bPi^K\bu))}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{f,i}(\bu)}\Big]\\
&=0. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Das Lemma besagt, dass der Interpolationsoperator $\bPi^K$ die Divergenz von Funktionen bis zum Grad $k$ erhält.\\
Nun definieren wir den globalen Interpolationsoperator $\bPi^V_{h}:\bHd\to\bV_{h}$ durch
\begin{equation*}
\bPi^V_h(\bu)|_{K} = \bPi^K(\bu|_{K}).
\end{equation*}
Um Abschätzungen über die Approximationseigenschaft von $\bPi^V_{h}$ zu zeigen, benötigen wir die Ungleichungen
\begin{align}\label{chFErtInterKtohatK}
\norm{\bu-\bPi^K\bu}^2_{\bL^2(K)}&=\int_{K} (\bu-\bPi^K\bu)^2\,d\bx \nonumber \\
&= \frac{1}{\det\bB}\int_{\hat{K}} \left(\bB\hat{\bu}(\hat{\bx})-\bB\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}(\hat{\bx}) \right)^2\,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq \frac{1}{\det\bB} \norm{\bB}^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}\nonumber\\
\overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}c \frac{1}{\det\bB} h^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}
\end{align}
und
\begin{align}\label{chFErtIneq}
|\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})} &= \int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\hat{\bu}))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&= (\det\bB)^{2}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bB^{-1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bu(\bF(\hat{\bx}))) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\norm{\bB}^{2(k+1)}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
\overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}(\det\bB)^{2}h^{2k}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
&\leq (\det\bB) h^{2k}\int_{K} (D^{k+1}\bu )^2 \,d\bx\nonumber\\
&= (\det\bB) h^{2k}|\bu|^2_{\bH^{k+1}(K)}
\end{align}
Weiterhin benötigen wir die folgenden beiden bekannten Lemmata.
\begin{lemma}[Deny-Lion]\label{denyLion}
Es existiert eine Konstante $c$, die nur vom Gebiet $\Omega$ abhängt, so dass
\begin{equation*}
\forall v\in H^{k+1}(\Omega):\quad \inf_{p\in \bbP_{k}}\norm{v+p}_{H^{k+1}(\Omega)} \leq c |v|_{H^{k+1}(\Omega)}
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Siehe Theorem 3.1.1 aus \cite{ciarlet2002finite} .
\end{proof}
\begin{lemma}[Bramble-Hilbert]\label{BrambleHilbert}
Sei $F:H^{k+1}(K) \to \R$ linear und erfülle die folgenden Eigenschaften
\begin{itemize}
\item Es existiert $\til c >0$ so, dass $\norm{F(u)}\leq \til c \norm{u}_{H^{k+1}(K)}$ für alle $u\in H^{k+1}(K)$ gilt,
\item $F(p)=0$ für alle $p\in \bbP_{k}(K)$.
\end{itemize}
Dann existiert eine Konstante $c>0$ abhängig von $K$ und $\til c$ mit
\begin{equation*}
\norm{F(u)} \leq c |u|_{H^{k+1}(K)}.
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $u\in H^{k+1}(K)$ beliebig.
Dann gilt $F(u) = F(u+p)$ für alle $p\in \bbP_{k}(K)$ und es folgt
\begin{align*}
\norm{F(u)} &= \inf_{p\in \bbP_k(K)}\norm{F(u+p)} \\
&\leq \til c\inf_{p\in \bbP_k(K)}\norm{u+p}_{H^{k+1}(K)} \\
\stackrela{\text{Lemma }\ref{denyLion}}{\leq} c|u|_{H^{k+1}(K)}. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Die Lemmata von Bramble-Hilbert und Deny-Lion können mit komponentenweiser Betrachtung auf vektorwertige Funkionenräume wie $\bH^{k+1}(K)$ angewendet werden.
Wir wollen nun Lemma \ref{BrambleHilbert} mit $\bF = \bI-\bPi^{\hat{K}}$ nutzen.
Dafür formulieren wir das Lemma
\begin{lemma}\label{rtInterpolbeschr}
Der Operator $\bI-\bPi^{K}$ erfüllt die Bedingungen von Lemma \ref{BrambleHilbert}.
\end{lemma}
\begin{proof}
Die zweite Bedingung ist gerade Gleichung \eqref{rtinterpol}.
Nun zeigen wir, dass für alle $\bu\in \bH^{k+1}$ die Ungleichung
\begin{equation*}
\norm{\bPi^{K}\bu} \leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}
\end{equation*}
gilt.
Seien $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ die Basen aus Definition \ref{defRT}.
Dann gilt
\begin{align*}
N_{K,i}(\bu) &= (\bu,\bq_{K,i})\\
\stackrela{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \norm{\bu}_{\bL^2}\norm{\bq_{K,i}}_{\bL^2} \\
\end{align*}
und
\begin{align*}
N_{f,i}(\bu) &= (\bu\cdot\bn,q_{f,i})_{L^2(f)}\\
\stackrela{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \norm{\bu\cdot\bn}_{L^2(f)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}\\
\stackrela{\text{Spursatz}}{\leq} c\norm{\bu}_{\bH^1(K)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}.
\end{align*}
Damit folgt
\begin{align*}
\norm{\bPi^{K}\bu}_{\bL^2} &= \norm{\sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}N_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}N_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i}}_{\bL^2}\\
&\leq \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\abs{N_{K,i}(\bu)}\norm{\bphi_{K,i}}_{\bL^2} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\abs{N_{f,i}(\bu)}\norm{\bphi_{f,i}}_{\bL^2}\\
&\leq c \Big( \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\abs{N_{K,i}(\bu)} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\abs{N_{f,i}(\bu)}\Big)\\
&\leq c \Big( \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\norm{\bu}_{\bL^2}\norm{\bq_{K,i}}_{\bL^2} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\norm{\bu}_{\bH^1(K)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}\Big)\\
&\leq c \norm{\bu}_{\bH^1}\\
&\leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
\end{align*}
Mit der Dreiecksungleichung und $\norm{\bI}=1$ folgt
\begin{equation*}
\norm{(\bI-\bPi^K)\bu}_{\bL^2} \leq \norm{\bu}_{\bL^2} + \norm{\bPi^K\bu}_{\bL^2}\leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
\end{equation*}
die Behauptung.
\end{proof}
\begin{theorem}\label{rtinterpolationerror}
Für den Interpolationsoperator $\bPi^V:\bHd\to \bV_h$ gilt die Fehlerabschätzung
\begin{equation*}
\norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}_{\bL^2} \leq c\ h^{k+1}\norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{align*}
\norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}^2_{\bL^2} &= \sum_{K\in \T_{h}}\norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}^2_{\bL^2(K)}\\
&= \sum_{K\in \T_{h}}\norm{\bu-\bPi^K_{h}\bu}^2_{\bL^2(K)}\\
\stackrela{\eqref{chFErtInterKtohatK}}{\leq}c \sum_{K\in \T_{h}}\frac{1}{\det\bB} h^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}\\
\stackrela{\text{Lemma }\ref{BrambleHilbert}}{\leq}c\sum_{K\in \T_{h}}\frac{1}{\det\bB} h^2 |\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})}\\
\stackrela{\eqref{chFErtIneq}}{\leq} c\sum_{K\in \T_{h}}h^{2(k+1)}|\bu|^2_{\bH^{k+1}(K)}\\
&\leq c\ h^{2(k+1)}\norm{\bu}^2_{\bH^{k+1}}. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Der Interpolationsoperator des Nédélec Elements}\label{interpolNedelec}
Analog zum Raviart-Thomas Element wollen wir beliebige Funktionen aus $\bH(\curlv,K)$ durch Funktionen aus $\bm{\Xi}_{k}^K$ approximieren.
Dafür definieren wir den lokalen Interpolationsoperator $\bPi^K:\bH(\curlv,K)\to \Xi_{k}^K$,
\begin{align}\label{defnedinterpol}
\bPi^K(\bu) &\colonequals \sum_{M_{K,i}\in M^K_{k,K}}M_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{M_{f,i}\in M^K_{k,f}}M_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i} \nonumber\\
&{}\qquad + \sum_{e\in \d K} \sum_{M_{e,i}\in M^K_{k,e}}M_{e,i}(\bu)\bphi_{e,i}.
\end{align}
Hier sind die Funktionen $\bphi_{K,i},\bphi_{f,i}$ bzw. $\bphi_{e,i}$ die Formfunktionen zum Freiheitsgrad $M_{K,i},M_{f,i}$ bzw. $M_{e,i}$
\begin{lemma}\label{nedInterpolInva}
Seien $K$, $\hat{K},\bF$ und $\bB$ wie aus Definition \ref{nedelecPiola}.
Sei $\bu\in \bm{\Xi}_{k}^K$ die Piolatransformierte von $\hat{\bu}\in \bm{\Xi}_{k}^{\hat{K}}$.
Dann gilt $\bPi^K\bu$ ist die Piolatransformierte von $\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}$.
Es gilt also
\begin{equation*}
(\bPi^K\bu)(\bx) = \bB^{-T}(\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Der Beweis folgt mit der Definition der Interpolationsoperators und Lemma \ref{nedDofInvariance}.
\end{proof}
Mit der Definition von $\bQ_{h}$ aus \eqref{defQh} können wir den globalen Interpolationsoperator
$\bPi^Q_{h}:\bH(\curl) \to \bQ(h)$
\begin{equation*}
(\bPi^Q_{h}\bu)|_{K} \colonequals \bPi^K\bu|_{K}
\end{equation*}
definieren.\\
In Kapitel \ref{MGconvergenceInHdiv} benötigen wir Fehlerabschätzungen und die Stetigkeit des Interpolationsoperators $\bPi^Q_{h}$.
Um diese zu zeigen, gehen wir analog zu Kapitel \ref{rtinterpolestimates} vor.
Da jedoch die Freiheitsgrade des N\'ed\'elec Elements von den Kantenmomenten abhängen, kann die Stetigkeit der Funktionale nicht allein durch den Spursatz sichergestellt werden.
Um dennoch Aussagen über die Stetigkeit von $\bPi^Q_{h}$ zu erhalten, folgen wir \cite{hiptmair1997overlapping} und \cite{arnold2000multigrid}.
Dafür betrachten wir den lokalen Interpolationsoperator auf dem Referenzelement $\hat{K}$.
Mit Lemma \ref{nedInterpolInva} können wir die Aussagen auf die Triangulierung $\T_{h}$ erweitern.\\
Weiterhin benötigen wir Lemma 4.7 aus \cite{amrouche1998vector} und eine Sobolev-Einbettung.
\begin{lemma}[\cite{amrouche1998vector}, Lemma 4.7]
Für ein $p>2$ und für einen Tetraeder $K$ ist der Operator $\bPi^K$ stetig auf dem Raum
\begin{equation*}
\bm{X}\colonequals\set{\bv\in \bL^p(K)\ |\ \curlv\bv\in \bL^p(K), \bv\times\bn \in (L^p(\d K))^2}
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{lemma}[Sobolev-Einbettung]
Sei $U$ ein beschränkte, offene, $C^1$ berandete Teilmenge von $\R^n$.
Sei $1\leq p <n$ und $u\in W^{1,p}(U)$.
Dann $u\in L^q(U)$ für $1\leq q< \frac{np}{n-p}$ und es gilt
\begin{equation*}
\norm{u}_{L^{q}} \leq c \norm{u}_{W^{1,p}}
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Siehe Theorem 1 in Kapitel 5.7 in \cite{pdeEvans}.
\end{proof}
Also können wir für $p=2$ ein beliebiges $1\leq q < 6$ wählen.
Es gilt also $H^1 \subset L^3$ und mit komponentenweiser Anwendung des Lemmas erhalten wir $\bH^1(K)\subset \bL^3(K)$.
Also gilt
\begin{equation*}
\set{\bv\in \bH^1(K)\ |\ \curlv\bv\in \bV_{h}, \bv\times\bn \in \bH^1(\d K) } \subset \bm{X}
\end{equation*}
mit $\bV_{h}$ aus Kapitel \ref{raviartThomas} mit $\T_{h}=\hat{K}$.
Es folgt also
\begin{align*}
\norm{\bPi^K\bv} &\leq c\left( \underbrace{\norm{\bv}_{\bL^3}}_{\leq c\norm{\bv}_{\bH^1}} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} + \underbrace{\norm{\bv\times \bn}_{\bL^3(\d K)}}_{\leq c \norm{\bv\times \bn}_{\bH^1(\d K)}} \right) \\
&\leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} + \underbrace{\norm{\bv\times \bn}_{\bH^1(\d K)}}_{\leq c\norm{\bv}_{\bH^1(K)}} \right) \\
&\leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} \right).
\end{align*}
Da $\curlv\bv\in \bV_{h}$ folgt mit der mit der Normäquivalenz auf endlich dimensionalen Räumen und der Äbschätzung $\norm{\curlv\bv}_{\bL^2}\leq \norm{\gradv\bv}_{\bL^2}$
\begin{equation*}
\norm{\bPi^K\bv} \leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} \right)
\leq c\norm{\bv}_{\bH^1}.
\end{equation*}
Damit ist das Lemma von Bramble-Hilbert \ref{BrambleHilbert} anwendbar.
Schließlich erhalten wir
\begin{lemma}\label{interpolErrorNedelec}
Für den Interpolationsoperator $\bPi^Q_{h}$ und $\bu\in \bH^1(K)$ mit $\curlv\bu\in \bV_{h}$ gilt
\begin{equation*}
\norm{\bu-\bPi^K\bu } \leq c h\norm{\bu}_{\bH^1}.
\end{equation*}
\end{lemma}
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