Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
\chapter{Nichtlineare Gleichungen}
Mehrgitterverfahren funktionieren auch für manche nichtlinearen Probleme, aber die Theorie
dahinter ist viel weniger gut verstanden.
\medskip
Es gibt prinzipiell zwei unterschiedliche Ansätze:
\begin{enumerate}
\item Löse das Problem durch ein Newton(-artiges) Verfahren, d.h.\ approximiere es
durch eine Folge von linearen Problemen. Löse diese linearen Probleme mit einem
Mehrgitterverfahren.
\item Wende das Mehrgitterverfahren direkt auf das nichtlineare Problem an.
\end{enumerate}
Ansatz 1)\todo{fest verdrahtet!} funktioniert häufig nicht schlecht, aber Ansatz~2
ist konzeptionell interessanter. Wir beschäftigen uns hier deshalb nur mit Ansatz~2.
\chapter{Mehrgitter für DG-Verfahren}
\section{Nichtlineare Teilraumkorrekturverfahren}
\chapter{Algebraische Mehrgitterverfahren}
Die grundlegende Idee der Mehrgitterverfahren ändert sich für nichtlineare Probleme nicht:
\begin{itemize}
\item Ein einfaches nichtlineares Verfahren entfernt die hochfrequenten Anteile
des Fehlers.
\item Die niederfrequenten Anteile können auf einem gröberen Gitter behandelt werden.
\end{itemize}
Wie sehen nichtlineare Glätter aus?
\chapter{Nichtlineare Gleichungen}
\medskip
Bisher haben wir Probleme der folgenden Art betrachtet: Finde ein $x \in X$
so dass
\begin{equation*}
a(x,y) = (f,y)
\qquad
\forall y \in X.
\end{equation*}
Dabei war $a(\cdot,\cdot) : X \times X \to\R$ linear in beiden Argumenten.
\medskip
Im Folgenden betrachten wir wieder Probleme der Bauart
\begin{equation}
\label{eq:generic_nonlinear_problem}
a(x,y) = (f,y)
\qquad
\forall y \in X,
\end{equation}
aber $a(\cdot,\cdot)$ darf jetzt nichtlinear \emph{im ersten Argument} sein.
\begin{example}
Die $p$-Laplace-Gleichung ist
\begin{equation*}
- \div (\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u) = 0.
\end{equation*}
Testen mit einer Funktion $\varphi$ ergibt
\begin{equation*}
\int_\Omega\abs{\nabla u}^{p-2}\langle\nabla u, \nabla\varphi\rangle = \text{Randterme}.
\end{equation*}
Die ist ein Problem der Art~\eqref{eq:generic_nonlinear_problem}, und die Form $a(u,\varphi)$ ist linear in $\varphi$.
\end{example}
Wir konstruieren jetzt Schwarz-Verfahren für das nichtlineare Problem~\eqref{eq:generic_nonlinear_problem}.
Sei dafür wieder $\{X_i\}_{i=1}^n$ eine Zerlegung von $X$ in Teilräume, nicht
notwendigerweise direkt.
\medskip
Schwarz-Verfahren für lineare Gleichungen bestanden daraus, dass wir die Defektgleichung
\todo{Prüfen!}
\begin{equation}
\label{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung}
a(c,w) = (f,w) - a(u^k,w)
\qquad
\forall w \in\X_i
\end{equation}
in einem Teilraum $X_i$ gelöst haben, und das Ergebnis $c \in X_i$ als Korrektur benutzt haben:
\begin{equation*}
u^{k+1} = u^k + c.
\end{equation*}
Verschiedene Reihenfolgen und Kombinationen von Teilräumen ergaben die verschiedenen
Schwarz-Verfahren.
\bigskip
Im linearen Fall konnte man die Defektgleichung~\eqref{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung}
als $a(\cdot,\cdot)$-orthogonale Projektion des Fehlers $u^*- u^k$ auf den Teilraum $X_i$
interpretieren. Das geht jetzt nicht mehr.
\medskip
Ansonsten kann man aber die Schwarz-Verfahren auch für nichtlineare Probleme durchführen.
\begin{itemize}
\item Die Teilprobleme~\eqref{eq:schwache_nichtlineare_defektgleichung} löst man dann
z.B.\ mit einem Newton-Löser.
\item Wobei natürlich im allgemeinen Fall völlig unklar ist ob es überhaupt eine
Lösung gibt. Oder vielleicht gleich mehrere.
\end{itemize}
Wir würden jetzt gerne wissen unter welchen Bedingungen solche Schwarz-Verfahren
konvergieren, und ob sie immer noch Glättungseigenschaften haben.
\medskip
Rigorose Ergebnisse gibt es allerdings nur in wenigen Spezialfällen.
Das Folgende stammt aus einem Artikel von \citet{carstensen:1997}.
\medskip
In gewissem Sinne handelt es sich um die einfachsten nichtlinearen Probleme.
\todo[inline]{Erklären dass manche Probleme Minimierungsprobleme sind.}
Sei $\phi : X \to\R$ ein Fréchet-differenzierbares Funktional mit
uniform-elliptischer und Lipschitz-stetiger Fréchet-Ableitung $D\phi$.
\medskip
Das bedeutet dass es zwei Konstanten $0 < \alpha, L < \infty$ gibt so dass
