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From: Oliver Sander <oliver.sander@tu-dresden.de>
Date: Wed, 20 Oct 2021 13:10:29 +0200
Subject: [PATCH] Tippfehler korrigiert
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Alle gefunden von Robin Fränzel.  Vielen Dank!
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 skript-mehrgitter-sander.tex | 20 ++++++++++----------
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index f673bfa..104ebad 100644
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+++ b/skript-mehrgitter-sander.tex
@@ -295,7 +295,7 @@ Dann hat die Variationsgleichung
 a(u,v) = \ell(v)
 \qquad v \in H
 \end{equation*}
-for jedes $\ell \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
+für jedes $\ell \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
 \end{theorem}
 
 
@@ -1657,7 +1657,7 @@ Wie gut ist das Verfahren in der Praxis?
 Wieder das Modellproblem
 \begin{alignat*}{2}
  - \Delta u & = 1  & \qquad & \text{auf $\Omega \colonequals (0,1)^2$} \\
- u & 0 & & \text{auf $\partial \Omega$},
+ u & = 0 & & \text{auf $\partial \Omega$},
 \end{alignat*}
 mit einem strukturierten Gitter.
 
@@ -2127,7 +2127,7 @@ des $\R^N$ definiert worden.  Wir brauchen sie aber auch für Finite-Elemente-Fu
 
 Um die $h$-Abhängigkeit richtig zu sehen brauchen wir die skalierte Steifigkeitsmatrix
 \begin{equation*}
- A_h \colonequals h^d A,
+ A_h \colonequals h^{-d} A,
  \qquad
  \text{also}
  \qquad
@@ -4275,7 +4275,7 @@ gehört.
 Wir definieren den abstrakten Mehrgitter-Operator $\Theta_{J}$ rekursiv:
 \begin{itemize}
  \item $\Theta_1 \colonequals A_{1}^{-1}$.
- \item Für $j=1,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
+ \item Für $j=2,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
 
  \begin{algorithm}[H]\label{MGVerfahrenAlg}
   \DontPrintSemicolon
@@ -6299,7 +6299,7 @@ Transformationseigenschaften besitzt.
 
 \begin{definition}[kovariante Piola-Transformation]\label{rtPiola}
   Seien $K$ und $\hat{K}$ zwei beliebige nicht degenerierte, affine Tetraeder.
-  Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung  mit $\bF\bv=\bB\bv +\bb$.
+  Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung  mit $\bF\hat{\bx}=\bB\hat{\bx} +\bb$.
   Definiere die \emph{kovariante Piola-Transformation} von $\hat{\bv}\in\bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$ durch
   \begin{equation}
     \bv(\bx) = \frac{1}{\det\bB}  \bB\hat{\bv}(\bF^{-1}(\bx)).
@@ -6595,7 +6595,7 @@ enthält keine Terme höchster Ordnung.}
 
 
 \begin{remark}
-  Für die Freiheitsgrade vom Type~II identifizieren wir den zweidimensionalen Vektor $\bq_{f,i}$ mit einem entsprechendem dreidimensionalem Vektor aus dem Tangentialraum der Seite $f$ .
+  Für die Freiheitsgrade vom Typ~II identifizieren wir den zweidimensionalen Vektor $\bq_{f,i}$ mit einem entsprechendem dreidimensionalem Vektor aus dem Tangentialraum der Seite $f$ .
   Dies genügt, da für zwei Vektoren $\bu,\bn\in \R^3$
   \begin{equation*}
     (\bu \times \bn)\cdot \bn =  0
@@ -6652,10 +6652,10 @@ Damit ist sichergestellt, dass eine duale Basis zu $M^K_{k}$ existiert.
 
 \begin{definition}[kontravariante Piola-Transformation]\label{nedelecPiola}
   Seien $K$ und $\hat{K}$ zwei beliebige nicht degenerierte, affine Tetraeder.
-  Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung  mit $\bF\bv=\bB\bv +\bb$.
+  Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung  mit $\bF\hat{\bx} = \bB\hat{\bx} +\bb$.
   Definiere die \textit{kontravariante Piola-Transformation} von $\hat{\bv}\in\bm{\Xi}_{k}^{\hat{K}}$ durch
   \begin{equation}
-    \bq(\bx) = \bB^{-T} \hat{\bq}(\bF^{-1}(\bx)),\quad \hat{\bq}\in \bm{\Xi^{\hat{K}}}.
+    \bv(\bx) = \bB^{-T} \hat{\bv}(\bF^{-1}(\bx)),\quad \hat{\bv}\in \bm{\Xi^{\hat{K}}}.
   \end{equation}
 \end{definition}
 
@@ -6724,7 +6724,7 @@ Definiere die Menge
   \begin{equation}\label{defQh}
     \bQ_{h}
     \colonequals
-    \set[\Big]{\bv\in \bm{\Sigma}_{k}^{\T_{h}}\ :\ \forall f\in \F_{h}\backslash\d\Omega: ([[\bv]]_{f}\times \bn) |_f = 0 }
+    \set[\Big]{\bv\in \bm{\Xi}_{k}^{\T_{h}}\ :\ \forall f\in \F_{h}\backslash\d\Omega: ([[\bv]]_{f}\times \bn) |_f = 0 }
   \end{equation}
   ist eine Teilmenge von $\bH(\curl)$.
 \end{theorem}
@@ -8369,7 +8369,7 @@ Die zu den Bilinearformen gehörigen Differentialoperatoren sind
   Funktionen Eigenfunktionen von $A^d$ zum Eigenwert $\rho^2$;
   diese können hochoszillativ sein.
 
-  Ein \glqq normaler\grqq{} Glätter entfernt aber genau die Anteil des Fehlers
+  Ein \glqq normaler\grqq{} Glätter entfernt aber genau die Anteile des Fehlers
   mit hohen Eigenwerten.
 
  \item Gleichzeitig verhält sich $A^d$ insgesamt nicht wie die Identität:
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