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Pipeline #6502 failed with stage
in 2 minutes and 28 seconds
......@@ -5737,11 +5737,184 @@ aber beide Inklusionen sind echt.
Wiederholen Sie die Übung für $H(\div)$.
\end{exercise}
Sowohl $H(\curl)$ als auch $H(\div)$ sind Hilbert-Räume mit den
Skalarprodukten
\begin{equation*}
(\bu,\bv)_\text{curl}
\colonequals
\int_\Omega \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \bu \cdot \bv\,dx
\end{equation*}
bzw.
\begin{equation*}
(\bu,\bv)_\text{div}
\colonequals
\int_\Omega \div \bu \cdot \div \bv\,dx + \int_\Omega \bu \cdot \bv\,dx.
\end{equation*}
Die induzierten Normen bezeichnen wir mit $\norm{\cdot}_\text{curl}$
bzw.\ $\norm{\cdot}_\text{div}$.
\begin{lemma}
Die Bilinearform
\begin{equation*}
a_\textup{curl}(\bu,\bv)
\colonequals
\int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv,dx
\end{equation*}
ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa > 0$.
\end{lemma}
\todo[inline]{Was ist mit komplexen $\kappa$?}
Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das $\curl \curl$-Problem damit eine
eindeutige Lösung in $H(\curl)$.
\medskip
Mutatis mutandis gilt das gleiche für das $\grad \div$-Problem.
\medskip
Man beachte dass die Parameter $\mu^{-1}$ und $\kappa$ in den
Stetigkeits- und Elliptizitätskonstanten erscheinen. Gleichzeitig
können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
unabhängig von $\mu$ und $\kappa$ sind.
\bigskip
\todo[inline]{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
\subsection{Die Helmholtz-Zerlegung}
Für die Poisson-Gleichung spielen die konstanten Funktionen eine
besondere Rolle, denn sie sind der Kern von $\nabla$.
Für $H(\curl)$ und $H(\div)$ passiert etwas ähnliches.
\bigskip
Der starke Operator des $\div \div$-Problems ist
\begin{equation*}
I - \nabla \div.
\end{equation*}
Für alle $\bu$ mit $\bu = \curl \ba$ ist das die Identität.
(Und das bedeutet z.\,B.\ dass eine dazugehörige Steifigkeitsmatrix
unabhängig von $h$ konditioniert ist.)
\medskip
Falls $\bu$ ein Gradientenfeld ist, also $\bu = \nabla \varphi$
für eine skalare Funktion $\varphi$, so ist
\begin{equation*}
(I - \nabla \div) \bu = (I - \Delta) \bu,
\end{equation*}
also $H^1$-elliptisch.
\medskip
Für den $H(\curl)$-Raum ist es umgekehrt:
\begin{equation*}
(I - \curl \curl) \bu = I\bu
\end{equation*}
für alle $\bu = \nabla \varphi$ mit einer skalaren Funktion $\varphi$.
Für ein Vektorfeld $\bu$ mit einem Vektorpotential $\ba$
erhält man
\todo[inline]{Ausrechnen!}
Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
spielen also eine besondere Rolle. Kurioserweise lassen sich
alle Vektorfelder so darstellen.
\todo[inline]{Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung}
\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung]
Auf einem Gebiet $\Omega$ in $\R^3$ mit $C^2$-Rand lässt sich jedes
Vektorfold $\bu \in L^2(\Omega)^3$ darstellen als Summe
\begin{equation*}
\bu = \nabla \phi + \curl \ba
\end{equation*}
mit $\phi \in H^1(\Omega)$ und $\ba \in H(\curl)$.
Diese Zerlegung ist $L^2$- und $H(\div)$-orthogonal.
\end{theorem}
\todo[inline]{Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!}
Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.
\subsection{Der de Rham Komplex}
Der Zusammenhang zwischen den diversen Funktionenräumen und
Differentialoperatoren wird durch den sogenannten \emph{de Rham Komplex}
zusammengefasst:
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccc}
\R & \overset{\text{id}}{\longrightarrow}
&
H^1(\Omega) & \overset{\nabla}{\longrightarrow}
&
H(\curl) & \overset{\curl}{\longrightarrow}
&
H(\div) & \overset{\div}{\longrightarrow}
&
L^2(\Omega).
\end{array}
\end{equation*}
\begin{definition}{Kokettenkomplex}
Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge $X^i$, $i \in \mathbb{Z}$
von Vektorräumen, und einer Folge von linearen Abbildungen $d^i : X^i \to X^{i+1}$
mit der Eigenschaft
\begin{equation*}
d^{i+1} \circ d^i = 0.
\end{equation*}
\end{definition}
Der de Rham-Komplex ist tatsächlich solch ein Komplex, denn
\begin{align*}
d^1 \circ d^0 & = \nabla \text{konst} = 0 \\
d^2 \circ d^1 & = \curl \nabla = 0 \\
d^3 \circ d^1 & = \div \curl = 0.
\end{align*}
Ein anderes Beispiel: der Simplizialkomplex
\begin{itemize}
\item $X^i = $ Menge aller $i$-dimensionalen Simplizes mit Vielfachheit
im $n$-dimensionalen Raum
\item $d^i : X^i \to X^{i-1}$ der Randoperator.
\end{itemize}
Jedes $d^i$ bildet also in den Kern von $d^{i+1}$ ab.
Wichtig ist die Frage ob diese Abbildung surjektiv ist.
Die Art der Nichtsurjektivität sagt etwas über die Topologie von $\Omega$ aus.
\begin{theorem}{Satz von de Rham}
Seien $\mathcal{F}_0, \dots, \mathcal{F}_5$ die Funktionenräume aus dem
de Rham-Komplex. Für alle $i$ existiert eine endlich-dimensionaler
Teilraum $\mathcal{H}$ von $L^2$ so dass für alle $\bu \in \mathcal{F}^i$ gilt
\begin{equation*}
d^i \bu = 0
\quad
\iff
\quad
\exists \eta \in \mathcal{F}^{i-1}, \tau \in \mathcal{H}^i \text{mit $\bu = d^{i-1} \eta + \tau$}
\end{equation*}
\end{theorem}
Die Dimension von $\mathcal{H}^i$ nennt man die $i$-te \emph{Betti-Zahl}
von $\Omega$.
\medskip
Für einfach zusammenhängende $\Omega$ ist die nullte Betti-Zahl gleich~1,
alle anderen sind Null. Die Räume $\mathcal{H}^i$ aus dem Satz von de Rham
fallen also weg.
Dieser Spezialfall heißt \emph{Poincaré-Lemma}.
\section{Der de Rham Komplex}
\section{Finite Elemente für \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
......
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