Verbessere ein paar Ungereimtheiten

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -4106,27 +4106,27 @@ folgendes versucht:
 \begin{itemize}
  \item Benutze sehr viele eindimensionale Teilräume
   \begin{equation*}
-   X_i^j = \operatorname{spann} \{\varphi_i^j\},
+   X_j^i = \operatorname{spann} \{\varphi_j^i\},
   \end{equation*}
-  einen für jede Knotenbasisfunktion $\varphi_i^j$, $j=1,\dots,n_i$ auf jeder
-  Ebene $i=0,\dots, J$.
+  einen für jede Knotenbasisfunktion $\varphi_j^i$, $i=1,\dots,n_j$ auf jeder
+  Ebene $j=1,\dots, J$.
 
- \item Berechne die Projektionen auf die $X_i^j$ \emph{exakt}.
+ \item Berechne die Projektionen auf die $X_j^i$ \emph{exakt}.
 \end{itemize}
 
 Stattdessen wählen wir jetzt folgenden alternativen Ansatz:
 \begin{itemize}
- \item Betrachte nur die größeren Räume $X_i$.
+ \item Betrachte nur die größeren Räume $X_j$.
 
- \item Interpretiere den Glätter auf Ebene $i$ als \emph{inexakte Projektion} auf $X_i$.
+ \item Interpretiere den Glätter auf Ebene $j$ als \emph{inexakte Projektion} auf $X_j$.
 \end{itemize}
 
 Dafür müssen wir die Teilraumkorrekturtheorie etwas erweitern:
 Sie muss inexakte Projektionen erlauben.
 
-\subsection{Der Konvergenzbeweis}
+\subsection{Mehrgitter als inexaktes Teilraumkorrekturverfahren}
 
-Sei also $X$ wieder ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum mit Skalarprodukten
+Sei $X$ wieder ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum mit Skalarprodukten
 $a(\cdot,\cdot)$ und $(\cdot,\cdot)$.
 
 \medskip
@@ -4138,11 +4138,11 @@ Teilräumen.
 
 Für jedes $j=1,\dots, J$ definieren wir den Operator $A_j : X_j\to X_j$ durch
 \begin{equation*}
-  a(x,y) = (A_{j}x,y) \quad \forall x,y\in X_{j}.
+  (A_j x,y) = a(x,y) \qquad \forall x,y\in X_{j}.
 \end{equation*}
 Der Operator $A_j$ ist für alle $j\in \set{1,\dots ,J }$ positiv definit und selbstadjungiert bzgl.\ $(\cdot,\cdot)$.
 
-\bigskip
+\medskip
 
 Die $a(\cdot,\cdot)$-Projektion $P_{j} : X \to X_{j}$ ist wieder durch
 \begin{equation*}
@@ -4157,7 +4157,7 @@ Zusätzlich benötigen wir jetzt auch die $(\cdot,\cdot)$-orthogonale Projektion
 $Q_j : X \to X_{j}$ für $j=1,\dots ,J$:
 Für alle $x\in X$ ist $Q_{j}x\in X_{j}$ das Element für das
 \begin{equation*}
-  (Q_jx,y) = (x,y) \quad \forall y\in X_{j}
+  (Q_jx,y) = (x,y) \qquad \forall y\in X_{j}
 \end{equation*}
 gilt.  Damit wird das Residuum auf die groben Gitter eingeschränkt.
 
@@ -4176,7 +4176,8 @@ Da die $X_i$ geschachtelt sind haben die Projektionsoperatoren einige besondere
   \end{equation}
 \end{lemma}
 
-Anschaulich besagt das Lemma, dass es irrelevant ist, von welchem Raum aus auf den Raum $X_{j}$ projiziert wird.
+Anschaulich besagt das Lemma, dass eine Projektion auf einen kleinen Raum alle Projektionen
+überdeckt, die eventuell vorher ausgeführt wurden.
 
 \begin{proof}
   Seien $x,y\in X$.
@@ -4192,7 +4193,9 @@ Anschaulich besagt das Lemma, dass es irrelevant ist, von welchem Raum aus auf d
   \begin{equation*}
     a((P_{j}P_{l}-P_{j})x,y) =0 \quad \forall y\in X.
   \end{equation*}
-  Mit $y= (P_{j}P_{l}-P_{j})x$ folgt Gleichung~\eqref{MGpjpleqpj}.
+  Diese Gleichung muss insbesondere für $y= (P_{j}P_{l}-P_{j})x$ gelten; deshalb folgt~\eqref{MGpjpleqpj}.
+
+  \medskip
 
   Gleichung~\eqref{MGplpjeqpj} erhalten wir mit
   \begin{equation*}
@@ -4210,21 +4213,29 @@ Die Projektionen $Q_j$ und $P_j$ stehen miteinander in Verbindung:
 \end{lemma}
 \begin{proof}
   Sei $x \in X_{l}$.
-  Dann gilt für alle $y\in X_{j}$ mit $j \leq l$
+  Dann gilt mit $j \leq l$
   \begin{equation*}
-    (Q_{j}A_{l}x,y)=(A_{l}x,y) = a(x,y) = a(P_{j}x,y)=(A_{j}P_{j}x,y).
-  \end{equation*}
-  Es folgt
-  \begin{equation*}
-    ((Q_{j}A_{l}-A_{j}P_{j})x,y)=0 \quad\forall y\in X_{j}.
+    (Q_{j}A_{l}x,y)=(A_{l}x,y) = a(x,y) = a(P_{j}x,y)=(A_{j}P_{j}x,y)
+    \qquad
+    \forall y \in X_j.
+    \qedhere
   \end{equation*}
-  Mit $y= (Q_{j}A_{l}-A_{j}P_{j})x$ folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
+\bigskip
+
+Zur Erinnerung und zum Festlegen der Notation wiederholen wir hier
+das Mehrgitterverfahren.  Wir definieren das Mehrgitterfahren als
+einen linearen Operator $\Theta_J : X \to X$, der zu einem linearen Verfahren
+\begin{equation*}
+ x^{k+1} = x^k + \Theta_J (f - Ax^k)
+\end{equation*}
+gehört.
+
 
 Wir definieren den abstrakten Mehrgitter-Operator $\Theta_{J}$ rekursiv:
 \begin{itemize}
- \item Sei $\Theta_1 \colonequals A_{1}^{-1}$.
+ \item $\Theta_1 \colonequals A_{1}^{-1}$.
  \item Für $j=1,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
 
  \begin{algorithm}[H]\label{MGVerfahrenAlg}
@@ -4244,18 +4255,17 @@ Wir definieren den abstrakten Mehrgitter-Operator $\Theta_{J}$ rekursiv:
 
 Dabei sei $R_{j}\colon X_{j} \to X_{j}$ ein bzgl.\ $(\cdot,\cdot)$ selbstadjungierter,
 positiv definiter Vorkonditionierer für ein lineares Verfahren.
-Dieses Verfahren wird der \emph{Glätter} des Mehrgitter-Verfahrens.
-
-Wir denken hauptsächlich wieder an das Jacobi-Verfahren ($R_j = \eta D_j^{-1}$)
-oder an das Gauß--Seidel-Verfahren ($R_j = (D_j + L_j)^{-1}$).
+Dieses Verfahren ist der \emph{Glätter} des Mehrgitter-Verfahrens.
 
-Das Gauß--Seidel-Verfahren $R_j = (D_j + L_j)^{-1}$ geht aber nicht, weil es
-nicht symmetrisch ist.
+\medskip
 
-Stattdessen nimmt man
+Wir denken dabei wieder an das Jacobi-Verfahren ($R_j = \eta D_j^{-1}$).
+Das Gauß--Seidel-Verfahren $R_j = (D_j + L_j)^{-1}$ geht nicht, weil es
+nicht symmetrisch ist. Stattdessen nimmt man
 \begin{itemize}
- \item Das symmetrische Gauß--Seidel-Verfahren
- \item Für die Nachglättung das Rückwarts-Gauß--Seidel-Verfahren.
+ \item das symmetrische Gauß--Seidel-Verfahren
+ \item das Gauß--Seidel-Verfahren für den Vorglätter und das
+   Rückwarts-Gauß--Seidel-Verfahren für den Nachglätter.
 \end{itemize}
 
 
@@ -4268,9 +4278,9 @@ wenn die Glätter bestimmte Eigenschaften erfüllen.
 
 \begin{theorem}\label{thm:absMGconvergence}
  Sei für jedes $j=1,\dots ,J$ der Glätter $R_{j}$ symmetrisch bzgl.\ $(\cdot,\cdot)$,
- positiv definit, invertierbar und so, dass er die Bedingungen
+ positiv definit und so, dass er die Bedingungen
  \begin{equation}\label{eq:scondition1}
-  a([I-R_{j}A_{j}]x,x) \geq 0,\quad \forall x \in X_{j}
+  a((I-R_{j}A_{j})x,x) \geq 0,\quad \forall x \in X_{j}
  \end{equation}
  und
  \begin{equation}\label{eq:scondition2}
@@ -4280,16 +4290,19 @@ für eine Konstante $\alpha$ erfüllt.
 Dann gilt
 \begin{alignat}{2}
 \label{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound}
-  0 \leq & a([I-\Theta_{J}A_{J}]x,x) & \qquad & \forall x \in X \\
+  0 \leq \; & a((I-\Theta_{J}A_{J})x,x) & \qquad & \forall x \in X \\
 \label{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}
-         & a([I-\Theta_{J}A_{J}]x,x) \leq \delta a(x,x), & & \forall x \in X
+         & a((I-\Theta_{J}A_{J})x,x) \leq \delta a(x,x), & & \forall x \in X
 \end{alignat}
 mit $\delta = \frac{\alpha}{\alpha + 2m}$.
 \end{theorem}
 
 Aus diesen zwei Ungleichungen folgt die Konvergenz des Mehrgitterverfahrens:
 \begin{itemize}
- \item Wegen~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound} ist
+ \item Die Iterationsmatrix $I - \Theta_J A$ des Mehrgitteroperators ist
+   selbstadjungiert bzgl.\ $a(\cdot,\cdot)$.
+   \todo[inline]{Beweis?}
+ \item Wegen~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound} ist deshalb
   \begin{equation*}
    \lambda_\text{min}(I - \Theta_JA_J)
    =
@@ -4297,7 +4310,6 @@ Aus diesen zwei Ungleichungen folgt die Konvergenz des Mehrgitterverfahrens:
    \ge
    0.
   \end{equation*}
-  \todo[inline]{Dafür muss $I - \Theta_J A_J$ selbstadjungiert sein!}
 
  \item Also ist $\rho(I - \Theta_J A_J) = \lambda_\text{max}(I-\Theta_J A_J)$.
 \end{itemize}
@@ -4307,7 +4319,7 @@ Aus~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound} folgt dass
  \lambda_\text{max} ( I - \Theta_J A_J)
  =
  \sup_{\norm{x} \neq 0} \frac{a([I-\Theta_{J}A_{J}]x,x)}{a(x,x)}
- =
+ \le
  \delta.
 \end{equation*}
 Damit ist das iterative Verfahren
@@ -4328,16 +4340,12 @@ Das machen wir in Kapitel~\ref{}.
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{thm:absMGconvergence}:
 Die untere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound}]
   Der Beweis wurde \cite{bramble1993multigrid} entnommen.
-  Aus der Definition des Mehrgitterverfahrens
-  folgt für $j=2,\dots ,J$ die Rekursionsvorschrift
-  \todo[inline]{Nachrechnen!}
-  \begin{equation}\label{defRec}
-    I-\Theta_{j}A_{j} = K_{j}^m[ (I-P_{j-1}) + (I - \Theta_{j-1}A_{j-1})P_{j-1} ]K_{j}^m
-  \end{equation}
-  mit $K_{j} : X_{j} \to X_{j}$, $K_{j}\colonequals I-R_{j}A_{j}$.
 
   \medskip
 
+  Sei $K_{j} : X_{j} \to X_{j}$, $K_{j}\colonequals I-R_{j}A_{j}$ die Iterationsmatrix
+  des Glätters.
+
   Da $R_{j}$ symmetrisch bezüglich des Skalarprodukts $(\cdot,\cdot)$ ist, folgt
   \begin{equation}\label{KAsym}
     a(K_{j}x,y)
@@ -4351,9 +4359,9 @@ Die untere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound}]
   \end{equation}
   d.h.\ $K_{j}$ ist symmetrisch bzgl.\ $a(\cdot,\cdot)$.
 
-  \bigskip
+  \medskip
 
-  Nun zeigen wir via vollständiger Induktion über $j$, dass
+  Wir zeigen mittels vollständiger Induktion über $j$ dass
   \begin{equation}\label{indulowerBound}
     a((I-\Theta_{j}A_{j})x,x) \geq 0\quad \forall x\in X_{j}.
   \end{equation}
@@ -4362,14 +4370,30 @@ Die untere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_lower_bound}]
   \begin{equation*}
     a((I- \underbrace{ \Theta_{1}A_{1}}_{=I})x,x) = 0 \quad \forall x\in X_{1}.
   \end{equation*}
-  Für den Induktionsschritt von $j-1$ zu $j$ benötigen wir die Gleichung
+
+  Für den Induktionsschritt von $j-1$ zu $j$
+  stellen wir das Mehrgitterverfahren für $j=2,\dots, J$ als
+  \begin{align}
+   \nonumber
+    I-\Theta_{j}A_{j}
+    & =
+    K_{j}^m[ I - \Theta_{j-1}Q_{j-1} A_j ]K_j^m \\
+    \label{eq:defRec}
+    & =
+    K_{j}^m[ (I-P_{j-1}) + (I - \Theta_{j-1}A_{j-1})P_{j-1} ]K_{j}^m
+  \end{align}
+  dar.
+
+  \medskip
+
+  Außerdem benötigen wir die Gleichung
   \begin{equation}\label{idminuspsqrteqidminusp}
     (I-P_{j})^2 = I - 2P_{j} + \underbrace{P_{j}P_{j}}_{=P_{j}} = I-P_{j}.
   \end{equation}
   Dann gilt für ein beliebiges $x\in X_{j}$
   \begin{align*}
     a((I-\Theta_{j}A_{j})x,x)
-    \stackrela{\eqref{defRec}}{=}
+    \stackrela{\eqref{eq:defRec}}{=}
     a(K_{j}^m(I-P_{j-1})K_{j}^mx,x) \\
     %
     &\quad + a(K_{j}^m(I - \Theta_{j-1}A_{j-1})P_{j-1} K_{j}^mx,x)\\
@@ -4397,12 +4421,14 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
 
   Wir zeigen die Abschätzung
   \begin{equation*}
-    a([I-\Theta_{J}A_{J}]x,x) \leq \delta a(x,x) \quad \forall x \in X
+    a([I-\Theta_{J}A_{J}]x,x) \leq \frac{\alpha}{\alpha+2m} a(x,x)
+    \qquad \forall x \in X
   \end{equation*}
   durch vollständige Induktion über $j$.
 
-  Definiere $\delta \colonequals \frac{\alpha}{\alpha+2m}$ unabhängig von  $j$.
-  Sei
+  \medskip
+
+  Definiere $\delta \colonequals \frac{\alpha}{\alpha+2m}$, und sei
   \begin{equation}\label{inducUpperBound}
     a([I-\Theta_{j-1}A_{j-1}]x,x) \leq \delta a(x,x) \quad \forall x \in X_{j-1}
   \end{equation}
@@ -4412,12 +4438,12 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
   \begin{equation*}
     a((I- \underbrace{\Theta_{1}A_{1}}_{=I})x,x) = 0 \quad \forall x\in X_{1}.
   \end{equation*}
-  Wir nehmen an, dass \eqref{inducUpperBound} für $j-1$ gilt.
+  Wir nehmen nun an, dass \eqref{inducUpperBound} gilt.
   Definiere für eine kompakte Notation $\til x \colonequals K_{j}^m x$.
   Dann gilt
   \begin{align*}
     a((I-\Theta_{j}A_{j})x,x)
-    \stackrela{\eqref{defRec}}{=}
+    \stackrela{\eqref{eq:defRec}}{=}
     a((I-P_{j-1})\til x,\til x) + a((I - \Theta_{j-1}A_{j-1})P_{j-1} \til x,P_{j-1} \til x)\\
     %
     \stackrela{\eqref{inducUpperBound}}{\leq}
@@ -4445,6 +4471,8 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
     %
     \stackrela{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq}
     (R_{j}^{-1} (I-P_{j-1})\til x,(I-P_{j-1})\til x)^{\frac{1}{2}}( \underbrace{R_{j}^{-1} R_{j}}_{=I}A_{j}\til x,R_{j}A_{j}\til x)^{\frac{1}{2}}\\
+    \intertext{(hier fehlt kein $R_j^{-1}$, denn die Bilinearform ist ja $(R_j^{-1}\cdot,\cdot)$
+      und nicht $(\cdot,\cdot)$,)}
     %
     \stackrela{\text{Bedingung~\eqref{eq:scondition2}}}{\leq}
     \sqrt{\alpha} a((I-P_{j-1})\til x,(I-P_{j-1})\til x)^{\frac{1}{2}} a(R_{j}A_{j}\til x,\til x)^{\frac{1}{2}}\\
@@ -4452,7 +4480,6 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
     \stackrela{\text{Def.~$K_{j}$}}{=}
     \sqrt{\alpha} a((I-P_{j-1})\til x,\til x)^{\frac{1}{2}} a((I-K_{j})\til x,\til x)^{\frac{1}{2}}.
   \end{align*}
-  \todo[inline]{Fehlt nach der CS-Ungleichung nicht ein $R_j^{-1}$?}
   Daraus folgt
   \begin{equation*}
     a((I-P_{j-1})\til x,\til x)
@@ -4477,9 +4504,9 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
 
   \medskip
 
-  Für $z\in [0,1]$ gilt $z^{2m} \leq z^i$ mit $i\leq 2m$.
+  Für $z\in [0,1]$ gilt $z^{2m} \leq z^i$ für alle $i\leq 2m$, und somit auch
+  $z^{2m} \le \frac{1}{2m} \sum_{i=0}^{2m-1} z^i$.
   Damit ergibt sich die Ungleichung
-  \todo[inline]{Nachrechnen!}
   \begin{equation*}
     (1-z)z^{2m} \leq \frac{1}{2m}(1-z) \sum_{i=0}^{2m-1} z^i = \frac{1}{2m}(1-z^{2m}).
   \end{equation*}
@@ -4495,7 +4522,7 @@ Die obere Schranke~\eqref{eq:abstract_mg_convergence_upper_bound}]
   \begin{align*}
     a((I-\Theta_{j}A_{j})x,x) &\leq (1-\delta) a((I-P_{j-1})K_{j}^m x,K_{j}^m x) + \delta a(K_{j}^m x,K_{j}^m x)\\
                               &\leq (1-\delta)\alpha a((I-K_{j})K_{j}^{2m} x,x) + \delta a( K_{j}^mx,K_{j}^mx)\\
-                              &\leq \frac{\alpha}{2m}(1-\delta) ( a(x,x) - a(K_{j}^mx,K_{j}^mx) ) + \delta a(K_{j}^mx,K_{j}^mx)\\
+                              &\leq \frac{\alpha}{2m}(1-\delta) \Big[ a(x,x) - a(K_{j}^mx,K_{j}^mx) \Big] + \delta a(K_{j}^mx,K_{j}^mx)\\
                               &\leq \frac{\alpha}{2m}(1-\delta) a(x,x)+ ( \delta - \frac{\alpha}{2m}(1-\delta))a(K_{j}^mx,K_{j}^mx).
   \end{align*}
   Für $\delta = \frac{\alpha}{\alpha +2m}$ gilt