Kapitel_Partielle_Differentialgleichungen-erster-Ordnung.tex

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% title page
\title[Grundlagen Mathematik]{Grundlagen Mathematik}
\subtitle{9c.\ Lösungstechniken für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung}
\author{Prof.\ Dr.\,Oliver Sander}
\setbeamertemplate{date/place in footline}[default][O.\,Sander]
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\datecity{Sommersemester 2023}

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\begin{document}

% % Abstände vor und nach Formeln
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\justifying


\subsection{Einfache Lösungsmethoden}

\begin{frame}
\frametitle{Einfache Lösungsmethoden I}
Funktion $u$ der beiden Variablen $x$ und $y$
\bigskip

\begin{tabular}{l@{$\;\Rightarrow\;$}l}
$u_x(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C(y)$\\[1em]
$u_x(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\!
\int^x \!\!\!\!f(t,y)\,dt \!+\! C(y)$\\[1em]
$u_{xx}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
$u_{xx}(x,y) \!=\! f(x,y)$ &$\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
\int^s \!\!\!\!f(t,y)\,dt\,ds \!+\! x C_1(y) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
$u_{xy}(x,y) \!=\! 0$ & $u(x,y) \!=\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$\\[1em]
$u_{xy}(x,y) \!=\! f(x,y)$ & $\displaystyle u(x,y) \!=\! \int^x\!\!\!\!
\int^y\!\!\!\! f(s,t)\,dt\,ds \!+\! C_1(x) \!+\! C_2(y)$
\end{tabular}
\bigskip

Entsprechende Formeln gelten für Funktionen von drei Variablen.
\end{frame}
% ======================================================================
% Einfache Lösungsmethoden II
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Einfache Lösungsmethoden II}
alle Ableitungen erfolgen nur nach einer Variablen\\
\qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u(x,y) = xy$\\
\qquad gewöhnliche Differentialgleichung mit Parameter(n)
\bigskip

alle Ableitungen beinhalten gemeinsame Ableitung\\
\qquad Beispiel: $u_{xx}(x,y)+u_{xxy}(x,y)=5x$\\
\qquad diese Ableitung ausklammern, um Problem zu vereinfachen
\end{frame}

\subsection{Lineare Gleichungen erster Ordnung}
\begin{frame}
\frametitle{Lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung}
gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
Funktionen $a:G\to\mathbb{R}^n$, $b,f:G\to\mathbb{R}$
\end{tabular}
\bigskip

lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
\[
a\cdot\nabla u + b u = f
\]
oder ausführlich
\[
a_1(x)u_{x_1}(x) + \dots + a_n(x)u_{x_n}(x) + b(x) u(x) = f(x)
\]

verkürzte oder Rumpfdifferentialgleichung
\[
a(x)\cdot\nabla u(x) = 0
\]
\begin{definition}
Eine Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung heißt trivial, wenn
$u=\text{konstant}$ gilt, sonst nennen wir die Lösung nichttrivial.
\end{definition}
\end{frame}
% ======================================================================
% Charakteristisches System
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Charakteristisches System}
\begin{definition}
Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
\[
a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
\]
Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
\begin{align*}
x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big),\\
& \;\; \vdots\\
x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)\big)
\end{align*}
heißt charakteristisches System der Rumpfdifferentialgleichung.
\end{definition}
\end{frame}
% ======================================================================
% Charakteristiken
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Charakteristiken}
\begin{definition}
Gegeben sei die Rumpfdifferentialgleichung
\[
a(x)\cdot\nabla u(x) = 0.
\]
Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ des zugehörigen
charakteristischen Systems
heißt charakteristische Grundkurve oder Grundcharakteristik. Als
Charakteristik wird jede Kurve im $(x_1,\dots,x_n,u)$-Raum bezeichnet,
deren Parameterdarstellung durch
\[
\big(x_1(t),\dots,x_n(t),c\big)
\]
mit einer Konstanten $c\in\mathbb{R}$ gegeben ist. Alternativ werden
Grundcharakteristiken implizit in der Form
\[
\varphi_1(x_1,\dots,x_n) = C_1,\quad\dots,\quad
\varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n) = C_{n-1}
\]
mit Funktionen $\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
und reellen Konstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$ dargestellt.
\end{definition}
\end{frame}
% ======================================================================
% Lösungsdarstellung
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Lösungsdarstellung}
\begin{satz}
Seien die Grundcharakteristiken durch
\[
C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
\]
gegeben. Dann lässt sich jede Lösung $u$ der Rumpfdifferentialgleichung
in der Form
\[
u(x) = F\big(\varphi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,
\varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)\big)
\]
schreiben, wobei $F:\mathbb{R}^{n-1}\to\mathbb{R}$ eine beliebige stetig
differenzierbare Funktion ist.
\end{satz}
\end{frame}
% ======================================================================
% Phasen-Differentialgleichungen
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Phasen-Differentialgleichungen}
Voraussetzung: $a_n(x)\neq 0$ für alle $x=(x_1,\dots,x_n)^T \in G$
\bigskip

Phasen-Differentialgleichungen
\[
\frac{d x_1}{d x_n} = \frac{a_1(x)}{a_n(x)},\quad\dots,\quad
\frac{d x_{n-1}}{d x_n} = \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)},
\]
Lösungen $x_1,\dots,x_{n-1}$ abhängig von:\\
\qquad $x_n$ und $(n-1)$ Integrationskonstanten $C_1,\dots,C_{n-1}$
\bigskip

Auflösen nach $C_1,\dots,C_{n-1}$
\[
C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
\]
liefert implizite Beschreibung der Grundcharakteristiken
\bigskip

\begin{bemerkung}
Die Rolle von $x_n$ kann auch eine andere Variable übernehmen.
\end{bemerkung}
\end{frame}

\subsection{Cauchy-Problem}

% ======================================================================
% Cauchy-Problem
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Cauchy-Problem}
Welche zusätzlichen Bedingungen müssen gestellt werden, damit es unter
allen Lösungen einer quasilinearen Differentialgleichung 1.~Ordnung genau
eine gibt, die diese Zusatzbedingung erfüllt?
\bigskip

Analogie zu Anfangswerten gewöhnlicher Differentialgleichungen
\bigskip

Vorgabe einer Kurve $\ell$ im $(x,y,u)$-Raum
mit Projektion $\lambda$ im $(x,y)$-Raum
\[
\ell(s) = \begin{pmatrix}
x(s)\\y(s)\\v(s)\end{pmatrix},\quad
\lambda(s) = \begin{pmatrix} x(s)\\y(s)\end{pmatrix},
\quad s\in I
\]
mit einem reellen Intervall $I$
\bigskip

Zusatzbedingung
\[
u\big(x(s),y(s)\big) = v(s),\qquad s\in I
\]
\end{frame}
% ======================================================================
% Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen}
\begin{satz}
Gegeben seien eine quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordung
und eine Kurve $\ell$ mit Projektion $\lambda$. Dann gelten die
folgenden Aussagen:
\begin{itemize}
\item Ist $\lambda$ keine Grundcharakteristik, so gibt es genau eine
Lösung.
\item Ist $\ell$ selbst eine Charakteristik, so existieren unendlich viele
Lösungen.
\item Ist $\ell$ keine Charakteristik, aber $\lambda$ eine
Grundcharakteristik, dann existiert keine Lösung.
\end{itemize}
\end{satz}
\end{frame}
% ======================================================================
% Lösen des Cauchy-Problems
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Lösen des Cauchy-Problems}
Variante 1
\begin{enumerate}
\item allgemeine Lösung bestimmen
\[
u(x,y) = F\big(\varphi(x,y)\big)
\]
mit der implizit dargestellten Grundcharakteristik $\varphi$
\item Funktion $F$ durch die Zusatzbedingung ermitteln
\[
v(s) = u\big(x(s),y(s)) =
F\big(\varphi(x(s),y(s))\big)
\]
\end{enumerate}
\bigskip

Variante 2
\begin{enumerate}
\item charakteristisches Systems unter Einbeziehung der Zusatzbedingungen
mit Ansatz
\[
x(t,s),y(t,s)
\]
lösen
\item Darstellung der Lösung durch Auflösen/Umstellen ermitteln
\end{enumerate}
\end{frame}
% ======================================================================
% Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
lineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
\[
a\cdot\nabla u + b u = f
\]

Grundcharakteristiken in der Form
\[
C_1 = \varphi_1(x_1,\dots,x_n),\quad\dots,\quad
C_{n-1} = \varphi_{n-1}(x_1,\dots,x_n)
\]

Koordinatentransformation: $\xi=\xi(x)$ bzw. $x=x(\xi)$ mit
\[
\xi_i = \varphi_i(x),\quad i=1,\dots,n-1,\qquad
\xi_n = x_n
\]

vereinfachte lineare Differentialgleichung 1.~Ordnung für $v=v(\xi)$
\[
B(\xi) v(\xi) + A_n(\xi) \frac{\partial v}{\partial \xi_n}(\xi)
= F(\xi)
\]
mit $\displaystyle B(\xi) = b\big(x(\xi)\big)$,
$A_n(\xi) = a_n\big(x(\xi)\big)$,
$F(\xi) = f\big(x(\xi)\big)$
\bigskip

Lösung
\[
u(x) = v\big(\varphi_1(x),\dots,\varphi_{n-1}(x),x_n\big)
\]
\end{frame}
% ======================================================================
% Quasilineare Differentialgleichung 1. Ordnung
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung}
gegeben: \begin{tabular}[t]{l}
Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$\\
Funktionen $a:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$,
$d:G\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
\end{tabular}
\bigskip

quasilineare partielle Differentialgleichung 1.~Ordnung
\[
a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big)
\]
oder ausführlich
\[
a_1\big(x,u(x)\big)u_{x_1}(x) + \dots +
a_n\big(x,u(x)\big)u_{x_n}(x) = d\big(x,u(x)\big)
\]
\end{frame}
% ======================================================================
% Charakteristisches System
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Charakteristisches System}
\begin{definition}
Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
\[
a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
\]
Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1.~Ordnung
\begin{align*}
x_1'(t) & = a_1\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
x_2'(t) & = a_2\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
& \;\; \vdots\\
x_n'(t) & = a_n\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big),\\
u'(t)   & =   d\big(x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)
\end{align*}
heißt charakteristisches System der quasilinearen  Differentialgleichung.
\end{definition}
\end{frame}
% ======================================================================
% Charakteristiken
% ======================================================================
\begin{frame}
\frametitle{Charakteristiken}
\begin{definition}
Gegeben sei die quasilineare Differentialgleichung 1.~Ordnung
\[
a\big(x,u(x)\big)\cdot\nabla u(x) = d\big(x,u(x)\big).
\]
Jede Lösung $\big(x_1(t),\dots,x_n(t),u(t)\big)$ des
charakteristischen Systems nennen wir Charakteristik. Die Kurve
$\big(x_1(t),\dots,x_n(t)\big)$ im $x$-Raum wird als Grundcharakteristik
bezeichnet.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Das weitere Vorgehen folgt den Schritten, die bei der Lösung der
Rumpfdifferentialgleichung genutzt wurden.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
In den meisten Fällen lässt sich die Lösung nur in impliziter Form
darstellen.
\end{bemerkung}
\end{frame}


\end{document}