From ea237944d2aab7276d3eeeadd02fef696ca1717c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Oliver Sander <oliver.sander@tu-dresden.de>
Date: Sun, 3 Oct 2021 06:50:20 +0200
Subject: [PATCH] Mehr zu FAS
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skript-mehrgitter-sander.bib | 9 ++++++++
skript-mehrgitter-sander.tex | 43 ++++++++++++++++++++++++++++++++++--
2 files changed, 50 insertions(+), 2 deletions(-)
diff --git a/skript-mehrgitter-sander.bib b/skript-mehrgitter-sander.bib
index c13801e..1f74c5e 100644
--- a/skript-mehrgitter-sander.bib
+++ b/skript-mehrgitter-sander.bib
@@ -213,3 +213,12 @@ year = {2013}
pages = {454--481},
doi = {10.1093/imanum/dry073}
}
+
+@Article{reusken:1988,
+ author = {Arnold Reusken},
+ title = {Convergence of the Multilevel Full Approximation Scheme including the $V$-Cycle},
+ journal = {Numerische Mathematik},
+ year = {1988},
+ volume = {53},
+ pages = {663--686},
+}
diff --git a/skript-mehrgitter-sander.tex b/skript-mehrgitter-sander.tex
index b983659..9d6334c 100644
--- a/skript-mehrgitter-sander.tex
+++ b/skript-mehrgitter-sander.tex
@@ -10490,10 +10490,49 @@ Man bekommt den folgenden schematischen Ablauf (\cite{trottenberg_oosterlee_schu
Für ein FAS mit mehr als zwei Gittern löst man jetzt einfach wieder die
Grobgitterfehlergleichung~\eqref{eq:fas_coarse_error_equation} inexakt mit FAS.
-\todo[inline]{Man erhält das folgende Verfahren:}
+\medskip
+
+Man erhält das folgende Verfahren:
+
+\begin{algorithm}[H]
+\SetAlgoLined
+ \KwIn{Given $u^\nu$}\label{alg:tnnmg_smoothing}
+ \Begin(Nichtlineares Vorglätten){
+ Berechne $\bar{u}^m_k$ durch Anwenden von $\nu_1$ Glättungsschritten auf $u^m_k$ \\
+ \begin{align*}
+ \bar{u}^m_k = \operatorname{SMOOTH}^{\nu_1}(u_k^m, A_k, f_k)
+ \end{align*}
+ }
+
+ \Begin(Grobgitterkorrektur){
+ Berechne den Defekt: \qquad $d_k = f_k - A_k \bar{u}^m_k$\\
+ Restringiere den Defekt: \qquad $d_{k-1} = I_k^{k-1} d_k$ \\
+ Restringiere $\bar{u}^m_k$: \qquad $\bar{u}^m_{k-1} = \hat{I}_k^{k-1} \bar{u}^m_k$ \\
+ Berechne die rechte Seite: \qquad $f_{k-1} = d_{k-1} + A_{k-1}\bar{u}^m_{k-1}$ \\
+ Berechne eine approximative Lösung $\hat{w}^m_{k-1}$ der Grobgittergleichung
+ auf dem $k-1$-ten Gitter
+ \begin{equation*}
+ A_{k-1}w^m_{k-1} = f_{k-1}.
+ \end{equation*}
+ Falls $k=1$: Durch einen passenden nichtlinearen Löser \\
+ Falls $k>1$: Durch $\gamma$ FAS-Iterationen auf Ebene $k-1$,
+ mit $\bar{u}^m_{k-1}$ als Startiterierter. \\
+ Berechne die Korrektur: \qquad $v_{k-1}^m = \hat{w}^m_{k-1} - \bar{u}^m_{k-1}$ \\
+ Interpoliere die Korrektur: \qquad $v_k^m = I_{k-1}^k v^m_{k-1}$ \\
+ Addiere sie zur aktuellen Iterierten: \qquad $u^{m,\text{nach GGK}}_k = \bar{u}_k^m + v_k^m$.\\
+
+
+ }
+ \Begin(Nachglätten){
+ Berechne $u^{m+1}_k$ durch Anwenden von $\nu_2$ Glättungsschritten auf $u^{m,\text{nach GGK}}_k$ \\
+ \begin{align*}
+ \bar{u}^m_k = \operatorname{SMOOTH}^{\nu_1}(u_k^m, A_k, f_k)
+ \end{align*}
+ }
+\end{algorithm}
Es gibt kaum Konvergenztheorie für diesen Algorithmus. Ein Beispiel
-ist \cite{reusken}.
+ist \cite{reusken:1988}.
\section{Abgeschnittenes Newton-Mehrgitter (TNNMG)}
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