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......@@ -213,3 +213,12 @@ year = {2013}
pages = {454--481},
doi = {10.1093/imanum/dry073}
}
@Article{reusken:1988,
author = {Arnold Reusken},
title = {Convergence of the Multilevel Full Approximation Scheme including the $V$-Cycle},
journal = {Numerische Mathematik},
year = {1988},
volume = {53},
pages = {663--686},
}
......@@ -10490,10 +10490,49 @@ Man bekommt den folgenden schematischen Ablauf (\cite{trottenberg_oosterlee_schu
Für ein FAS mit mehr als zwei Gittern löst man jetzt einfach wieder die
Grobgitterfehlergleichung~\eqref{eq:fas_coarse_error_equation} inexakt mit FAS.
\todo[inline]{Man erhält das folgende Verfahren:}
\medskip
Man erhält das folgende Verfahren:
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\KwIn{Given $u^\nu$}\label{alg:tnnmg_smoothing}
\Begin(Nichtlineares Vorglätten){
Berechne $\bar{u}^m_k$ durch Anwenden von $\nu_1$ Glättungsschritten auf $u^m_k$ \\
\begin{align*}
\bar{u}^m_k = \operatorname{SMOOTH}^{\nu_1}(u_k^m, A_k, f_k)
\end{align*}
}
\Begin(Grobgitterkorrektur){
Berechne den Defekt: \qquad $d_k = f_k - A_k \bar{u}^m_k$\\
Restringiere den Defekt: \qquad $d_{k-1} = I_k^{k-1} d_k$ \\
Restringiere $\bar{u}^m_k$: \qquad $\bar{u}^m_{k-1} = \hat{I}_k^{k-1} \bar{u}^m_k$ \\
Berechne die rechte Seite: \qquad $f_{k-1} = d_{k-1} + A_{k-1}\bar{u}^m_{k-1}$ \\
Berechne eine approximative Lösung $\hat{w}^m_{k-1}$ der Grobgittergleichung
auf dem $k-1$-ten Gitter
\begin{equation*}
A_{k-1}w^m_{k-1} = f_{k-1}.
\end{equation*}
Falls $k=1$: Durch einen passenden nichtlinearen Löser \\
Falls $k>1$: Durch $\gamma$ FAS-Iterationen auf Ebene $k-1$,
mit $\bar{u}^m_{k-1}$ als Startiterierter. \\
Berechne die Korrektur: \qquad $v_{k-1}^m = \hat{w}^m_{k-1} - \bar{u}^m_{k-1}$ \\
Interpoliere die Korrektur: \qquad $v_k^m = I_{k-1}^k v^m_{k-1}$ \\
Addiere sie zur aktuellen Iterierten: \qquad $u^{m,\text{nach GGK}}_k = \bar{u}_k^m + v_k^m$.\\
}
\Begin(Nachglätten){
Berechne $u^{m+1}_k$ durch Anwenden von $\nu_2$ Glättungsschritten auf $u^{m,\text{nach GGK}}_k$ \\
\begin{align*}
\bar{u}^m_k = \operatorname{SMOOTH}^{\nu_1}(u_k^m, A_k, f_k)
\end{align*}
}
\end{algorithm}
Es gibt kaum Konvergenztheorie für diesen Algorithmus. Ein Beispiel
ist \cite{reusken}.
ist \cite{reusken:1988}.
\section{Abgeschnittenes Newton-Mehrgitter (TNNMG)}
......
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