Entferne Text zu den Nedelec- und RT-Interpolationsoperatoren

Zu viele Details für eine Mehrgittervorlesung.

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -9661,272 +9661,8 @@ Nédélec-Element benötigt.
 \end{proof}
 
 Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
-\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
 
-\subsection{Der Interpolationsoperator des Raviart-Thomas Elements}\label{rtinterpolestimates}
 
-Um beliebige Funktionen aus $\bH(\div,K)$ durch Funktionen aus  $\bm{\Sigma}_{k}^K$ zu approximieren, definieren wir den lokalen Interpolationsoperator $\bPi^K:\bH(\div,K)\to \bm{\Sigma}_{k}^K$ durch
-\begin{equation}\label{defrtinterpol}
-  \bPi^K(\bu) \colonequals \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}N_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}N_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i}.
-\end{equation}
-Die Funktionen $\bphi_{K,i}$ bzw. $\bphi_{f,i}$ sind die Formfunktionen zum Freiheitsgrad $N_{K,i}$ bzw. $N_{f,i}$.\\
-Aus der Definition des Operators folgt für Funktionen $\bu \in \bm{\Sigma}_{k}^K$ mit $\bu = \sum_{i} a_{K,i}\bphi_{K,i} + \sum_{f} \sum_{i} a_{f,i}\bphi_{f,i}$ sofort
-\begin{equation}\label{rtinterpol}
-  \bPi^K(\bu) = \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}a_{K,i}N_{K,i}(\bphi_{K,i})\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}a_{f,i}N_{f,i}(\bphi_{f,i})\bphi_{f,i} =\bu.
-\end{equation}
-
-
-
-\begin{lemma}\label{rtInterpolInva}
-  Seien $K$, $\hat{K},\bF$ und $\bB$ wie aus Definition \ref{rtPiola}.
-  Sei $\bu\in \bm{\Sigma}_{k}^K$ die Piolatransformierte von $\hat{\bu}\in \bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$.
-  Dann gilt $\bPi^K\bu$ ist die Piolatransformierte von $\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}$.
-  Es gilt also
-  \begin{equation*}
-    (\bPi^K\bu)(\bx) = \frac{1}{\det \bB}\bB (\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Seien $\bphi_{f,i}$ bzw. $ \bphi_{K,i}\in \bm{\Sigma}_{k}^K$ die Piolatransformierten von den Formfunktionen $\hat{\bphi}_{f,i} $ bzw. $\hat{\bphi}_{K,i} \in \bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$.
-  Mit Lemma \ref{piolInvariantRTdofs} folgt
-  \begin{align*}
-    (\bPi^K\bu)(\bx) &=  \sum_{N_{i}\in N^K_{k,K}}N_{i}(\bu)\bphi_{K,i}(\bx) + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{i}\in N^K_{k,f}}N_{i}(\bu)\bphi_{f,i}(\bx)\\
-                     &=  \sum_{N_{i}\in N^{\hat{K}}_{k,\hat{K}}}N_{i}(\hat{\bu})\left(\frac{1}{\det \bB}\bB\hat{\bphi}_{\hat{K},i}(\bF^{-1}(\bx)) \right)\\
-                     &{}\quad+ \sum_{f\in \d \hat{K}} \sum_{N_{i}\in N^{\hat{K}}_{k,f}}N_{i}(\hat{\bu})\left(\frac{1}{\det \bB}\bB\hat{\bphi}_{f,i}(\bF^{-1}(\bx)) \right)\\
-                      &=  \frac{1}{\det \bB}\bB (\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
-  \end{align*}
-\end{proof}
-Dieses Lemma erlaubt es, den Interpolationsoperator nur auf dem Referenzelement $\hat{K}$ zu definieren.
-Um Funktionen $\bu\in \bH(\div,K)$ auf beliebigen Tetraedern $K$ zu interpolieren, nutzen wir die Piolatransformation auf das Referenzelement.
-Dort wenden wir den Interpolationsoperator an und transformieren diese Approximation zurück auf den Tetraeder $K$.
-
-
-Das folgende Lemma gliedert sich nicht richtig in den Lesefluss ein, enthält aber eine wichtige Eigenschaft, die wir in Kapitel \ref{exactSeq} benutzen.
-\begin{lemma}\label{rtPiProjection}
-  Für $\bu\in \bH(\div)$ gilt
-  \begin{equation*}
-    (\div(\bu-\bPi^K\bu),p)_{L^2(K)} =0 \quad \forall p\in \bbP_{k}.
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Es gilt
-  \begin{align*}
-    (\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \underbrace{\gradv p}_{\in (\bbP_{k-1})^3}\,d \bx - \int_{\d K}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn p\,d s.
-  \end{align*}
-  Insbesondere gibt es eine Linearkombinationen der $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ sodass
-  \begin{align*}
-    \gradv p &= \sum_{i} a_{i}\bq_{K,i} \\
-    p|_{f} &= \sum_{i} a_{f,i}q_{f,i}
-  \end{align*}
-  gilt.
-  Damit folgt nun mit \eqref{rtinterpol}
-  \begin{align*}
-    (\div(\bu-\bPi^K\bu),p) &= \sum_{i}a_{i}\int_{K}(\bu-\bPi^K \bu)\cdot \bq_{K,i}\,d \bx - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\int_{f}(\bu-\bPi^K\bu)\cdot \bn q_{f,i}\,d s\\
-                         &= \sum_{i}a_{i}N^K_{i}(\bu-\bPi^K \bu) - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}N^K_{f,i}(\bu-\bPi^K\bu)\\
-                         &= \sum_{i}a_{i}\Big[N^K_{i}(\bu)- \underbrace{N^K_{i}(\bPi^K \bu)}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{i}(\bu)}\Big] - \sum_{f\in\d K}\sum_{i} a_{f,i}\Big[ N^K_{f,i}(\bu)- \underbrace{N^K_{f,i}(\bPi^K\bu))}_{\overset{\eqref{rtinterpol}}{=}N^K_{f,i}(\bu)}\Big]\\
-                         &=0. \qedhere
-  \end{align*}
-\end{proof}
-Das Lemma besagt, dass der Interpolationsoperator $\bPi^K$ die Divergenz von Funktionen bis zum Grad $k$ erhält.\\
-
-
-Nun definieren wir den globalen Interpolationsoperator $\bPi^V_{h}:\bHd\to\bV_{h}$ durch
-\begin{equation*}
-  \bPi^V_h(\bu)|_{K} = \bPi^K(\bu|_{K}).
-\end{equation*}
-Um Abschätzungen über die Approximationseigenschaft von $\bPi^V_{h}$ zu zeigen, benötigen wir die Ungleichungen
-\begin{align}\label{chFErtInterKtohatK}
-  \norm{\bu-\bPi^K\bu}^2_{\bL^2(K)}&=\int_{K} (\bu-\bPi^K\bu)^2\,d\bx \nonumber \\
-                                   &= \frac{1}{\det\bB}\int_{\hat{K}} \left(\bB\hat{\bu}(\hat{\bx})-\bB\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}(\hat{\bx}) \right)^2\,d\hat{\bx}\nonumber\\
-                                   &\leq \frac{1}{\det\bB} \norm{\bB}^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}\nonumber\\
-                                   \overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}c \frac{1}{\det\bB} h^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}
-\end{align}
-und
-\begin{align}\label{chFErtIneq}
-  |\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})} &= \int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\hat{\bu}))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
-                                     &= (\det\bB)^{2}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bB^{-1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
-                                     &\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\int_{\hat{K}} (D^{k+1}(\bu(\bF(\hat{\bx}))) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
-                                     &\leq (\det\bB)^{2}\norm{\bB^{-1}}^2\norm{\bB}^{2(k+1)}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})) )^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
-  \overset{\text{Korollar }\ref{boundnormb}}&{\leq}(\det\bB)^{2}h^{2k}\int_{\hat{K}} (D^{k+1}\bu(\bF(\hat{\bx})))^2 \,d\hat{\bx}\nonumber\\
-                                         &\leq (\det\bB) h^{2k}\int_{K} (D^{k+1}\bu )^2 \,d\bx\nonumber\\
-                                         &= (\det\bB) h^{2k}|\bu|^2_{\bH^{k+1}(K)}
-\end{align}
-
-Weiterhin benötigen wir die folgenden beiden bekannten Lemmata.
-\begin{lemma}[Deny-Lion]\label{denyLion}
- Es existiert eine Konstante $c$, die nur vom Gebiet $\Omega$ abhängt, so dass
- \begin{equation*}
-   \forall v\in H^{k+1}(\Omega):\quad \inf_{p\in \bbP_{k}}\norm{v+p}_{H^{k+1}(\Omega)} \leq c |v|_{H^{k+1}(\Omega)}
- \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Siehe Theorem 3.1.1 aus \cite{ciarlet2002finite} .
-\end{proof}
-\begin{lemma}[Bramble-Hilbert]\label{BrambleHilbert}
-  Sei $F:H^{k+1}(K) \to \R$ linear und erfülle die folgenden Eigenschaften
-  \begin{itemize}
-     \item Es existiert $\til c >0$ so, dass $\norm{F(u)}\leq \til c \norm{u}_{H^{k+1}(K)}$ für alle $u\in H^{k+1}(K)$ gilt,
-     \item $F(p)=0$ für alle $p\in \bbP_{k}(K)$.
-  \end{itemize}
-  Dann existiert eine Konstante $c>0$ abhängig von $K$ und $\til c$ mit
-  \begin{equation*}
-    \norm{F(u)} \leq c |u|_{H^{k+1}(K)}.
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Sei $u\in H^{k+1}(K)$ beliebig.
-  Dann gilt $F(u) = F(u+p)$ für alle $p\in \bbP_{k}(K)$ und es folgt
-  \begin{align*}
-    \norm{F(u)} &= \inf_{p\in \bbP_k(K)}\norm{F(u+p)} \\
-                &\leq \til c\inf_{p\in \bbP_k(K)}\norm{u+p}_{H^{k+1}(K)} \\
-                \stackrela{\text{Lemma }\ref{denyLion}}{\leq} c|u|_{H^{k+1}(K)}. \qedhere
-  \end{align*}
-\end{proof}
-
-Die Lemmata von Bramble-Hilbert und Deny-Lion können mit komponentenweiser Betrachtung auf vektorwertige Funkionenräume wie $\bH^{k+1}(K)$ angewendet werden.
-
-Wir wollen nun Lemma \ref{BrambleHilbert} mit $\bF = \bI-\bPi^{\hat{K}}$ nutzen.
-Dafür formulieren wir das Lemma
-\begin{lemma}\label{rtInterpolbeschr}
-  Der Operator $\bI-\bPi^{K}$ erfüllt die Bedingungen von Lemma \ref{BrambleHilbert}.
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Die zweite Bedingung ist gerade Gleichung \eqref{rtinterpol}.
-  Nun zeigen wir, dass für alle $\bu\in \bH^{k+1}$ die Ungleichung
-  \begin{equation*}
-    \norm{\bPi^{K}\bu} \leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}
-  \end{equation*}
-  gilt.
-  Seien $q_{f,i}$ und $\bq_{K,i}$ die Basen aus Definition \ref{defRT}.
-  Dann gilt
-  \begin{align*}
-    N_{K,i}(\bu) &= (\bu,\bq_{K,i})\\
-                  \stackrela{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \norm{\bu}_{\bL^2}\norm{\bq_{K,i}}_{\bL^2} \\
-  \end{align*}
-  und
-  \begin{align*}
-    N_{f,i}(\bu) &= (\bu\cdot\bn,q_{f,i})_{L^2(f)}\\
-                  \stackrela{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \norm{\bu\cdot\bn}_{L^2(f)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}\\
-                  \stackrela{\text{Spursatz}}{\leq} c\norm{\bu}_{\bH^1(K)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}.
-  \end{align*}
-  Damit folgt
-  \begin{align*}
-    \norm{\bPi^{K}\bu}_{\bL^2} &= \norm{\sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}N_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}N_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i}}_{\bL^2}\\
-                                &\leq  \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\abs{N_{K,i}(\bu)}\norm{\bphi_{K,i}}_{\bL^2} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\abs{N_{f,i}(\bu)}\norm{\bphi_{f,i}}_{\bL^2}\\
-                                &\leq c \Big( \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\abs{N_{K,i}(\bu)} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\abs{N_{f,i}(\bu)}\Big)\\
-                                &\leq c \Big( \sum_{N_{K,i}\in N^K_{k,K}}\norm{\bu}_{\bL^2}\norm{\bq_{K,i}}_{\bL^2} + \sum_{f\in \d K} \sum_{N_{f,i}\in N^K_{k,f}}\norm{\bu}_{\bH^1(K)}\norm{q_{f,i}}_{L^2(f)}\Big)\\
-                                &\leq c  \norm{\bu}_{\bH^1}\\
-                                &\leq c  \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
-  \end{align*}
-  Mit der Dreiecksungleichung und $\norm{\bI}=1$ folgt
-  \begin{equation*}
-    \norm{(\bI-\bPi^K)\bu}_{\bL^2} \leq \norm{\bu}_{\bL^2} + \norm{\bPi^K\bu}_{\bL^2}\leq c \norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
-  \end{equation*}
-  die Behauptung.
-\end{proof}
-
-
-\begin{theorem}\label{rtinterpolationerror}
-  Für den Interpolationsoperator $\bPi^V:\bHd\to \bV_h$ gilt die Fehlerabschätzung
-  \begin{equation*}
-    \norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}_{\bL^2} \leq c\ h^{k+1}\norm{\bu}_{\bH^{k+1}}.
-  \end{equation*}
-\end{theorem}
-\begin{proof}
-  Es gilt
-  \begin{align*}
-    \norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}^2_{\bL^2} &= \sum_{K\in \T_{h}}\norm{\bu-\bPi^V_{h}\bu}^2_{\bL^2(K)}\\
-                               &= \sum_{K\in \T_{h}}\norm{\bu-\bPi^K_{h}\bu}^2_{\bL^2(K)}\\
-                               \stackrela{\eqref{chFErtInterKtohatK}}{\leq}c \sum_{K\in \T_{h}}\frac{1}{\det\bB} h^2\norm{\hat{\bu}-\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}}^2_{\bL^2(\hat{K})}\\
-                               \stackrela{\text{Lemma }\ref{BrambleHilbert}}{\leq}c\sum_{K\in \T_{h}}\frac{1}{\det\bB} h^2 |\hat{\bu}|^2_{\bH^{k+1}(\hat{K})}\\
-                               \stackrela{\eqref{chFErtIneq}}{\leq} c\sum_{K\in \T_{h}}h^{2(k+1)}|\bu|^2_{\bH^{k+1}(K)}\\
-                               &\leq c\ h^{2(k+1)}\norm{\bu}^2_{\bH^{k+1}}. \qedhere
-  \end{align*}
-\end{proof}
-
-
-\subsection{Der Interpolationsoperator des Nédélec Elements}\label{interpolNedelec}
-Analog zum Raviart-Thomas Element wollen wir beliebige Funktionen aus $\bH(\curlv,K)$ durch Funktionen aus  $\bm{\Xi}_{k}^K$ approximieren.
-Dafür definieren wir den lokalen Interpolationsoperator  $\bPi^K:\bH(\curlv,K)\to \Xi_{k}^K$,
-\begin{align}\label{defnedinterpol}
-  \bPi^K(\bu) &\colonequals \sum_{M_{K,i}\in M^K_{k,K}}M_{K,i}(\bu)\bphi_{K,i} + \sum_{f\in \d K} \sum_{M_{f,i}\in M^K_{k,f}}M_{f,i}(\bu)\bphi_{f,i} \nonumber\\
-              &{}\qquad + \sum_{e\in \d K} \sum_{M_{e,i}\in M^K_{k,e}}M_{e,i}(\bu)\bphi_{e,i}.
-\end{align}
-Hier sind die Funktionen $\bphi_{K,i},\bphi_{f,i}$ bzw. $\bphi_{e,i}$ die Formfunktionen zum Freiheitsgrad $M_{K,i},M_{f,i}$ bzw. $M_{e,i}$
-\begin{lemma}\label{nedInterpolInva}
-  Seien $K$, $\hat{K},\bF$ und $\bB$ wie aus Definition \ref{nedelecPiola}.
-  Sei $\bu\in \bm{\Xi}_{k}^K$ die Piolatransformierte von $\hat{\bu}\in \bm{\Xi}_{k}^{\hat{K}}$.
-  Dann gilt $\bPi^K\bu$ ist die Piolatransformierte von $\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu}$.
-  Es gilt also
-  \begin{equation*}
-    (\bPi^K\bu)(\bx)  = \bB^{-T}(\bPi^{\hat{K}}\hat{\bu})(\bF^{-1}(\bx)).
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Der Beweis folgt mit der Definition der Interpolationsoperators und Lemma \ref{nedDofInvariance}.
-\end{proof}
-
-
-Mit der Definition von $\bQ_{h}$ aus \eqref{defQh} können wir den globalen Interpolationsoperator
-$\bPi^Q_{h}:\bH(\curl) \to \bQ(h)$
-\begin{equation*}
-  (\bPi^Q_{h}\bu)|_{K} \colonequals \bPi^K\bu|_{K}
-\end{equation*}
-definieren.\\
-
-In Kapitel \ref{MGconvergenceInHdiv} benötigen wir Fehlerabschätzungen und die Stetigkeit des Interpolationsoperators $\bPi^Q_{h}$.
-Um diese zu zeigen, gehen wir analog zu Kapitel \ref{rtinterpolestimates} vor.
-Da jedoch die Freiheitsgrade des N\'ed\'elec Elements von den Kantenmomenten abhängen, kann die Stetigkeit der Funktionale nicht allein durch den Spursatz sichergestellt werden.
-Um dennoch Aussagen über die Stetigkeit von $\bPi^Q_{h}$ zu erhalten, folgen wir \cite{hiptmair1997overlapping} und \cite{arnold2000multigrid}.
-Dafür betrachten wir den lokalen Interpolationsoperator auf dem Referenzelement $\hat{K}$.
-Mit Lemma \ref{nedInterpolInva} können wir die Aussagen auf die Triangulierung $\T_{h}$ erweitern.\\
-
-Weiterhin benötigen wir Lemma 4.7 aus \cite{amrouche1998vector} und eine Sobolev-Einbettung.
-\begin{lemma}[\cite{amrouche1998vector}, Lemma 4.7]
-  Für ein $p>2$ und für einen Tetraeder $K$ ist der Operator $\bPi^K$ stetig auf dem Raum
-  \begin{equation*}
-    \bm{X}\colonequals\set{\bv\in \bL^p(K)\ |\ \curlv\bv\in \bL^p(K), \bv\times\bn \in (L^p(\d K))^2}
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{lemma}[Sobolev-Einbettung]
-  Sei $U$ ein beschränkte, offene, $C^1$ berandete Teilmenge von $\R^n$.
-  Sei $1\leq p <n$ und $u\in W^{1,p}(U)$.
-  Dann $u\in L^q(U)$ für $1\leq q< \frac{np}{n-p}$ und es gilt
-  \begin{equation*}
-    \norm{u}_{L^{q}} \leq c \norm{u}_{W^{1,p}}
-  \end{equation*}
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-  Siehe Theorem 1 in Kapitel 5.7 in \cite{pdeEvans}.
-\end{proof}
-Also können wir für $p=2$ ein beliebiges $1\leq q < 6$ wählen.
-Es gilt also $H^1 \subset L^3$ und mit komponentenweiser Anwendung des Lemmas erhalten wir $\bH^1(K)\subset \bL^3(K)$.
-Also gilt
-\begin{equation*}
-  \set{\bv\in \bH^1(K)\ |\ \curlv\bv\in \bV_{h}, \bv\times\bn \in \bH^1(\d K) } \subset \bm{X}
-\end{equation*}
-mit $\bV_{h}$ aus Kapitel \ref{raviartThomas} mit $\T_{h}=\hat{K}$.
-
-Es folgt also
-\begin{align*}
-  \norm{\bPi^K\bv} &\leq c\left( \underbrace{\norm{\bv}_{\bL^3}}_{\leq c\norm{\bv}_{\bH^1}} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} + \underbrace{\norm{\bv\times \bn}_{\bL^3(\d K)}}_{\leq c \norm{\bv\times \bn}_{\bH^1(\d K)}} \right) \\
-                   &\leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} + \underbrace{\norm{\bv\times \bn}_{\bH^1(\d K)}}_{\leq c\norm{\bv}_{\bH^1(K)}} \right) \\
-                   &\leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} \right).
-\end{align*}
-Da $\curlv\bv\in \bV_{h}$ folgt mit der mit der Normäquivalenz auf endlich dimensionalen Räumen und der Äbschätzung $\norm{\curlv\bv}_{\bL^2}\leq \norm{\gradv\bv}_{\bL^2}$
-\begin{equation*}
-  \norm{\bPi^K\bv} \leq c\left(\norm{\bv}_{\bH^1} + \norm{\curlv\bv}_{\bL^3} \right)
-                   \leq c\norm{\bv}_{\bH^1}.
-\end{equation*}
-
-Damit ist das Lemma von Bramble-Hilbert \ref{BrambleHilbert} anwendbar.
-Schließlich erhalten wir
-\begin{lemma}\label{interpolErrorNedelec}
-  Für den Interpolationsoperator $\bPi^Q_{h}$ und $\bu\in \bH^1(K)$ mit $\curlv\bu\in \bV_{h}$ gilt
-  \begin{equation*}
-    \norm{\bu-\bPi^K\bu } \leq c h\norm{\bu}_{\bH^1}.
-  \end{equation*}
-\end{lemma}