Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
\subsection{Der Interpolationsoperator des Raviart-Thomas Elements}\label{rtinterpolestimates}
Um beliebige Funktionen aus $\bH(\div,K)$ durch Funktionen aus $\bm{\Sigma}_{k}^K$ zu approximieren, definieren wir den lokalen Interpolationsoperator $\bPi^K:\bH(\div,K)\to\bm{\Sigma}_{k}^K$ durch
Die Funktionen $\bphi_{K,i}$ bzw. $\bphi_{f,i}$ sind die Formfunktionen zum Freiheitsgrad $N_{K,i}$ bzw. $N_{f,i}$.\\
Aus der Definition des Operators folgt für Funktionen $\bu\in\bm{\Sigma}_{k}^K$ mit $\bu=\sum_{i} a_{K,i}\bphi_{K,i}+\sum_{f}\sum_{i} a_{f,i}\bphi_{f,i}$ sofort
Seien $\bphi_{f,i}$ bzw. $\bphi_{K,i}\in\bm{\Sigma}_{k}^K$ die Piolatransformierten von den Formfunktionen $\hat{\bphi}_{f,i}$ bzw. $\hat{\bphi}_{K,i}\in\bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$.
Dieses Lemma erlaubt es, den Interpolationsoperator nur auf dem Referenzelement $\hat{K}$ zu definieren.
Um Funktionen $\bu\in\bH(\div,K)$ auf beliebigen Tetraedern $K$ zu interpolieren, nutzen wir die Piolatransformation auf das Referenzelement.
Dort wenden wir den Interpolationsoperator an und transformieren diese Approximation zurück auf den Tetraeder $K$.
Das folgende Lemma gliedert sich nicht richtig in den Lesefluss ein, enthält aber eine wichtige Eigenschaft, die wir in Kapitel \ref{exactSeq} benutzen.
Die Lemmata von Bramble-Hilbert und Deny-Lion können mit komponentenweiser Betrachtung auf vektorwertige Funkionenräume wie $\bH^{k+1}(K)$ angewendet werden.
Wir wollen nun Lemma \ref{BrambleHilbert} mit $\bF=\bI-\bPi^{\hat{K}}$ nutzen.
Dafür formulieren wir das Lemma
\begin{lemma}\label{rtInterpolbeschr}
Der Operator $\bI-\bPi^{K}$ erfüllt die Bedingungen von Lemma \ref{BrambleHilbert}.
\end{lemma}
\begin{proof}
Die zweite Bedingung ist gerade Gleichung \eqref{rtinterpol}.
Nun zeigen wir, dass für alle $\bu\in\bH^{k+1}$ die Ungleichung
\begin{equation*}
\norm{\bPi^{K}\bu}\leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}
\end{equation*}
gilt.
Seien $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ die Basen aus Definition \ref{defRT}.
Der Beweis folgt mit der Definition der Interpolationsoperators und Lemma \ref{nedDofInvariance}.
\end{proof}
Mit der Definition von $\bQ_{h}$ aus \eqref{defQh} können wir den globalen Interpolationsoperator
$\bPi^Q_{h}:\bH(\curl)\to\bQ(h)$
\begin{equation*}
(\bPi^Q_{h}\bu)|_{K}\colonequals\bPi^K\bu|_{K}
\end{equation*}
definieren.\\
In Kapitel \ref{MGconvergenceInHdiv} benötigen wir Fehlerabschätzungen und die Stetigkeit des Interpolationsoperators $\bPi^Q_{h}$.
Um diese zu zeigen, gehen wir analog zu Kapitel \ref{rtinterpolestimates} vor.
Da jedoch die Freiheitsgrade des N\'ed\'elec Elements von den Kantenmomenten abhängen, kann die Stetigkeit der Funktionale nicht allein durch den Spursatz sichergestellt werden.
Um dennoch Aussagen über die Stetigkeit von $\bPi^Q_{h}$ zu erhalten, folgen wir \cite{hiptmair1997overlapping} und \cite{arnold2000multigrid}.
Dafür betrachten wir den lokalen Interpolationsoperator auf dem Referenzelement $\hat{K}$.
Mit Lemma \ref{nedInterpolInva} können wir die Aussagen auf die Triangulierung $\T_{h}$ erweitern.\\
Weiterhin benötigen wir Lemma 4.7 aus \cite{amrouche1998vector} und eine Sobolev-Einbettung.
Da $\curlv\bv\in\bV_{h}$ folgt mit der mit der Normäquivalenz auf endlich dimensionalen Räumen und der Äbschätzung $\norm{\curlv\bv}_{\bL^2}\leq\norm{\gradv\bv}_{\bL^2}$