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Verbessere Beschreibung der Maxwell-Gleichungen

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in 3 minutes and 19 seconds
......@@ -56,6 +56,7 @@
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
\newcommand{\Gammatight}[1]{{\Gamma\hspace{-0.8mm}_{#1}}} % A \Gamma with a subscript, and extra kerning
......@@ -5030,8 +5031,8 @@ Wir betrachten jetzt Probleme die in den Funktionenräumen $H(\div)$ oder $H(\cu
wohlgestellt sind.
\begin{itemize}
\item Diese sind nicht $H^1$-elliptisch, und Mehrgitterverfahren müssen sich
darauf einstellen.
\item Diese sind nicht $H^1$-elliptisch, und Finite-Elemente-Verfahren und
Mehrgitterverfahren müssen sich darauf einstellen.
\item Die Hauptanwendung sind die Maxwell-Gleichungen des klassischen
Elektromagnetismus.
......@@ -5054,13 +5055,13 @@ Hauptakteure sind die vier folgenden orts- und zeitabhängigen Vektorfelder:
\begin{itemize}
\item Die elektrische Feldstärke $\bE$ (Einheit: $V/m$)
\item Die magnetische Feldstärke $\bH$ (Einheit: $A/m$)
\item Die magnetische Flussdichte / magnetische Induktion $\bB$ (Einheit: Tesla = $Vs / m^2$)
\item Das elektrische Flussdichte $\bD$ (mit diversen anderen Namen,
z.\,B.\ Verschiebungsflussdichte, engl.\ electric displacement field)
(Einheit: $As/m^2$)
\item Die magnetische Flussdichte / magnetische Induktion $\bB$ (Einheit: Tesla = $Vs / m^2$)
\item Die magnetische Feldstärke $\bH$ (Einheit: $A/m$)
\end{itemize}
Hervorgerufen werden diese Felder durch
......@@ -5071,127 +5072,132 @@ Hervorgerufen werden diese Felder durch
\end{itemize}
Im Rahmen unserer Darstellung sind diese Größen fest und gegeben.
In der Realität üben elektromagnetische Felder aber Kräfte auf sich
bewegende Ladungen aus, und verändern somit ihre räumliche Verteilung.
Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft. Das dazugehörige Gesetz
ist aber nicht Teil der Maxwell-Gleichungen.
Diese sogenannte Lorentz-Kraft ist aber nicht Teil der Maxwell-Gleichungen.
\medskip
\bigskip
Die elektrische Feldstärke $\bE$ und magnetische Flussdichte $\bB$ reichen,
um den (klassischen, d.h., nicht quantenmechanischen) Elektromagnetismus
auf der atomaren Längenskala zu beschreiben. Auf größeren Skalen möchte
man den Einfluss der Materie homogenisieren. Dadurch kommen die
elektrische Flussdichte $\bD$ und die magnetische Feldstärke $\bH$ ins Spiel.
\subsection{Integral- und Differentialformulierungen der Maxwell-Gleichungen}
Die Maxwell-Gleichungen sind am anschaulichsten wenn man sie
in der Integralform betrachtet.
\medskip
Im Folgenden sei $A$ eine Fläche in $\R^3$, und $\btau$ sei der
Einheitstangentialvektor von $\partial A$.
$V$ sei ein Volumen in $\R^3$, mit äußerer Einheitsnormale $\bn$.
Die Maxwell-Gleichungen bestehen aus vier einzelnen
Gleichungen, die selbst wieder Eigennamen haben.
Es handelt sich um vier einzelne Gleichungen, die selbst wieder Eigennamen haben.
\begin{enumerate}
\item Das \textbf{Faradaysche Induktionsgesetz}: Beschreibt wie die
zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche $A$
zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche $A$ in $\R^3$
ein elektrisches Feld $\bE$ auf $\partial A$ erzeugt:
\begin{equation*}
\int_A \frac{\partial \bB}{\partial t}\cdot \bn\,dA
\begin{equation}
\label{eq:faraday_gesetz_integral}
\int_A \frac{\partial \bB}{\partial t}\cdot \bn\,dS
+
\int_{\partial A} \bE \cdot \btau\,ds
=
0.
\end{equation*}
\end{equation}
Dabei ist $\btau$ ein Einheitstangentialvektor von $\partial A$.
\item Das \textbf{Ampèresche Gesetz}:
Elektrische Ströme durch eine Fläche $A$ erzeugen ein magnetisches
Feld.
Feld $\bH$ durch
\todo[inline]{Bild!}
\begin{equation*}
\int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
=
\int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dA
\int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dS
+
\int_A \bj \cdot \bn\,dA.
\int_A \bj \cdot \bn\,dS.
\end{equation*}
Der mittlere Term beschreibt Interaktion mit Materie.
\item \textbf{Gaußsches Gesetz}:
Beschreibt wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen:
\begin{equation*}
\int_{\partial V} \bD \cdot \bn \,dA
\int_{\partial V} \bD \cdot \bn \,dS
=
\int_V \rho\,dx.
\end{equation*}
Dabei ist $V$ ein beliebiges Volumen in $\R^3$, mit äußerer Einheitsnormale $\bn$.
\item \textbf{Gaußsches Gesetz für Magnetismus}:
Der magnetische Fluss ist quellenfrei, d.h.,
\item \textbf{Gaußsches Gesetz für Magnetismus}: Für den magnetischen Fluss $\bB$ gilt
\begin{equation*}
\int_{\partial V} \bB\cdot \bn\,dA = 0
\qquad
\forall V.
\int_{\partial V} \bB\cdot \bn\,dS = 0.
\end{equation*}
Man sagt auch: Es gibt keine magnetischen Monopole.
Man sagt: Der magnetische Fluss ist quellenfrei, oder auch:
Es gibt keine magnetischen Monopole.
\end{enumerate}
Jetzt nutzen wir die folgenden zwei klassischen Sätze der
Vektoranalysis:
Vektoranalysis.
\begin{theorem}[Gaußscher Divergenzsatz]
Für alle Volumina $V$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
hinreichend glatten Vektorfelder $\bB$ gilt
\begin{equation*}
\int_V \div \bB\,dx = \int_{\partial V} \bB \cdot \bn \,dA.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Satz von Stokes]
Für alle Flächen $A$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
hinreichend glatten Vektorfelder $\bH$ gilt
hinreichend glatten Vektorfelder $\bu$ gilt
\begin{equation*}
\int_A \curl \bH\,dA = \int_{\partial A} \bH \cdot \btau \,dA.
\int_V \div \bu\,dx = \int_{\partial V} \bu \cdot \bn \,dS.
\end{equation*}
\end{theorem}
Zur Erinnerung:
\begin{equation*}
\curl \bH
=
\nabla \times \bH
Für den zweiten Satz brauchen wir
\begin{equation*}
\curl \bu
\colonequals
\nabla \times \bu
=
\Big(
\frac{\partial \bH_3}{\partial x_2} - \frac{\partial \bH_2}{\partial x_3},
\frac{\partial \bu_3}{\partial x_2} - \frac{\partial \bu_2}{\partial x_3},
\quad
\frac{\partial \bH_1}{\partial x_3} - \frac{\partial \bH_3}{\partial x_1},
\frac{\partial \bu_1}{\partial x_3} - \frac{\partial \bu_3}{\partial x_1},
\quad
\frac{\partial \bH_2}{\partial x_1} - \frac{\partial \bH_1}{\partial x_2}
\Big)^T
\frac{\partial \bu_2}{\partial x_1} - \frac{\partial \bu_1}{\partial x_2}
\Big)^T.
\end{equation*}
\begin{theorem}[Satz von Kelvin--Stokes]
Für alle Flächen $A$ mit hinreichend glattem Rand, und für alle
hinreichend glatten Vektorfelder $\bu$ gilt
\begin{equation*}
\int_A \curl \bu \cdot \bn \,dS = \int_{\partial A} \bu \cdot \btau \,ds.
\end{equation*}
\end{theorem}
Man erhält die Maxwell-Gleichungen in der Differentialform
\begin{align*}
Da die Flächen $A$ und Volumina $V$ in der obigen Beschreibung beliebig
waren erhält man die Maxwell-Gleichungen in Differentialformulierung
\begin{alignat*}{2}
\frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE
& =
0 \\
0
&\qquad\qquad& \text{(Faraday)} \\
%
\div \bB
\curl \bH
& =
0 \\
\frac{\partial \bD}{\partial t} + \bj
&& \text{(Ampère)} \\
%
\frac{\partial \bD}{\partial t} - \curl \bH
\div \bD
& =
- \bj \\
\rho
&& \text{(Gauß)} \\
%
\div \bD
\div \bB
& =
\rho.
\end{align*}
0.
&& \text{(Gauß für Magnetismus)}
\end{alignat*}
Diese vier Gleichungen alleine sind noch unterbestimmt:
Es gibt (in 3d) $4 \times 3 = 12$ Unbekannte, aber nur
$3 +1 + 3 + 1 = 8$ Gleichungen.
Es gibt $4 \times 3 = 12$ Unbekannte, aber nur
$3 + 3 + 1 + 1 = 8$ Gleichungen.
\bigskip
......@@ -5226,31 +5232,17 @@ mit $\epsilon$, $\mu$ orts- und zeitunabhängig.
(Einheit: $VS/Am$)
\end{itemize}
Außerdem gibt es noch das Ohmsche Gesetz
\begin{equation*}
\bj = \sigma \bE
\end{equation*}
wobei $\sigma$ die elektrische Leitfähigkeit [As] ist.
\todo[inline]{Das ist mir noch unklar. Bei Zaglmayr wird $\bj$
noch in $\bj_c + \bj_i$ aufgeteilt, und das Ohmsche Gesetz
gilt nur für einen der beiden Teile!}
\todo[inline]{Außerdem sind es doch jetzt mehr als zwölf Gleichungen!}
\bigskip
Im Vakuum hat man z.B.
\begin{equation*}
\epsilon \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12} Fm^{-1},
\qquad
\mu \approx 4\pi \cdot 10^{-7} Hm^{-1},
\qquad
\sigma = 0.
\mu \approx 4\pi \cdot 10^{-7} Hm^{-1}.
\end{equation*}
(Einheiten: $F = As/V$ \glqq Farad\grqq, $H = Vs/A$ \glqq Henry\grqq)
Übrigens ist
\begin{equation*}
\frac{1}{\epsilon \mu}
\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}
\approx
2{,}998 \cdot 10^8 \frac{1}{\sqrt{\frac{As}{Vm} \cdot \frac{Vs}{Am}}}
=
......@@ -5258,8 +5250,27 @@ Im Vakuum hat man z.B.
\end{equation*}
die Lichtgeschwindigkeit.
\bigskip
In manchen Materialien gibt es zwei Arten von Strom~$\bj$.
Zum einen fließen freie Ladungsträger (z.B.\ Elektronen) durchs Material.
Das nennt man \emph{Leitungsstrom} $\bj_c$, und es gilt das Ohmsche Gesetz
\begin{equation*}
\bj_c = \sigma \bE
\end{equation*}
wobei $\sigma$ die elektrische Leitfähigkeit [As] ist.
Außerdem gibt es den \emph{eingeprägten Strom} $\bj_i$, der durch
Polarisation der Materials entsteht. Zusammen ist $\bj = \bj_c + \bj_i$.
\bigskip
Wenn man jetzt nachzählt kommt man auf mehr als 12 Gleichungen.
Die Maxwell-Gleichungen sind dennoch wohlgestellt, denn sie
sind in gewissem Sinne redundant. Zum Beispiel folgen die beiden
Gaußschen Gesetze aus den Gesetzen von Faraday und Ampère, wenn die
Anfangsbedingung die Gaußschen Gesetze erfüllt.
\subsection{Potentialformulierung}
......@@ -5270,52 +5281,80 @@ Dazu benötigen wir folgende Resultate aus der Vektoranalysis:
\begin{lemma}
\label{lem:existence_of_potentials}
Sei $\Omega$ einfach zusammenhängend. Falls $\bB : \Omega \to \R^d$ hinreichend
glatt ist und $\div \bB = 0$, dann existiert ein Vektorpotential für $\bB$,
Sei $\Omega$ einfach zusammenhängend. Falls $\bu : \Omega \to \R^d$ hinreichend
glatt ist und $\div \bu = 0$, dann existiert ein Vektorpotential für $\bu$,
d.h.\ ein Vektorfeld $\bA : \Omega \to \R^d$ mit
\begin{equation*}
\curl \bA = \bB.
\curl \bA = \bu.
\end{equation*}
Falls $\bF : \Omega \to \R^d$ hinreichend glatt ist mit $\curl \bF = $,
Falls $\bu : \Omega \to \R^d$ hinreichend glatt ist mit $\curl \bu = 0$,
dann existiert ein skalares Potential $\varphi : \Omega \to \R$ so dass
\begin{equation*}
\nabla \varphi = \bF.
\nabla \varphi = \bu.
\end{equation*}
\end{lemma}
Wir nehmen also im Folgenden an dass $\Omega$ einfach zusammenhängend ist.
\todo[inline]{Was passiert sonst?}
\todo[inline]{Wie sieht eine Vektorpotentialformulierung auf allgemeineren Gebieten aus?}
\todo[inline]{Nichteindeutigkeit der Potentiale -- Eichung}
Es ist offensichtlich dass $\bA$ und $\varphi$ nicht eindeutig sind.
So ist z.\,B.\ $\curl (\bA + \nabla \psi) = \curl \bA$ für alle skalaren Felder $\psi$.
Diese Nichteindeutigkeit nennt man \emph{Eichfreiheit} oder \emph{Eichinvarianz}.
Sie spielt eine wichtige Rolle.
Wegen der zweiten\todo{???} Maxwell-Gleichung ist die magnetische Induktion\todo{???}
tatsächlich induktionsfrei. Aus dem Faradayschen Gesetz~\eqref{}
wird also
\bigskip
Wir betrachten zunächst das Faradaysche Gesetz in der Differentialformulierung
\begin{equation*}
\curl \Big(\bE + \frac{\partial \bA}{\partial t} \Big) = 0.
\frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE = 0.
\end{equation*}
Wegen des Gaußschen Gesetzes für Magnetismus ist $\div \bB = 0$, und $\bB$
hat deshalb ein Vektorpotential $\bA$. Also folgt
\begin{equation*}
\frac{\partial \curl \bA}{\partial t} + \curl \bE
=
\curl \Big( \bE + \frac{\partial \bA}{\partial t} \Big)
=
0.
\end{equation*}
Aufgrund des zweiten Teils von Lemma~\ref{lem:existence_of_potentials} hat das
Argument von $\curl$ ein skalares Potential $\varphi$, und man erhält
Argument von $\curl$ ein skalares Potential $-\varphi$, und man erhält
\begin{equation*}
\bE = - \nabla \varphi - \frac{\partial \bA}{\partial t}.
\end{equation*}
Aus dem Ampèreschen Gesetz
\bigskip
Als nächstes nehmen wir das Ampèresche Gesetz
\begin{equation*}
\curl \bH = \frac{\partial \bD}{\partial t} + \bj.
\end{equation*}
Mit den Materialgesetzen wird daraus
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1}\bB = \epsilon \frac{\partial \bE}{\partial t} + \bj.
\end{equation*}
Einsetzen der Potentiale ergibt
\begin{equation*}
\int_{\partial A} \bH \cdot \btau\,ds
\curl \mu^{-1}\curl \bA
=
\int_A \frac{\partial \bD}{\partial t} \cdot \bn\,dS
+
\int_A \bj \cdot \bn\,dS
-\epsilon \frac{\partial \nabla \varphi}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial^2 \bA}{\partial t} + \bj.
\end{equation*}
wird
Mit dem Ohmschen Gesetz gilt
\begin{equation*}
\bj = \bj_c + \bj_i
=
\sigma \bE + \bj_i
=
-\sigma \Big( \nabla \varphi + \frac{\partial \bA}{\partial t}\Big) + \bj_i.
\end{equation*}
Deshalb erhält man
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + \sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \epsilon \frac{\partial^2 \bA}{\partial t^2}
=
\bj_i - \sigma \nabla \varphi - \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \nabla \varphi.
\end{equation*}
\todo[inline]{Details, bitte!}
Jetzt nutzen wir die Eichinvarianz: Für eine beliebige skalare Funktion~$\psi$
liefern die Potentiale
......@@ -5326,18 +5365,49 @@ liefern die Potentiale
\end{equation*}
die gleichen magnetischen und elektrischen Felder, denn
\begin{equation*}
\bB(\bA,\varphi) = \bB(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi})
\qquad \text{und} \qquad
\bE(\bA,\varphi) = \bE(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi}).
\bB(\tilde{\bA})
=
\curl \tilde{\bA}
=
\curl (\bA + \nabla \psi)
=
\curl \bA
=
\bB(\bA)
\end{equation*}
\todo[inline]{Details!}
und
\begin{align*}
\bE(\tilde{\bA}, \tilde{\varphi})
& =
- \nabla \tilde{\varphi} - \frac{\partial \tilde{\bA}}{\partial t} \\
& =
- \nabla (\varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}) - \frac{\partial (\bA + \nabla \psi)}{\partial t} \\
& =
- \nabla \varphi - \frac{\partial \bA}{\partial t} \\
& =
\bE(\bA, \varphi).
\end{align*}
Damit können wir das Vektorpotential $\varphi$ komplett eliminieren.
\medskip
Wähle das Vektorpotential $\bA^*$ so dass
Dafür wählen wir eine bestimmte Funktion $\psi$, nämlich
\begin{equation*}
\psi(x,t) = \int_{t_0}^t \varphi(x,\tau)\,d\tau
\end{equation*}
für irgendein festes $t_0 \in \R$, und definieren das Vektorpotential
\begin{equation*}
\bA^* = \bA + \int_{t_0}^t \nabla \varphi\,d\tau.
\end{equation*}
Dann ist $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$ und $\curl \bA = \curl \bA^*$.
\todo[inline]{Prüfen!}
Damit ist wieder $\curl \bA = \curl \bA^*$.
Außerdem erhält man aber $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$
statt $\bE = -\nabla \varphi - \frac{\partial \bA}{\partial t}$,
\todo[inline]{Einmal nachrechnen!}
d.h.\ wir arbeiten mit einem konstanten Vektorpotential.
\medskip
Man erhält die Vektorpotentialformulierung der Maxwell-Gleichungen
\begin{equation*}
......@@ -5347,14 +5417,8 @@ Man erhält die Vektorpotentialformulierung der Maxwell-Gleichungen
=
\bj_i.
\end{equation*}
\todo[inline]{Prüfen, Details!}
Um diese Art von Gleichung soll es im Folgenden gehen.
Wenn man sie gelöst hat kann man $\bB = \curl \bA^*$ und $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$
ausrechnen.
$\bH$ und $\bD$ bekommt man über die Materialgesetze.
Aus Lösungen $\bA^*$ kann man $\bB = \curl \bA^*$ und $\bE = - \frac{\partial \bA^*}{\partial t}$
ausrechnen. $\bH$ und $\bD$ bekommt man über die Materialgesetze.
\bigskip
......@@ -5386,57 +5450,49 @@ Frequenz schwingt. Wir machen deshalb den Ansatz
\end{equation*}
mit einer komplexwertigen Funktion $\hat{\bE}$, und genauso für
$\bD$, $\bH$, $\bB$, $\rho$ und $\bj$.
\todo[inline]{Alternativ: Wir machen einfach eine Fourier-Transformation
in der Zeit?}
Man erhält
\begin{equation*}
\frac{\partial \bE}{\partial t}(x,t)
\to
i \omega \bE(x,T).
\end{equation*}
\todo[inline]{Wie genau?}
und aus den Maxwell-Gleichungen wird
\medskip
Wenn man nachrechnet wie die Maxwell-Gleichungen für diesen Ansatz
aussehen bekommt man wieder die ursprünglichen Gleichungen,
wobei allerdings Zeitableitungen durch Multiplikation mit $i\omega$
ersetzt wurden
\begin{align*}
\curl \hat{\bE}(x) + i \omega \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
\div \mu \hat{\bH}(x) & = 0 \\
\curl \hat{\bH}(x) - (i\omega \epsilon + \sigma) \hat{\bE}(x) & = \hat{\bj}_i(x) \\
\div \epsilon \hat{\bE}(x) & = \hat{\rho}(x).
iw \hat{\bB} + \curl \hat{\bE} & = 0 \\
\curl \hat{\bH} - i\omega \hat{\bD} & = \hat{\bj} \\
\div \hat{\bD} & = \hat{\rho} \\
\div \mu \hat{\bH} & = 0.
\end{align*}
Die Vektorpotentialformulierung ist
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + i \omega \sigma \bA - \omega^2 \epsilon \bA = \bj_i,
\curl \mu^{-1} \curl \hat{\bA} + i \omega \sigma \hat{\bA} - \omega^2 \epsilon \hat{\bA} = \hat{\bj}_i,
\end{equation*}
mit $\bB = \curl \bA$ und $\bE = -i\Omega \bA$.
mit $\hat{\bB} = \curl \hat{\bA}$ und $\hat{\bE} = -i\omega \hat{\bA}$.
\subsubsection{Das magneto-quasistatische Problem}
In diesem Modell geht man davon aus dass sich der magnetische Fluss $\bH$
In diesem Modell geht man davon aus dass sich die elektrische Verschiebung $\bD$
so langsam ändert dass die entsprechende Zeitableitung ignoriert werden kann.
\medskip
Das ist z.B.\ bei Motoren oder Transformatoren der Fall.
\todo[inline]{In this case, the magnetic induction is the dominant factor,
and the contribution of the displacement currents is negligible in comparison
to the currents, i.e., $\abs{\frac{\partial \bD}{\partial t}} \ll \abs{\bj}$.}
Man erhält
\begin{align*}
\frac{\partial \bB}{\partial t} + \curl \bE & = 0\\
\div \bB & = 0 \\
\curl \bH & = \bj \\
\div \bD & = \rho.
\div \bD & = \rho \\
\div \bB & = 0.
\end{align*}
Die Vektorpotentialformulierung ist
\begin{equation*}
\sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} + \curl \mu^{-1} \curl \bA = \bj_i.
\curl \mu^{-1} \curl \bA + \sigma \frac{\partial \bA}{\partial t} = \bj_i.
\end{equation*}
Zeitharmonisch:
\begin{equation*}
\curl \mu^{-1} \curl \bA + i\omega \sigma \bA = \bj_i.
\curl \mu^{-1} \curl \hat{\bA} + i\omega \sigma \hat{\bA} = \hat{\bj}_i.
\end{equation*}
\subsubsection{Statische Gleichungen}
......@@ -5444,16 +5500,20 @@ Zeitharmonisch:
Wenn die erzeugende Ladung $\rho$ und Ströme $\bj$ zeitunabhängig sind
kann man sich für statische Lösungen interessieren.
\medskip
Dabei fallen dann alle Zeitableitungen weg, und das Problem zerfällt
in zwei Teile: einen elektrostatischen und einen magnetostatischen Teil.
\medskip
Das elektrostatische Problem ist
\begin{align*}
\curl \bE & = 0 \\
\div \bD & = \rho \\
\bD & = \epsilon \bE.
\end{align*}
Wenn man ein skalares Potential $\varphi$ einführt so dass $\bE = - \nabla \varphi$
Wenn man ein skalares Potential $\varphi$ einführt (also $\bE = - \nabla \varphi$)
erhält man die Poissongleichung
\begin{equation*}
- \div (\epsilon \nabla \varphi) = \rho.
......
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