Detailverbesserungen

Kapitel_Lineare_Algebra/Kapitel_Eigenwerte.tex

@@ -200,19 +200,19 @@ Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix heißt \cblue{Spektrum} von $A$.
 \item Hauptachsen eines starren Körpers: Eigenvektoren des Trägheitstensors ($3 \times 3$-Matrix)
 \end{itemize}
 
-\bigskip
+\bigskip\pause
 
 \structure{Ziemlich abgefahren:}
 \begin{itemize}
 \item Berechnung von Eigenschwingungen mechanischer und elektrischer Systeme
 \end{itemize}
 
-\bigskip
+\bigskip\pause
 
 \structure{Total abgefahren:}
 \begin{itemize}
 \item Berechnung von Lösungen von linearen Differentialgleichungssystemen
-\item Datenanalyse: {\it Principal Component Analysis} (Hauptkomponentenanalyse),
+\item Hauptkomponentenanalyse:
 Bestimmung von Untervektorräumen, die die wesentlichen Komponenten von Datenvektoren enthalten.
 \item $\hdots$
 \end{itemize}
@@ -233,7 +233,7 @@ Bestimmung von Untervektorräumen, die die wesentlichen Komponenten von Datenvek
  \begin{definition}
   Der Vektorraum
 \[
-\operatorname{Eig}_A(\lambda) = \{ v \in \K^n : A v = \lambda v \}
+\operatorname{Eig}_A(\lambda) \colonequals \{ v \in \K^n : A v = \lambda v \}
 \]
 aller Eigenvektoren $v$ von $\lambda$ heißt \cred{Eigenraum} von $A$ zum Eigenwert~$\lambda$.
 
@@ -410,7 +410,7 @@ Die $\lambda_1,\hdots, \lambda_r \in \C$ sind genau die Eigenwerte von $A$. \pau
 
 \structure{Eigenwerte}
 \begin{equation*}
-    \lambda_{1,2}=2,\ \lambda_3=-2
+    \lambda_{1,2}=2, \qquad \lambda_3=-2
 \end{equation*}
 
 \end{frame}
@@ -434,7 +434,7 @@ Die $\lambda_1,\hdots, \lambda_r \in \C$ sind genau die Eigenwerte von $A$. \pau
 \structure{Eigenwerte}
 
 \begin{equation*}
-    \lambda_{1,2}=2,\ \lambda_3=-2
+    \lambda_{1,2}=2, \qquad \lambda_3=-2
 \end{equation*}
 
 \bigskip
@@ -648,14 +648,23 @@ besitzt die Eigenwerte $\lambda_1,\hdots,\lambda_n$. \pause
 \begin{frame}
 \frametitle{Eigenwerte spezieller Matrizen}
 
+\bigskip
+
+\begin{lemma}
+ Hat \cblue{$A \in \K^{n \times n}$} die Eigenwerte $\lambda_1,\hdots,\lambda_r$, dann besitzt
+ \cblue{$A_\alpha = A + \alpha E_n$} die Eigenwerte $\mu_1 = \lambda_1+\alpha, \cdots, \mu_r = \lambda_r + \alpha$.
+\end{lemma}
 \begin{itemize}
-\item Hat \cblue{$A \in \K^{n \times n}$} die Eigenwerte $\lambda_1,\hdots,\lambda_r$, dann besitzt
-\cblue{$A_\alpha = A + \alpha E_n$} die Eigenwerte $\mu_1 = \lambda_1+\alpha, \cdots, \mu_r = \lambda_r + \alpha$.
 \item Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten von $\mu_j$ und $\lambda_j$ stimmen überein. \pause
-\item Hat \cblue{$A \in \K^{n \times n}$} die Eigenwerte $\lambda_1,\hdots,\lambda_r$, dann besitzt
-\cblue{$A^m$}, $m \in \N$, die Eigenwerte $\lambda_1^m,\hdots,\lambda_r^m$.
 \end{itemize}
 
+\bigskip
+
+\begin{lemma}
+ Hat \cblue{$A \in \K^{n \times n}$} die Eigenwerte $\lambda_1,\hdots,\lambda_r$, dann besitzt
+\cblue{$A^m$}, $m \in \N$, die Eigenwerte $\lambda_1^m,\hdots,\lambda_r^m$.
+\end{lemma}
+
 \end{frame}