2024-04-01-17-14-02

Activity/NAC/NAC.tex

@@ -663,7 +663,7 @@ Beside the transition to the tangential calculus, we only determined the surface
 
 \paragraph{Flat-Degenerated isotropically viscous Eulerian-Jaumann Model}
 
-Following the simplifications in \cite{Nitschke2023}, the flat-degenerated constrain ($ \CB\vert_{\beta = 0}) $, \ie\ $ \Qb=\qb \in\tangentQS $,
+Following the simplifications in \cite{Nitschke2023}, the flat-degenerated constrain ($ \CB\vert_{\beta_0 = 0}) $, \ie\ $ \Qb=\qb \in\tangentQS $,
 geometrical stationary constrain $ (\NN) $, \ie\ $ \Vb=\vb\in\tangentS $, neglecting anisotropic viscosity, \ie\ $ \xi=0 $ in all viscous contributions,
 and the Eulerian perspective, \ie\ $ \Vb_{\!\ofrak}=\nullb $, yield
 \begin{subequations}\label{eq:model_degenerated_jaumann}
@@ -686,7 +686,22 @@ for the surface conforming Jaumann model \eqref{eq:model_conforming} ($ \Phi=\ja
 is the molecular field and the surface conforming constrain force.
 This seems to equal the phase model for self-deforming active shells in \cite{Metselaar_2019} for a single constant phase and neglecting flow alignment.
 However, this cannot be answered with complete certainty, as the calculation of variations are not fully carried out in  \cite{Metselaar_2019} and its preceding work \cite{Metselaar_2017}.
-Note that the constrain force $ \fb_{\SC} $ 
+Note that the constrain force $ \fb_{\SC} $ arises here from the surface variation of the elastic energy in all directions in $ \tangentR $ and the restriction to $ \tangentS $ by the Lagrange multiplier technique afterwards.
+We would get the same result if we variate the surface only tangentially in first place, although this approach would be much more technically to calculate. 
+\rednote{@Axel: Ich erkläre das mit $ \fb_{\SC} $ hier deshalb, weil man sich als Leser fragen könnte ob das etwas ist das im Model von Metselaar \cite{Metselaar_2019} auch vorkommt.
+		Das lässt sich aber nicht beantworten, da dort die elastischen Kräfte nirgends explizit angegeben werden.
+		Meine Aussage hier ist also: Falls sie es in ihrem Paper richtig gemacht haben, dann haben sie dort auch diesen Term. Halt nur als Folge der eingeschränkten Variation und nicht explizit als Zwangskraft. Btw. diese in tangentialrichtung eingeschränkte Variation ist schwieriger als die in allen Richtungen für eine gekrümmte Oberfläche, deshalb habe ich so meine Zweifel ob das dort richtig gemacht wurde. Vielleicht ist deren Variation aber auch Teil der Numerik und wird nirgends analytisch ausgerechnet.}
+	
+
+\paragraph{Flat-Degenerated isotropically viscous Eulerian-Jaumann Model on a Flat Surface}
+
+Under the ($ NN $) constrain the surface is geometrically stationary, \ie\ an initial flat surface stays flat with $ \shop=\nullb $.
+With this initial condition the model \eqref{eq:model_degenerated_jaumann} above remains mostly equal.
+Only the molecular field and the surface conforming constrain force become
+\begin{align*}
+	\hb_\potenergy &= L\Delta\qb -2 \left( a + c\Tr\qb^2 \right)\qb \formComma
+	&\fb_{\SC} &= \nullb \formPeriod
+\end{align*}
 
 
 \paragraph{Giomi, Bowick, Mishra, Sknepnek, Marchetti (Phil.Trans.R.Soc.A 2014) \cite{Giomi_2014}}