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Sander, Oliver
skript-mehrgitter
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eb836888
Commit
eb836888
authored
Jun 06, 2021
by
Sander, Oliver
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Mehr zu H(curl) und H(div)
parent
2594fbb5
Pipeline
#6502
failed with stage
in 2 minutes and 28 seconds
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skript-mehrgitter-sander.tex
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eb836888
...
...
@@ -5737,11 +5737,184 @@ aber beide Inklusionen sind echt.
Wiederholen Sie die Übung für
$
H
(
\div
)
$
.
\end{exercise}
Sowohl
$
H
(
\curl
)
$
als auch
$
H
(
\div
)
$
sind Hilbert-Räume mit den
Skalarprodukten
\begin{equation*}
(
\bu
,
\bv
)
_
\text
{
curl
}
\colonequals
\int
_
\Omega
\curl
\bu
\cdot
\curl
\bv\,
dx +
\int
_
\Omega
\bu
\cdot
\bv\,
dx
\end{equation*}
bzw.
\begin{equation*}
(
\bu
,
\bv
)
_
\text
{
div
}
\colonequals
\int
_
\Omega
\div
\bu
\cdot
\div
\bv\,
dx +
\int
_
\Omega
\bu
\cdot
\bv\,
dx.
\end{equation*}
Die induzierten Normen bezeichnen wir mit
$
\norm
{
\cdot
}_
\text
{
curl
}$
bzw.
\
$
\norm
{
\cdot
}_
\text
{
div
}$
.
\begin{lemma}
Die Bilinearform
\begin{equation*}
a
_
\textup
{
curl
}
(
\bu
,
\bv
)
\colonequals
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\cdot
\curl
\bv\,
dx +
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv
,dx
\end{equation*}
ist
$
H
(
\curl
)
$
-elliptisch wenn
$
\mu
,
\kappa
>
0
$
.
\end{lemma}
\todo
[inline]
{
Was ist mit komplexen
$
\kappa
$
?
}
Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das
$
\curl
\curl
$
-Problem damit eine
eindeutige Lösung in
$
H
(
\curl
)
$
.
\medskip
Mutatis mutandis gilt das gleiche für das
$
\grad
\div
$
-Problem.
\medskip
Man beachte dass die Parameter
$
\mu
^{
-
1
}$
und
$
\kappa
$
in den
Stetigkeits- und Elliptizitätskonstanten erscheinen. Gleichzeitig
können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
unabhängig von
$
\mu
$
und
$
\kappa
$
sind.
\bigskip
\todo
[inline]
{
Stetigkeit von Funktionen in
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$}
\subsection
{
Die Helmholtz-Zerlegung
}
Für die Poisson-Gleichung spielen die konstanten Funktionen eine
besondere Rolle, denn sie sind der Kern von
$
\nabla
$
.
Für
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$
passiert etwas ähnliches.
\bigskip
Der starke Operator des
$
\div
\div
$
-Problems ist
\begin{equation*}
I -
\nabla
\div
.
\end{equation*}
Für alle
$
\bu
$
mit
$
\bu
=
\curl
\ba
$
ist das die Identität.
(Und das bedeutet z.
\,
B.
\
dass eine dazugehörige Steifigkeitsmatrix
unabhängig von
$
h
$
konditioniert ist.)
\medskip
Falls
$
\bu
$
ein Gradientenfeld ist, also
$
\bu
=
\nabla
\varphi
$
für eine skalare Funktion
$
\varphi
$
, so ist
\begin{equation*}
(I -
\nabla
\div
)
\bu
= (I -
\Delta
)
\bu
,
\end{equation*}
also
$
H
^
1
$
-elliptisch.
\medskip
Für den
$
H
(
\curl
)
$
-Raum ist es umgekehrt:
\begin{equation*}
(I -
\curl
\curl
)
\bu
= I
\bu
\end{equation*}
für alle
$
\bu
=
\nabla
\varphi
$
mit einer skalaren Funktion
$
\varphi
$
.
Für ein Vektorfeld
$
\bu
$
mit einem Vektorpotential
$
\ba
$
erhält man
\todo
[inline]
{
Ausrechnen!
}
Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
spielen also eine besondere Rolle. Kurioserweise lassen sich
alle Vektorfelder so darstellen.
\todo
[inline]
{
Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung
}
\begin{theorem}
[Helmholtz-Zerlegung]
Auf einem Gebiet
$
\Omega
$
in
$
\R
^
3
$
mit
$
C
^
2
$
-Rand lässt sich jedes
Vektorfold
$
\bu
\in
L
^
2
(
\Omega
)
^
3
$
darstellen als Summe
\begin{equation*}
\bu
=
\nabla
\phi
+
\curl
\ba
\end{equation*}
mit
$
\phi
\in
H
^
1
(
\Omega
)
$
und
$
\ba
\in
H
(
\curl
)
$
.
Diese Zerlegung ist
$
L
^
2
$
- und
$
H
(
\div
)
$
-orthogonal.
\end{theorem}
\todo
[inline]
{
Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!
}
Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.
\subsection
{
Der de Rham Komplex
}
Der Zusammenhang zwischen den diversen Funktionenräumen und
Differentialoperatoren wird durch den sogenannten
\emph
{
de Rham Komplex
}
zusammengefasst:
\begin{equation*}
\begin{array}
{
ccccccccc
}
\R
&
\overset
{
\text
{
id
}}{
\longrightarrow
}
&
H
^
1(
\Omega
)
&
\overset
{
\nabla
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\curl
)
&
\overset
{
\curl
}{
\longrightarrow
}
&
H(
\div
)
&
\overset
{
\div
}{
\longrightarrow
}
&
L
^
2(
\Omega
).
\end{array}
\end{equation*}
\begin{definition}
{
Kokettenkomplex
}
Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge
$
X
^
i
$
,
$
i
\in
\mathbb
{
Z
}$
von Vektorräumen, und einer Folge von linearen Abbildungen
$
d
^
i : X
^
i
\to
X
^{
i
+
1
}$
mit der Eigenschaft
\begin{equation*}
d
^{
i+1
}
\circ
d
^
i = 0.
\end{equation*}
\end{definition}
Der de Rham-Komplex ist tatsächlich solch ein Komplex, denn
\begin{align*}
d
^
1
\circ
d
^
0
&
=
\nabla
\text
{
konst
}
= 0
\\
d
^
2
\circ
d
^
1
&
=
\curl
\nabla
= 0
\\
d
^
3
\circ
d
^
1
&
=
\div
\curl
= 0.
\end{align*}
Ein anderes Beispiel: der Simplizialkomplex
\begin{itemize}
\item
$
X
^
i
=
$
Menge aller
$
i
$
-dimensionalen Simplizes mit Vielfachheit
im
$
n
$
-dimensionalen Raum
\item
$
d
^
i : X
^
i
\to
X
^{
i
-
1
}$
der Randoperator.
\end{itemize}
Jedes
$
d
^
i
$
bildet also in den Kern von
$
d
^{
i
+
1
}$
ab.
Wichtig ist die Frage ob diese Abbildung surjektiv ist.
Die Art der Nichtsurjektivität sagt etwas über die Topologie von
$
\Omega
$
aus.
\begin{theorem}
{
Satz von de Rham
}
Seien
$
\mathcal
{
F
}_
0
,
\dots
,
\mathcal
{
F
}_
5
$
die Funktionenräume aus dem
de Rham-Komplex. Für alle
$
i
$
existiert eine endlich-dimensionaler
Teilraum
$
\mathcal
{
H
}$
von
$
L
^
2
$
so dass für alle
$
\bu
\in
\mathcal
{
F
}^
i
$
gilt
\begin{equation*}
d
^
i
\bu
= 0
\quad
\iff
\quad
\exists
\eta
\in
\mathcal
{
F
}^{
i-1
}
,
\tau
\in
\mathcal
{
H
}^
i
\text
{
mit
$
\bu
=
d
^{
i
-
1
}
\eta
+
\tau
$}
\end{equation*}
\end{theorem}
Die Dimension von
$
\mathcal
{
H
}^
i
$
nennt man die
$
i
$
-te
\emph
{
Betti-Zahl
}
von
$
\Omega
$
.
\medskip
Für einfach zusammenhängende
$
\Omega
$
ist die nullte Betti-Zahl gleich~1,
alle anderen sind Null. Die Räume
$
\mathcal
{
H
}^
i
$
aus dem Satz von de Rham
fallen also weg.
Dieser Spezialfall heißt
\emph
{
Poincaré-Lemma
}
.
\section
{
Der de Rham Komplex
}
\section
{
Finite Elemente für
\texorpdfstring
{$
H
(
\div
)
$}{
H(div)
}
und
\texorpdfstring
{$
H
(
\curl
)
$}{
H(curl)
}}
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