@@ -1415,6 +1415,9 @@ von $V_h^\text{fein} = V_h$ ist.
\end{equation*}
Man nennt $P$ den \emph{Prolongationsoperator}.
\todo[inline]{Später ist $P^T$ die $L^2$-Projektion und wird $Q$ genannt.
Vielleicht können wir das hier schon vorbereiten?}
\item Da in diesem Beispiel die Räume geschachtelt sind nehmen wir einfach
die kanonische Injektion:
...
...
@@ -4188,8 +4191,8 @@ Da die $X_i$ geschachtelt sind haben die Projektionsoperatoren einige besondere
\end{equation}
\end{lemma}
Anschaulich besagt das Lemma, dass eine Projektion auf einen kleinen Raum alle Projektionen
überdeckt, die eventuell vorher ausgeführt wurden.
Anschaulich besagt das Lemma, dass es egal ist ob ich vor oder nach einer Projektion
noch auf einen Übermenge projiziere.
\begin{proof}
Seien $x,y\in X$.
...
...
@@ -4561,9 +4564,8 @@ von Schwarz die Bedingungen aus Satz~\ref{thm:absMGconvergence} erfüllen.
Dafür zerlegen wir die endlichdimensionalen Unterräume $X_j$ wieder in Unterräume $X_{j}^i$
für $i=1,\dots, n_j$, so dass
\begin{equation*}
X_j = \sum_{i=1}^{n_j} X_j^i
X_j = \sum_{i=1}^{n_j} X_j^i.
\end{equation*}
gilt.
Dann kann ein beliebiges $x\in X_{j}$ durch
\begin{equation*}
...
...
@@ -4572,17 +4574,17 @@ Dann kann ein beliebiges $x\in X_{j}$ durch
mit $x_i\in X_{j}^i$, beschrieben werden.
Diese Zerlegung hängt von den Räumen $X_{j}^i$ ab und ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
Wir nutzen die Operatoren $A_{j},P_{j},Q_{j}$ für die Teilräume $X_j^i$
und bezeichnen sie mit $A_{j,i},P_{j}^i$ und $Q_{j}^i$.
Im Hinterkopf haben wir dabei wieder Zerlegungen gemäß der Knotenbasis, aber es kommen
später auch noch andere.
\medskip
Wir nutzen die Operatoren $A_{j},P_{j},Q_{j}$ für die Teilräume $X_j^i$
und bezeichnen sie mit $A_{j,i},P_{j}^i$ und $Q_{j}^i$.
\bigskip
Die Güte der Zerlegungen $\{X_j^i\}$ macht sich wieder an zwei Konstanten fest.
Dies sind fast die Konstanten $C_0$ und $\rho(\mathcal{E})$ aus den
Diese sind verwandt mit den Konstanten $C_0$ und $\rho(\mathcal{E})$ aus den
Definitionen~\ref{def:TRK_annahme_1} bzw.~\ref{def:TRK_annahme_2}, aber es gibt
kleine Unterschiede.
...
...
@@ -4620,10 +4622,22 @@ $x$ aus $(I-P_{j-1})X_j$.
\end{equation}
gilt.
\end{definition}
\todo[inline]{Wie verhält sich diese Definition zu~\ref{def:TRK_annahme_2}?}
Bedingung~\eqref{eq:ssmcondition1} ist ein Spezialfall der Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Sie folgt, wenn für jedes $k\in\set{1,\dots ,K}$ die Anzahl der Unterräume $X_{j}^{k'}$ mit $P_{j}^kx^{k'}\neq0$, für alle $x^{k'}\in X_{j}^{k'}$, beschränkt ist.
Anschaulich gesprochen, überlappen sich die Unterräume $X_{j}^k$ kaum.
Genau wie Definition~\ref{def:TRK_annahme_2} wird hier verlangt dass
die Teilräume \glqq möglichst senkrecht\grqq{} zueinander stehen.
Falls~\eqref{eq:ssmcondition1} für alle $x,y \in X_j$ gilt, so gilt es insbesondere
für $x \in X_n$, $y \in X_m$ (d.h.\ $x$ und $y$ sind in jeweils einem der Teilräume
Seien die Bedingungen \eqref{eq:ssmcondition2} und \eqref{eq:ssmcondition1} erfüllt und sei die Skalierungskonstante $\eta <\frac{1}{\beta}$.
Dann erfüllt die additive Methode von Schwarz $\eta\Radd_j = R_{j}$ die Bedingungen von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha=\frac{\gamma}{\eta}$.
Dann erfüllt die additive Methode von Schwarz $\Radd_j =\etaR_{j}$ die Bedingungen von Satz~\ref{thm:absMGconvergence} mit $\alpha=\frac{\gamma}{\eta}$.
\end{theorem}
Für den Beweis brauchen wir wieder Hilfssatz~\ref{lem:aPinvuu_has_minimal_energy}.
Zur Erinnerung: Dieser besagt:
\begin{lemma}\label{smootherinveqinfsum}
Für die additive Methode von Schwarz mit $\eta=1$gilt für jedes $j=1,\dots ,J$
Für die additive Methode von Schwarz gilt für jedes $j=1,\dots ,J$