Mehr zu H(curl) und H(div)

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@@ -5737,11 +5737,184 @@ aber beide Inklusionen sind echt.
  Wiederholen Sie die Übung für $H(\div)$.
 \end{exercise}
 
+Sowohl $H(\curl)$ als auch $H(\div)$ sind Hilbert-Räume mit den
+Skalarprodukten
+\begin{equation*}
+ (\bu,\bv)_\text{curl}
+ \colonequals
+ \int_\Omega \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \bu \cdot \bv\,dx
+\end{equation*}
+bzw.
+\begin{equation*}
+ (\bu,\bv)_\text{div}
+ \colonequals
+ \int_\Omega \div \bu \cdot \div \bv\,dx + \int_\Omega \bu \cdot \bv\,dx.
+\end{equation*}
+
+Die induzierten Normen bezeichnen wir mit $\norm{\cdot}_\text{curl}$
+bzw.\ $\norm{\cdot}_\text{div}$.
+
+\begin{lemma}
+ Die Bilinearform
+ \begin{equation*}
+  a_\textup{curl}(\bu,\bv)
+  \colonequals
+  \int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv,dx
+ \end{equation*}
+ ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa > 0$.
+\end{lemma}
+\todo[inline]{Was ist mit komplexen $\kappa$?}
+
+Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das $\curl \curl$-Problem damit eine
+eindeutige Lösung in $H(\curl)$.
+
+\medskip
+
+Mutatis mutandis gilt das gleiche für das $\grad \div$-Problem.
+
+\medskip
+
+Man beachte dass die Parameter $\mu^{-1}$ und $\kappa$ in den
+Stetigkeits- und Elliptizitätskonstanten erscheinen.  Gleichzeitig
+können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
+Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
+unabhängig von $\mu$ und $\kappa$ sind.
+
+\bigskip
+
+\todo[inline]{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
+
+\subsection{Die Helmholtz-Zerlegung}
+
+Für die Poisson-Gleichung spielen die konstanten Funktionen eine
+besondere Rolle, denn sie sind der Kern von $\nabla$.
+
+Für $H(\curl)$ und $H(\div)$ passiert etwas ähnliches.
+
+\bigskip
+
+Der starke Operator des $\div \div$-Problems ist
+\begin{equation*}
+ I - \nabla \div.
+\end{equation*}
+Für alle $\bu$ mit $\bu = \curl \ba$ ist das die Identität.
+(Und das bedeutet z.\,B.\ dass eine dazugehörige Steifigkeitsmatrix
+unabhängig von $h$ konditioniert ist.)
+
+\medskip
+
+Falls $\bu$ ein Gradientenfeld ist, also $\bu = \nabla \varphi$
+für eine skalare Funktion $\varphi$, so ist
+\begin{equation*}
+ (I - \nabla \div) \bu = (I - \Delta) \bu,
+\end{equation*}
+also $H^1$-elliptisch.
+
+\medskip
+
+Für den $H(\curl)$-Raum ist es umgekehrt:
+\begin{equation*}
+ (I - \curl \curl) \bu = I\bu
+\end{equation*}
+für alle $\bu = \nabla \varphi$ mit einer skalaren Funktion $\varphi$.
+
+Für ein Vektorfeld $\bu$ mit einem Vektorpotential $\ba$
+erhält man
+\todo[inline]{Ausrechnen!}
+
+Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
+spielen also eine besondere Rolle.  Kurioserweise lassen sich
+alle Vektorfelder so darstellen.
+
+\todo[inline]{Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung}
+
+\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung]
+ Auf einem Gebiet $\Omega$ in $\R^3$ mit $C^2$-Rand lässt sich jedes
+ Vektorfold $\bu \in L^2(\Omega)^3$ darstellen als Summe
+ \begin{equation*}
+  \bu = \nabla \phi + \curl \ba
+ \end{equation*}
+ mit $\phi \in H^1(\Omega)$ und $\ba \in H(\curl)$.
+
+ Diese Zerlegung ist $L^2$- und $H(\div)$-orthogonal.
+\end{theorem}
+\todo[inline]{Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!}
+
+Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.
+
+\subsection{Der de Rham Komplex}
+
+Der Zusammenhang zwischen den diversen Funktionenräumen und
+Differentialoperatoren wird durch den sogenannten \emph{de Rham Komplex}
+zusammengefasst:
+\begin{equation*}
+\begin{array}{ccccccccc}
+ \R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
+ &
+ H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\curl)    & \overset{\curl}{\longrightarrow}
+ &
+ H(\div)     & \overset{\div}{\longrightarrow}
+ &
+ L^2(\Omega).
+\end{array}
+\end{equation*}
+
+\begin{definition}{Kokettenkomplex}
+ Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge $X^i$, $i \in \mathbb{Z}$
+ von Vektorräumen, und einer Folge von linearen Abbildungen $d^i : X^i \to X^{i+1}$
+ mit der Eigenschaft
+ \begin{equation*}
+  d^{i+1} \circ d^i = 0.
+ \end{equation*}
+\end{definition}
+
+Der de Rham-Komplex ist tatsächlich solch ein Komplex, denn
+\begin{align*}
+ d^1 \circ d^0 & = \nabla \text{konst} = 0 \\
+ d^2 \circ d^1 & = \curl \nabla = 0 \\
+ d^3 \circ d^1 & = \div \curl = 0.
+\end{align*}
+
+Ein anderes Beispiel: der Simplizialkomplex
+\begin{itemize}
+ \item $X^i = $ Menge aller $i$-dimensionalen Simplizes mit Vielfachheit
+   im $n$-dimensionalen Raum
+ \item $d^i : X^i \to X^{i-1}$ der Randoperator.
+\end{itemize}
+
+Jedes $d^i$ bildet also in den Kern von $d^{i+1}$ ab.
+
+Wichtig ist die Frage ob diese Abbildung surjektiv ist.
+
+Die Art der Nichtsurjektivität sagt etwas über die Topologie von $\Omega$ aus.
+
+\begin{theorem}{Satz von de Rham}
+ Seien $\mathcal{F}_0, \dots, \mathcal{F}_5$ die Funktionenräume aus dem
+ de Rham-Komplex.  Für alle $i$ existiert eine endlich-dimensionaler
+ Teilraum $\mathcal{H}$ von $L^2$ so dass für alle $\bu \in \mathcal{F}^i$ gilt
+ \begin{equation*}
+  d^i \bu = 0
+  \quad
+  \iff
+  \quad
+  \exists \eta \in \mathcal{F}^{i-1}, \tau \in \mathcal{H}^i \text{mit $\bu = d^{i-1} \eta + \tau$}
+ \end{equation*}
+\end{theorem}
+
+Die Dimension von $\mathcal{H}^i$ nennt man die $i$-te \emph{Betti-Zahl}
+von $\Omega$.
+
+\medskip
 
+Für einfach zusammenhängende $\Omega$ ist die nullte Betti-Zahl gleich~1,
+alle anderen sind Null.  Die Räume $\mathcal{H}^i$ aus dem Satz von de Rham
+fallen also weg.
 
+Dieser Spezialfall heißt \emph{Poincaré-Lemma}.
 
 
-\section{Der de Rham Komplex}
 
 \section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}