Folien zum Thema "Mathe für Ingenieure"

Dieses Git-Projekt enthält Foliensätze für einen Zyklus "Einführung Mathematik" sowohl Studierende des Maschinenwesens und der Verkehrsingenieurwissenschaften. Es werden sowohl der drei-semestrige Zyklus der Verkehrsingenieure als auch der vier-semestrige Zyklus der Maschinenbauer abgedeckt.

Die Standard-Reihenfolge ist:

Semester 1 und 2

Kapitel 1: Vektorrechnung

• Der Euklidische Raum, Punkte und Vektoren
• Rechnen mit Vektoren, Betrag
• Winkel und Skalarprodukt
• Kreuzprodukt und Spatprodukt
• Geraden im Raum, Abstände von und zu Geraden
• Ebenen im Raum, Darstellungsformeln, Hessesche Normalform, Abstand zu einer Ebene

Kapitel 2: Folgen und Reihen

• Folgen
  • Vollständige Induktion
  • Definition von Zahlenfolgen
  • Beschränktheit und Monotonie
  • Konvergenz und Divergenz
  • Konvergenzkriterien, Satz von Bolzano-Weierstraß, Cauchy-Kriterium
  • Bestimmte Divergenz
  • Rechenregeln für Grenzwerte
  • Grenzwertbestimmung für rekursive Folgen
• Reihen
  • Definition einer Reihe, Konvergenz
  • Rechenregeln für Reihen
  • Konvergenzkriterien
  • Umordnung von Reihen, absolute Konvergenz

Kapitel 3: Reelle Funktionen

• Abbildungen
  • Definition, Begriffe
  • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
  • Gerade und ungerade Funktionen
  • Verkettung von Abbildungen
  • Umkehrabbildungen
  • Beschränktheit und Monotonie von Funktionen
• Polynome, Trigonometrische Funktionen
  • Definition eines Polynoms, Begriffe
  • Rechnen mit Polynomen
  • Gradsatz, Nullstellensatz, Koeffizientenvergleich
  • Faktorisierung von Polynomen
  • Polynomdivision
  • Partialbruchzerlegung
  • Definition von sin und cos
  • Eigenschaften, Satz von Pythagoras, Additionstheoreme
  • Tangens und Kotangens
  • Eigenschaften, Additionstheoreme
  • Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
• Potenzreihen, exp und log
  • Definition von Potenzreihen
  • Konvergenzbereich und Konvergenzradius
  • Koeffizientenvergleich für Potenzreihen
  • Rechenregeln
  • Die Exponentialreihe
  • Funktionalgleichung
  • Rechenregeln der Exponentialfunktion
  • Der Logarithmus und seine Eigenschaften
  • Die allgemeine Exponentialfunktion
• Grenzwerte und Stetigkeit
  • Definition des Grenzwerts einer Funktion
  • Definition von Stetigkeit
  • Stetige Fortsetzungen
  • Bestimmte Divergenz
  • Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert
  • Das epsilon-delta-Kriterium
  • Rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit
  • Sprungstellen, Pole und Oszillationsstellen
  • Rechenregeln für stetige Funktionen
  • Extremalstellen und Stetigkeit
  • Zwischenwertsatz und Bisektion

Kapitel 4: Differentialrechnung in R

• Differentiation
  • Definition der Ableitung
  • Ableitungen wichtiger Funktionen
  • Differenzierbarkeit und Stetigkeit
  • Ableitungsregeln
  • Stetige Differenzierbarkeit
  • Höhere Ableitungen
  • Einseitige Differenzierbarkeit
• Anwendungen der Differentialrechnung
  • Monotoniekriterien
  • Extremalstellen und Differenzierbarkeit
  • Mittelwertsatz
  • Regel von de l'Hopital
  • Konvexe Funktionen
  • Taylor-Polynome
  • Restgliedabschätzungen für Taylor-Polynome
  • Das Newton-Verfahren
  • Polynom-Interpolation
  • Konstruktion, Fehlerabschätzungen, Runges Phänomen

Kapitel 5: Integralrechnung in R

• Definition des Riemann-Integrals durch Ober- und Untersummen
• Kriterien für Riemann-Integrierbarkeit
• Riemann-Summen
• Integrationsregeln, Mittelwertsatz der Integralrechnung
• Stammfunktionen und unbestimmte Integrale
• Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Partielle Integration
• Berechnung von Flächeninhalten und Bogenlänge
• Fläche und Volumen von Rotationskörpern
• Schwerpunkte
• Die Substitutionsregel
• Logarithmische Integration
• Integration rationaler Funktionen
• Integration rationaler Funktionen in Sinus und Kosinus, Halbwinkelmethode
• Uneigentliche Integrale, der Cauchy-Hauptwert
• Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale
• Numerische Integration
• Summierte Regeln
• Newton-Cotes-Formeln

Kapitel 6: Komplexe Zahlen

• Definition von komplexen Zahlen
• Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen
• Die Gaußsche Zahlenebene
• Der Betrag
• Komplexe Konjugation
• Faktorisierung von Polynomen
• Fundamentalsatz der Algebra
• Polarkoordinaten, Interpretation der Multiplikation
• Potenzieren und Wurzelziehen
• Trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion
• Die Eulersche Formel

Kapitel 7: Lineare Algebra

• Lineare Gleichungssysteme
  • Motivation und Definition
  • Eine, keine, oder unendlich viele Lösungen
  • Das Gauß-Verfahren
  • Matrix-Darstellung von linearen Gleichungssystemen
  • Der Rang einer Matrix
  • Die Lösungsmenge von homogenen linearen Gleichungssystemen
• Vektorräume und lineare Unabhängigkeit
  • Definition von Vektorräumen, Beispiele
  • Untervektorräume
  • Linearkombinationen
  • Lineare Hülle, Erzeugendensysteme
  • Lineare Unabhängigkeit
  • Basis eines Vektorraums, Dimension
• Lineare Abbildungen
  • Matrizen und Vektoren im R^n
  • Addition uns Multiplikation mit einem Skalar
  • Matrix-Vektor-Multiplikation
  • Definition einer lineare Abbildungen
  • Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen
  • Matrix-Matrix-Multiplikation
  • Inversion von Matrizen
  • Berechnung der inversen Matrix
• Determinanten
  • Definition der Determinante
  • Entwicklungssatz von Laplace
  • Regel von Sarrus
  • Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenumformungen
  • Rechenregeln für die Determinante
  • Determinantenmultiplikationssatz
  • Berechnen der Determinante mit dem Gauß-Verfahren
  • Cramersche Regel
  • Interpretation der Determinante als Volumenänderung
• Eigenwerte
  • Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren
  • Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren
  • Das charakteristische Polynom
  • Geometrische und algebraische Vielfachheit
  • Zusammenhang zwischen Eigenwerten und der Determinante
  • Eigenwerte spezieller Matrizen
  • Diagonalisierung von Matrizen

Kapitel 8: Analysis im Rn

• Topologie und Folgen
  • Funktionen mehrerer Variablen
  • Rechnen mit solchen Funktionen
  • Kugeln und offene Mengen
  • Inneres, Rand und Abschluss einer Menge
  • Folgen von Vektoren
  • Konvergenz und Rechenregeln
• Stetigkeit und Ableitungen
  • Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen
  • Rechenregeln für stetige Funktionen
  • Beschränktheit, inf, sup, Satz von Weierstraß
  • Partielle Ableitungen
  • Richtungsableitung
  • Gradient, Richtung des steilsten Anstiegs
  • Jacobi-Matrix
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Rechenregeln für Ableitungen
  • Höhere partielle Ableitungen, Hesse-Matrix, Satz von Schwarz
  • Bestimmung von Extremstellen
  • Positiv/negativ (semi-)definite Matrizen
• Ausgleichsrechnung, Taylor, Newton, implizite Funktionen
  • Lineare Ausgleichsrechnung, Normalengleichung, Lösbarkeit
  • Taylorpolynome, Restglied
  • Newton-Verfahren
  • Lokale quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens
  • Implizite Funktionen
  • Der Satz über implizite Funktionen
  • Ableitungen von impliziten Funktionen

Kapitel 9: Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Motivation, Bespiele
  • Definition, Klassifikation
  • Anfangs- und Randwertprobleme
  • Richtungsfeld
  • Existenz: Satz von Peano
  • Eindeutigkeit: Satz von Picard-Lindelöf
• Lösungstechniken für spezielle Gleichungen
  • Trennung der Variablen
  • Gleichungen die von y' und y'', aber nicht von y abhängen
  • (Exkurs: Die Hyperbelfunktionen)
  • Ähnlichkeitslösungen
• Lineare skalare Differentialgleichungen
  • Definition
  • Homogene lineare Gleichungen
  • Lösungsmenge von homogenen Gleichungen
  • Konstruktion von Lösungen
  • Variation der Konstanten
• Lineare Differentialgleichungssysteme
  • Definition, Lösbarkeit
  • Homogene Systeme, Lösbarkeit
  • Fundamentalsysteme
  • Wronski-Test
  • Gesamtheit aller Lösungen
  • Fundamentalsysteme für Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
  • Entkoppelung mittels einer Eigenvektorbasis
  • Lösungsstruktur von inhomogenen Gleichungssystemen
  • Schwingungslösungen, komplexe Eigenwerte
• Numerik
  • Numerische Lösungen vs. Lösungen in geschlossener Form
  • Das explizite Euler-Verfahren
  • Das implizite Euler-Verfahren
  • Allgemeinere implizite Verfahren, Mittelpunktsregel
  • Fehlerabschätzungen, Konsistenz
  • Stabilität von Zeitschrittverfahren, steife Differentialgleichungen
  • Runge-Kutta-Verfahren

Semester 3: Verkehrsingenieure

Ab hier teilen sich die Themen. Für Verkehrsingenieurinnen gibt es nur ein weiteres Semester. Dort werden die folgenden drei Themen behandelt:

• Kapitel 10: Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Kapitel 11: Integralrechnung im Rn
• Kapitel 12: Integraltransformationen

Semester 3 und 4: Maschinenbauer

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Installation

Jedes Kapitel befindet sich in einem Unterverzeichnis mit einem selbsterklärenden Namen. Um die TeX-Dateien übersetzen zu können braucht man mehrere Stil-Dateien (mit Endung .sty). Diese Dateien befinden sich im Verzeichnis beamer-style. An dieser Stelle werden sie jedoch von LaTeX nicht automatisch gefunden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder man kopiert diese Dateien jeweils in das Verzeichnis der TeX-Datei die man bauen möchte. Alternativ kann man die sty-Dateien einmal in das Verzeichnis $HOME/texmf/tex/latex/folien-TUD/ kopieren (Verzeichnis anlegen falls es noch nicht existiert). Dort sollten sie dann von überall gefunden werden.