Verbesserungen bei Koketten und Whitney-Formen

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -7389,7 +7389,10 @@ Damit gilt insbesondere
 
 \section{Finite Elemente und die äußere Algebra}
 
-Der Inhalt dieses Abschnitts kommt weitestgehend aus~\cite{hiptmair:2002}.
+Der Inhalt dieses Kapitels bildet einen Exkurs, und wird für das
+Verständnis von Mehrgitterverfahren nicht gebraucht.
+
+Er wurde weitestgehend~\cite{hiptmair:2002} entnommen.
 
 \medskip
 
@@ -7551,7 +7554,7 @@ Dann ist $T_{\bx}\mathcal{M}$ isomorph zu $\R^3$ für alle $\bx$.
 \medskip
 
 Man kann dann Differentialformen $0 \le l \le 3$ durch bestimmte
-Funktionen oder Vektorfeldern eindeutig darstellen.
+Funktionen oder Vektorfelder eindeutig darstellen.
 
 \begin{center}
 \begin{tabular}{l|l|l}
@@ -7563,7 +7566,7 @@ Funktionen oder Vektorfeldern eindeutig darstellen.
  2 & $\bx \mapsto \{ (\bv_1,\bv_2) \mapsto \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2)\}$
    & $\langle \bu(\bx),\bv_1 \times \bv_2 \rangle = \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2)$ \\
  %
- 3 & $\bx \mapsto \{ (\bv_1,\bv_2,\bv_2) \mapsto \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2,\bv_3)\}$
+ 3 & $\bx \mapsto \{ (\bv_1,\bv_2,\bv_3) \mapsto \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2,\bv_3)\}$
    & $u(\bx) \det(\bv_1,\bv_2,\bv_3) = \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2,\bv_3)$
 \end{tabular}
 \end{center}
@@ -7822,8 +7825,9 @@ aus dem vorigen Kapitel.
 
 \medskip
 
-\emph{Erinnerung:} Eine Integralform war eindeutig bestimmt wenn ihr Wert
-für alle $l$-Flächen bekannt war.
+\emph{Erinnerung:} Eine Integralform weist einer $l$-dimensionalen Fläche
+einen Wert zu.  Sie ist eindeutig bestimmt wenn ihr Wert
+für alle $l$-Flächen bekannt ist.
 
 \medskip
 
@@ -7832,20 +7836,21 @@ $l$-Flächen bestimmen lassen.
 
 \medskip
 
-Um die äußere Ableitung $\bd$ definieren zu können müssen diese $l$-Flächen
-einen Randoperator $\partial$ haben.
-
-\medskip
-
 Gute Möglichkeit: Eine Triangulierung $\mathcal{T}$ von $\Omega$ mit
 Elementen $\mathcal{S}_3$, Seiten $\mathcal{S}_2$, Kanten $\mathcal{S}_1$
 und Ecken $\mathcal{S}_0$.
 
 \medskip
 
+Um die äußere Ableitung $\bd$ definieren zu können müssen die $l$-Flächen
+einen Randoperator $\partial$ haben.
+Der Trick dabei ist die richtige Orientierung
+
+\medskip
+
 Der Randoperator einer $l$-Seite $F$ ist
 \begin{equation*}
- \partial(F) = \sum_{i=0}^l (-1)^i (\ba_0,\dots,\widehat{\ba_i},\dots,\ba_l).
+ \partial(F) \colonequals \sum_{i=0}^l (-1)^i (\ba_0,\dots,\widehat{\ba_i},\dots,\ba_l).
 \end{equation*}
 Dabei bedeutet $\widehat{\ba_i}$ dass der $i$-te Knoten weggelassen wird.
 
@@ -7854,16 +7859,15 @@ Dabei bedeutet $\widehat{\ba_i}$ dass der $i$-te Knoten weggelassen wird.
 Der Faktor $(-1)^i$ ist die \emph{relative Orientierung} der Seite
 $(\ba_0,\dots,\widehat{\ba_i},\dots,\ba_l)$ in $F$.
 
+\begin{example}\mbox{}
 \begin{itemize}
- \item Beispiel: Sei $T = (\ba_0, \ba_1, \ba_2, \ba_3) \in \mathcal{S}_3$
-  ein Tetraeder.
-
-  Dann sind die Randseiten
+ \item Die Randseiten eines Tetraeders
+  $T = (\ba_0, \ba_1, \ba_2, \ba_3) \in \mathcal{S}_3$ sind
   \begin{equation*}
    +(\ba_1, \ba_2, \ba_3),
    \quad -(\ba_0, \ba_2, \ba_3),
    \quad +(\ba_0, \ba_1, \ba_3),
-   \quad -(\ba_1, \ba_2, \ba_3)
+   \quad -(\ba_0, \ba_1, \ba_2)
   \end{equation*}
 
  \item Die Kanten einer orientierten Dreiecksseite $F = (\ba_0, \ba_1, \ba_2)$ sind
@@ -7872,9 +7876,10 @@ $(\ba_0,\dots,\widehat{\ba_i},\dots,\ba_l)$ in $F$.
   \end{equation*}
 
 \end{itemize}
+\end{example}
 
+Es gilt $\partial \circ \partial = 0$.
 \begin{example}
- Es gilt $\partial \circ \partial = 0$.
  \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
    \coordinate[label=below:$\ba_0$] (a0) at (0,0);
@@ -7888,17 +7893,17 @@ $(\ba_0,\dots,\widehat{\ba_i},\dots,\ba_l)$ in $F$.
  \end{center}
 
  \begin{align*}
-  \mathcal{S}_3(\mathcal{T})
+  \mathcal{S}_2(\mathcal{T})
   & =
   (\ba_0, \ba_1, \ba_2) + (\ba_1, \ba_3, \ba_2) \\
   %
-  \partial \mathcal{S}_3(\mathcal{T})
+  \partial \mathcal{S}_2(\mathcal{T})
   & =
   (\ba_1,\ba_2) - (\ba_0, \ba_2) + (\ba_0, \ba_1) + (\ba_3, \ba_2) - (\ba_1, \ba_2) + (\ba_1, \ba_3)\\
   & =
   - (\ba_0, \ba_2) + (\ba_0, \ba_1) + (\ba_3, \ba_2) + (\ba_1, \ba_3) \\
   %
-  \partial \partial \mathcal{S}_3(\mathcal{T})
+  \partial \partial \mathcal{S}_2(\mathcal{T})
   & =
   - \partial (\ba_0, \ba_2) + \partial (\ba_0, \ba_1) + \partial(\ba_3, \ba_2) + \partial (\ba_1, \ba_3) \\
   & =
@@ -7934,33 +7939,137 @@ definieren.
 
 \medskip
 
-Für $\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$ weist die äußere Ableitung $\bd_h \vec \omega$
+Zum Vergleich: Die äußere Ableitung einer Differentialform $\omega$
+ist so definiert dass
+\begin{equation*}
+ \int_\Sigma \bd\omega = \int_{\partial \Sigma} \omega.
+\end{equation*}
+So etwas wollen wir auch für Koketten.
+
+\medskip
+
+\begin{definition}
+Sei $\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$. Die äußere Ableitung
+$\bd_h \vec \omega \in \mathcal{C}^{l+1}(\mathcal{T})$ ist die Kokette, die
 jedem $F \in S_{l+1}(\mathcal{T})$ die Summe der Werte $\vec \omega (f)$,
-$f \in \mathcal{S}_l(\mathcal{T})$, $f \in \partial F$ zu, gewichtet mit der
+$f \in \mathcal{S}_l(\mathcal{T})$, $f \in \partial F$ zuweist, gewichtet mit der
 relativen Orientierung.
+\end{definition}
+
+In Formeln
+\begin{equation*}
+ \bd_h \vec \omega(F)
+ =
+ \sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial F} \vec \omega(f)
+\end{equation*}
+für eine $(l+1)$-Seite $F$, bzw.
+\begin{equation*}
+\sum_{F_\in \mathcal{S}} \bd_h \vec \omega(F)
+ =
+\sum_{F_\in \mathcal{S}} \sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial F} \vec \omega(f)
+ =
+ \sum_{f \in \mathcal{S}_l \atop f \in \partial \mathcal{S}} \vec \omega(f)
+\end{equation*}
+für eine Menge $\mathcal{S}$ von $(l+1)$-Seiten.
+
+\begin{example}\mbox{}
+ \begin{center}
+  \begin{tikzpicture}[scale=1.7]
+   \coordinate[label=below:$2$] (a0) at (0,0);
+   \coordinate[label=below:$-3$] (a1) at (2,0) {};
+   \coordinate[label=above:$5$] (a2) at (1.5,2.1) {};
+   \coordinate[label=above:$-1$] (a3) at (3.5,2) {};
+   \draw (a0) -- (a1) -- (a3) -- (a2) -- (a0);
+   \draw (a1) -- (a2);
+
+   % Orientations
+   \node at (1.7, 0.1) {$+$};
+   \node at (0.4, 0.1) {$-$};
+   \node at (1.3, 1.6) {$+$};
+   \node at (0.4, 0.3) {$-$};
+   \node at (1.5, 1.6) {$+$};
+   \node at (1.8, 0.3) {$-$};
+
+   \node at (2.4, 0.2) {$+$};
+   \node at (3.6, 1.8) {$-$};
+   \node at (1.8, 2.2) {$+$};
+   \node at (3.2, 2.1) {$-$};
+
+   \node at (6,1) {$\vec \omega \in \mathcal{C}^0(\mathcal{T})$};
+  \end{tikzpicture}
+
+  \bigskip
+  \bigskip
+
+  \begin{tikzpicture}[scale=1.7]
+   \coordinate[label=below:$\ba_0$] (a0) at (0,0);
+   \coordinate[label=below:$\ba_1$] (a1) at (2,0) {};
+   \coordinate[label=above:$\ba_2$] (a2) at (1.5,2.1) {};
+   \coordinate[label=above:$\ba_3$] (a3) at (3.5,2) {};
+   \draw (a0) -- (a1) -- (a3) -- (a2) -- (a0);
+   \draw (a1) -- (a2);
+
+   % Orientations
+   \node at (1.05, 0.1) {$+$};
+   \node at (0.9, 1.0) {$-$};
+   \node at (1.6, 1.0) {$+$};
+   \node at (1.9, 1.0) {$-$};
+   \node at (3.0, 1.0) {$+$};
+   \node at (2.7, 2.1) {$+$};
+
+   \node at (1.05, -0.2) {$-5$};
+   \node at (0.4, 1.0) {$3$};
+   \node at (1.6, 1.3) {$8$};
+   \node at (2.5, 2.1) {$4$};
+   \node at (3.0, 0.8) {$-4$};
+
+   \node at (6,1) {$\bd_h \vec \omega \in \mathcal{C}^1(\mathcal{T})$};
+  \end{tikzpicture}
+
+  \bigskip
+  \bigskip
+
+  \begin{tikzpicture}[scale=1.7]
+   \coordinate[label=below:$\ba_0$] (a0) at (0,0);
+   \coordinate[label=below:$\ba_1$] (a1) at (2,0) {};
+   \coordinate[label=above:$\ba_2$] (a2) at (1.5,2.1) {};
+   \coordinate[label=above:$\ba_3$] (a3) at (3.5,2) {};
+   \draw (a0) -- (a1) -- (a3) -- (a2) -- (a0);
+   \draw (a1) -- (a2);
+
+   \node at (1.2,0.7) {$0$};
+   \node at (2.3,1.4) {$0$};
+
+   \node at (6,1) {$\bd_h \bd_h \vec \omega \in \mathcal{C}^2(\mathcal{T})$};
+  \end{tikzpicture}
+
+ \end{center}
+ Man bekommt also wieder $\bd_h \circ \bd_h = 0$!
+
+ \todo[inline]{Leider nicht in diesem Beispiel!  Wo ist der Fehler?}
+\end{example}
 
-\missingfigure{Ein Beispiel!}
 
 Man kann die lineare Abbildung $\bd_h$ für $l$-Seiten auch als Matrix
 $\mathsf{D}^l \in \mathbb{C}^{N_{l+1}, N_l}$ schreiben.  Diese Matrix heißt \emph{Inzidenzmatrix}.
 Alle ihre Einträge sind entweder $-1$, $0$ oder $1$.
 
-\medskip
+\bigskip
 
-Man bekommt auch wieder  $\mathsf{D}^{l+1} \mathsf{D}^l = 0$, und wieder
+Zusätzlich zu $\bd_h \circ \bd_h = 0$ bekommt man auch wieder
 den Satz von de Rham.
 
 \begin{theorem}[Satz von de Rham für Koketten]
  Für jedes $l$, $0 \le l \le n$ gibt es einen Teilraum $\mathcal{HC}^l(\mathcal{T}) \subset \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$,
  so dass für alle $\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$
  \begin{align*}
-  \mathsf{D}^l \vec \omega = 0
+  \bd_h^l \vec \omega = 0
   \qquad \iff \qquad
   \exists \vec \eta \in \mathcal{C}^{l-1}(\mathcal{T}),
   \quad
   \vec \gamma \in \mathcal{HC}^l(\mathcal{T})
   \quad
-  \text{so dass $\vec \omega = \mathsf{D}^{l-1} \vec \eta + \vec \gamma$.}
+  \text{so dass $\vec \omega = \bd_h^{l-1} \vec \eta + \vec \gamma$.}
  \end{align*}
  Die Dimension von $\mathcal{HC}^l(\mathcal{T})$ ist die $l$-te Betti-Zahl von $\Omega$.
 \end{theorem}
@@ -7968,9 +8077,9 @@ den Satz von de Rham.
 Formal können wir die zwei ersten Maxwell-Gleichungen mit dem Koketten-Kalkül
 hinschreiben
 \begin{equation*}
- \mathsf{D}^1 \vec \be = -i\omega \vec \bb
+ \bd_h^1 \vec \be = -i\omega \vec \bb
  \qquad
- \mathsf{D}^1 \vec \bh = i\omega \vec \bd + \vec \bj.
+ \bd_h^1 \vec \bh = i\omega \vec \bd + \vec \bj.
 \end{equation*}
 Das ist eine Art Finite-Volumen-Diskretisierung.
 
@@ -8004,17 +8113,17 @@ einer Form über $F$ entspricht.
 
 Aus der Definition folgt direkt
 \begin{equation*}
- \mathsf{D}^l \circ \mathsf{I}_l = \mathsf{I}_{l+1} \circ \bd.
+ \bd_h^l \circ \mathsf{I}_l = \mathsf{I}_{l+1} \circ \bd.
 \end{equation*}
 Folgerung: Integralformen $\bE$, $\bB$, $\bH$, $\bD$,
 die die Maxwell-Gleichungen lösen erfüllen deshalb
 \begin{equation*}
- \mathsf{D}^1 \mathsf{I}_1 \bE = -i \omega \mathsf{I}_2 \bB
+ \bd_h^1 \mathsf{I}_1 \bE = -i \omega \mathsf{I}_2 \bB
  \qquad
- \mathsf{D}^1 \mathsf{I}_1 \bH = i \omega \mathsf{I}_2 \bD + \mathsf{I}_2 \bj.
+ \bd_h^1 \mathsf{I}_1 \bH = i \omega \mathsf{I}_2 \bD + \mathsf{I}_2 \bj.
 \end{equation*}
 
-Diese Diskretisierung ist konsistent, d.h. Lösungen der echten Gleichung
+Die Diskretisierung ist also konsistent: Lösungen der echten Gleichung
 lösen auch die diskrete Gleichung.
 
 
@@ -8025,8 +8134,8 @@ Wenn Koketten eine Art von Finiten Volumen sind, wie sehen dann Finite Elemente
 \medskip
 
 Wir stellen uns Koketten als eine Art Funktionswert auf den Elementen, Seiten, Kanten
-des Gitters vor, und erweitern sie zu Differentialformen auf ganz $\Omega$
-(durch Interpolation).
+des Gitters vor, und erweitern sie durch Interpolation
+zu Differentialformen auf ganz $\Omega$.
 
 \medskip
 
@@ -8053,13 +8162,13 @@ Was genau heißt \glqq sinnvoll\grqq{}? Wir fordern:
    \vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T}).
   \end{equation*}
 
- \item Die äußere Ableitung für Koketten und Whitney-Formen  müssen kommutieren
+ \item Die äußeren Ableitung für Koketten und Whitney-Formen sollen kommutieren
   \begin{equation*}
-   \bm{d} \circ \mathsf{W}^l = \mathsf{W}^{l+1} \circ \mathsf{D}^l.
+   \bm{d} \circ \mathsf{W}^l = \mathsf{W}^{l+1} \circ \bd_h^l.
   \end{equation*}
 
- \item Lokalität: Falls alle Koketten-Koeffizienten von $\vec \omega$ Null sind
-  auf den $l$-Seiten von $T \in \mathcal{S}_3(\mathcal{T})$, dann soll
+ \item Lokalität: Falls alle Koketten-Koeffizienten von $\vec \omega$
+  auf den $l$-Seiten von $T \in \mathcal{S}_3(\mathcal{T})$ Null sind, dann soll
   $\mathsf{W}^l \vec \omega |_T = 0$ sein.
 
  \item Die Vektorstellvertreter der Whitney-Formen sollten \glqq einfach\grqq{} sein.
@@ -8077,7 +8186,7 @@ mit Ecken $\ba_0$, $\ba_1$, $\ba_2$, $\ba_3$.
 Wir fangen mit $0$-Koketten an.
 
 Seien $\lambda_0,\dots,\lambda_3$ die baryzentrischen Koordinatenfunktionen auf $T$
-(aka die Lagrange-Polynome erster Ordnung).
+(anders ausgedrückt: die Lagrange-Polynome erster Ordnung).
 
 Sei $\vec \phi$ eine $0$-Kokette.  Diese hat Koeffizienten in den Ecken von $T$.
 Für einen Punkt $\bx \in T$ definieren wir
@@ -8092,12 +8201,11 @@ Man erhält auf diese Art genau die Lagrange-Elemente erster Ordnung.
 
 \subsubsection{Der Fall $l=1$}
 
-Was machen wir für die Fälle $l\ge 1$?
 \begin{itemize}
- \item Die Koeffizienten sitzen dann auf den Kanten, Seiten, etc.
+ \item Im Fall $l=1$ sitzen die Koeffizienten auf den Kanten des Gitters.
 
- \item Die Koeffizienten sind $\in \mathcal{C}$ für alle $l \ge 0$.
-  Ergebnis der Interpolation soll aber eine $l$-Form sein.
+ \item Die Koeffizienten sind komplexe Zahlen.
+  Ergebnis der Interpolation soll aber eine $1$-Form sein.
 \end{itemize}
 
 Idee:
@@ -8134,7 +8242,7 @@ $\bx, \by \in T$ als Linearkombination der Kanten von $T$ dar:
   \; : \; 0 \le t \le 1 \bigg\}.
 \end{align*}
 
-Wir fordern deshalb für die interpolierende
+Dann fordern wir für die interpolierende
 $1$-Form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
 \begin{equation*}
  \int_{(\bx,\by)} \mathsf{W}^1|_T \vec \omega
@@ -8144,19 +8252,6 @@ $1$-Form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
 Hier ist $\vec \omega_{(i,j)}$ ist der Wert den die $1$-Kokette $\vec \omega$
 der orientierten Kante $(\ba_i,\ba_j)$ zuweist.
 
-\medskip
-
-In der Summe $\sum_{i,j}$ kommt jede Kante zweimal vor,
-allerdings mit unterschiedlicher Orientierung.
-
-Deshalb kann man alternativ schreiben
-
-\begin{equation*}
- \int_{(\bx,\by)} \mathsf{W}^1|_T \vec \omega
- \colonequals
- \sum_{i < j} (\lambda_i(\bx)\lambda_j(\by) - \lambda_i(\by) \lambda_j(\bx)) \vec \omega_{(i,j)}.
-\end{equation*}
-
 \bigskip
 
 Wie macht man jetzt aber aus der Integralform $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
@@ -8166,6 +8261,7 @@ eine Differentialform?  Dafür benutzt man dass
  =
  l! \lim_{t \to 0} \int_{\Sigma_t} w,
 \end{equation*}
+für alle $l$-Differentialformen $\omega$,
 wobei $\Sigma_t$ der $l$-Simplex $(\bx, \bx+t\bv_1,\dots,\bx+t\bv_l)$ ist.
 
 \bigskip
@@ -8174,11 +8270,11 @@ Für $l=1$ erhält man einen sechsdimensionalen Vektorraum von $1$-Formen
 auf einem Tetraeder.  Mit Vektorstellvertretern geschrieben ist das
 gerade der Raum
 \begin{equation*}
- \Big\{ \bv : T \to \R^3 \; : \;
+ \Bigg\{ \bv : T \to \R^3 \; : \;
   \bv(\bx) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}
   +
   \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} \times \bx
- \Big\}.
+ \Bigg\}.
 \end{equation*}
 Das sind genau die Nédélec-Elemente niedrigster Ordnung.
 
@@ -8209,6 +8305,11 @@ Man erhält:
  \item für $l=3$: Stückweise konstante Finite Elemente.
 \end{itemize}
 
+Man kann auch Whitney-Formen höherer Ordnung konstruieren, und bekommt
+auch dann wieder die Lagrange, Nédélec, Raviart-Thomas-Elemente.
+Allerdings ist das deutlich komplizierter.
+Ein paar Details finden sich bei~\citet{hiptmair:2002}, Kapitel~3.4.
+
 
 \chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}