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......@@ -2120,21 +2120,23 @@ Finite-Elemente-Raum benutzen.
\begin{lemma}[\citet{braess:2013}, Hilfssatz~V.2.5]
Mit einer von $h$ unabhängigen Zahl $c$ gilt
\begin{equation*}
\begin{equation}
\label{eq:discrete_l2_equivalence}
c^{-1} \norm{v_h}_0 \le \triplenorm{v_h}_0 \le c \norm{v_h}_0,
\end{equation*}
\end{equation}
sowie
\begin{equation*}
\begin{equation}
\label{eq:discrete_h1_equivalence}
c^{-1} \norm{v_h}_1
\le
\triplenorm{v_h}_1
\le
c \norm{v_h}_1.
\end{equation*}
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Die Ungleichungen~\eqref{} folgen direkt aus der
Die Ungleichungen~\eqref{eq:discrete_h1_equivalence} folgen direkt aus der
$H^1$-Elliptizität von $a(\cdot,\cdot)$, und der Tatsache dass
\begin{equation*}
\triplenorm{v_h}_1^2
......@@ -2142,7 +2144,7 @@ Finite-Elemente-Raum benutzen.
a(v_h,v_h).
\end{equation*}
Um~\eqref{} zu beweisen transformiere elementweise
Um~\eqref{eq:discrete_l2_equivalence} zu beweisen transformiere elementweise
auf das Referenzelement. Dort sind
\begin{equation*}
\norm{v_h}_{0,T} = \sqrt{\int_T v_h^2\,dx}
......@@ -2160,6 +2162,7 @@ Für größere $s$ gilt keine $h$-unabhängige Äquivalenz zu
entsprechenden Sobolev-Normen.
\begin{lemma}[\citet{braess:2013}, Hilfssatz~2.6]
\label{lem:mg_klassisch_eigenwertschranken}
Es gilt
\begin{equation*}
\lambda_\text{min}(A_h) \ge c^{-1}
......@@ -2298,7 +2301,7 @@ Sei $u_h^k$ die aktuelle Iterierte in $V_h$.
\begin{enumerate}
\item \emph{Glättungsschritt:} Man führe $\nu$ Glättungsschritte durch:
\begin{equation*}
h_h^{k,1} = S^\nu u_h^k
u_h^{k,1} = S^\nu u_h^k
\end{equation*}
mit
\begin{equation*}
......@@ -2345,9 +2348,13 @@ dieser Darstellung die Prolongationsoperatoren.
\qquad
(\text{Lemma~\ref{lem:mg_klassisch_glaettung}}) \\
& \le
\frac{1}{\eta} \frac{c}{\nu} \norm{u^k - u^*}_0
\qquad
(\text{wegen \eqref{eq:discrete_l2_equivalence}}) \\
& \le
\frac{c}{\nu} h^{-2} \norm{u^k - u^*}_0
\qquad
(\text{Lemma~\ref{}}).
(\text{Lemma~\ref{lem:mg_klassisch_eigenwertschranken}}).
\end{align*}
Die Grobgitterkorrektur $u_{2h}$ löst
......
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