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Folien zum Thema "Mathe für Ingenieure"

Dieses Git-Projekt enthält Foliensätze für einen Zyklus "Einführung Mathematik" sowohl Studierende des Maschinenwesens und der Verkehrsingenieurwissenschaften. Es werden sowohl der drei-semestrige Zyklus der Verkehrsingenieure als auch der vier-semestrige Zyklus der Maschinenbauer abgedeckt.

Die Standard-Reihenfolge ist:

Semester 1 und 2

Kapitel 1: Vektorrechnung

  • Der Euklidische Raum, Punkte und Vektoren
  • Rechnen mit Vektoren, Betrag
  • Winkel und Skalarprodukt
  • Kreuzprodukt und Spatprodukt
  • Geraden im Raum, Abstände von und zu Geraden
  • Ebenen im Raum, Darstellungsformeln, Hessesche Normalform, Abstand zu einer Ebene

Kapitel 2: Folgen und Reihen

  • Folgen
    • Vollständige Induktion
    • Definition von Zahlenfolgen
    • Beschränktheit und Monotonie
    • Konvergenz und Divergenz
    • Konvergenzkriterien, Satz von Bolzano-Weierstraß, Cauchy-Kriterium
    • Bestimmte Divergenz
    • Rechenregeln für Grenzwerte
    • Grenzwertbestimmung für rekursive Folgen
  • Reihen
    • Definition einer Reihe, Konvergenz
    • Rechenregeln für Reihen
    • Konvergenzkriterien
    • Umordnung von Reihen, absolute Konvergenz

Kapitel 3: Reelle Funktionen

  • Abbildungen
    • Definition, Begriffe
    • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
    • Gerade und ungerade Funktionen
    • Verkettung von Abbildungen
    • Umkehrabbildungen
    • Beschränktheit und Monotonie von Funktionen
  • Polynome, Trigonometrische Funktionen
    • Definition eines Polynoms, Begriffe
    • Rechnen mit Polynomen
    • Gradsatz, Nullstellensatz, Koeffizientenvergleich
    • Faktorisierung von Polynomen
    • Polynomdivision
    • Partialbruchzerlegung
    • Definition von sin und cos
    • Eigenschaften, Satz von Pythagoras, Additionstheoreme
    • Tangens und Kotangens
    • Eigenschaften, Additionstheoreme
    • Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
  • Potenzreihen, exp und log
    • Definition von Potenzreihen
    • Konvergenzbereich und Konvergenzradius
    • Koeffizientenvergleich für Potenzreihen
    • Rechenregeln
    • Die Exponentialreihe
    • Funktionalgleichung
    • Rechenregeln der Exponentialfunktion
    • Der Logarithmus und seine Eigenschaften
    • Die allgemeine Exponentialfunktion
  • Grenzwerte und Stetigkeit
    • Definition des Grenzwerts einer Funktion
    • Definition von Stetigkeit
    • Stetige Fortsetzungen
    • Bestimmte Divergenz
    • Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert
    • Das epsilon-delta-Kriterium
    • Rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit
    • Sprungstellen, Pole und Oszillationsstellen
    • Rechenregeln für stetige Funktionen
    • Extremalstellen und Stetigkeit
    • Zwischenwertsatz und Bisektion

Kapitel 4: Differentialrechnung in R

  • Differentiation
    • Definition der Ableitung
    • Ableitungen wichtiger Funktionen
    • Differenzierbarkeit und Stetigkeit
    • Ableitungsregeln
    • Stetige Differenzierbarkeit
    • Höhere Ableitungen
    • Einseitige Differenzierbarkeit
  • Anwendungen der Differentialrechnung
    • Monotoniekriterien
    • Extremalstellen und Differenzierbarkeit
    • Mittelwertsatz
    • Regel von de l'Hopital
    • Konvexe Funktionen
    • Taylor-Polynome
    • Restgliedabschätzungen für Taylor-Polynome
    • Das Newton-Verfahren
    • Polynom-Interpolation
    • Konstruktion, Fehlerabschätzungen, Runges Phänomen

Kapitel 5: Integralrechnung in R

  • Definition des Riemann-Integrals durch Ober- und Untersummen
  • Kriterien für Riemann-Integrierbarkeit
  • Riemann-Summen
  • Integrationsregeln, Mittelwertsatz der Integralrechnung
  • Stammfunktionen und unbestimmte Integrale
  • Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • Partielle Integration
  • Berechnung von Flächeninhalten und Bogenlänge
  • Fläche und Volumen von Rotationskörpern
  • Schwerpunkte
  • Die Substitutionsregel
  • Logarithmische Integration
  • Integration rationaler Funktionen
  • Integration rationaler Funktionen in Sinus und Kosinus, Halbwinkelmethode
  • Uneigentliche Integrale, der Cauchy-Hauptwert
  • Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale
  • Numerische Integration
  • Summierte Regeln
  • Newton-Cotes-Formeln

Kapitel 6: Komplexe Zahlen

  • Definition von komplexen Zahlen
  • Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen
  • Die Gaußsche Zahlenebene
  • Der Betrag
  • Komplexe Konjugation
  • Faktorisierung von Polynomen
  • Fundamentalsatz der Algebra
  • Polarkoordinaten, Interpretation der Multiplikation
  • Potenzieren und Wurzelziehen
  • Trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion
  • Die Eulersche Formel

Kapitel 7: Lineare Algebra

  • Lineare Gleichungssysteme
    • Motivation und Definition
    • Eine, keine, oder unendlich viele Lösungen
    • Das Gauß-Verfahren
    • Matrix-Darstellung von linearen Gleichungssystemen
    • Der Rang einer Matrix
    • Die Lösungsmenge von homogenen linearen Gleichungssystemen
  • Vektorräume und lineare Unabhängigkeit
    • Definition von Vektorräumen, Beispiele
    • Untervektorräume
    • Linearkombinationen
    • Lineare Hülle, Erzeugendensysteme
    • Lineare Unabhängigkeit
    • Basis eines Vektorraums, Dimension
  • Lineare Abbildungen
    • Matrizen und Vektoren im R^n
    • Addition uns Multiplikation mit einem Skalar
    • Matrix-Vektor-Multiplikation
    • Definition einer lineare Abbildungen
    • Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen
    • Matrix-Matrix-Multiplikation
    • Inversion von Matrizen
    • Berechnung der inversen Matrix
  • Determinanten
    • Definition der Determinante
    • Entwicklungssatz von Laplace
    • Regel von Sarrus
    • Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenumformungen
    • Rechenregeln für die Determinante
    • Determinantenmultiplikationssatz
    • Berechnen der Determinante mit dem Gauß-Verfahren
    • Cramersche Regel
    • Interpretation der Determinante als Volumenänderung
  • Eigenwerte
    • Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren
    • Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren
    • Das charakteristische Polynom
    • Geometrische und algebraische Vielfachheit
    • Zusammenhang zwischen Eigenwerten und der Determinante
    • Eigenwerte spezieller Matrizen
    • Diagonalisierung von Matrizen

Kapitel 8: Analysis im Rn

  • Topologie und Folgen
    • Funktionen mehrerer Variablen
    • Rechnen mit solchen Funktionen
    • Kugeln und offene Mengen
    • Inneres, Rand und Abschluss einer Menge
    • Folgen von Vektoren
    • Konvergenz und Rechenregeln
  • Stetigkeit und Ableitungen
    • Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen
    • Rechenregeln für stetige Funktionen
    • Beschränktheit, inf, sup, Satz von Weierstraß
    • Partielle Ableitungen
    • Richtungsableitung
    • Gradient, Richtung des steilsten Anstiegs
    • Jacobi-Matrix
    • Totale Differenzierbarkeit
    • Rechenregeln für Ableitungen
    • Höhere partielle Ableitungen, Hesse-Matrix, Satz von Schwarz
    • Bestimmung von Extremstellen
    • Positiv/negativ (semi-)definite Matrizen
  • Ausgleichsrechnung, Taylor, Newton, implizite Funktionen
    • Lineare Ausgleichsrechnung, Normalengleichung, Lösbarkeit
    • Taylorpolynome, Restglied
    • Newton-Verfahren
    • Lokale quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens
    • Implizite Funktionen
    • Der Satz über implizite Funktionen
    • Ableitungen von impliziten Funktionen

Kapitel 9: Gewöhnliche Differentialgleichungen

  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
    • Motivation, Bespiele
    • Definition, Klassifikation
    • Anfangs- und Randwertprobleme
    • Richtungsfeld
    • Existenz: Satz von Peano
    • Eindeutigkeit: Satz von Picard-Lindelöf
  • Lösungstechniken für spezielle Gleichungen
    • Trennung der Variablen
    • Gleichungen die von y' und y'', aber nicht von y abhängen
    • (Exkurs: Die Hyperbelfunktionen)
    • Ähnlichkeitslösungen
  • Lineare skalare Differentialgleichungen
    • Definition
    • Homogene lineare Gleichungen
    • Lösungsmenge von homogenen Gleichungen
    • Konstruktion von Lösungen
    • Variation der Konstanten
  • Lineare Differentialgleichungssysteme
    • Definition, Lösbarkeit
    • Homogene Systeme, Lösbarkeit
    • Fundamentalsysteme
    • Wronski-Test
    • Gesamtheit aller Lösungen
    • Fundamentalsysteme für Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
    • Entkoppelung mittels einer Eigenvektorbasis
    • Lösungsstruktur von inhomogenen Gleichungssystemen
    • Schwingungslösungen, komplexe Eigenwerte
  • Numerik
    • Numerische Lösungen vs. Lösungen in geschlossener Form
    • Das explizite Euler-Verfahren
    • Das implizite Euler-Verfahren
    • Allgemeinere implizite Verfahren, Mittelpunktsregel
    • Fehlerabschätzungen, Konsistenz
    • Stabilität von Zeitschrittverfahren, steife Differentialgleichungen
    • Runge-Kutta-Verfahren

Semester 3: Verkehrsingenieure

Ab hier teilen sich die Themen. Für Verkehrsingenieurinnen gibt es nur ein weiteres Semester. Dort werden die folgenden drei Themen behandelt:

  • Kapitel 10: Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Kapitel 11: Integralrechnung im Rn
  • Kapitel 12: Integraltransformationen

Semester 3 und 4: Maschinenbauer

Hierzu gibt es an dieser Stelle noch keine Folien.

Installation

Jedes Kapitel befindet sich in einem Unterverzeichnis mit einem selbsterklärenden Namen. Um die TeX-Dateien übersetzen zu können braucht man mehrere Stil-Dateien (mit Endung .sty). Diese Dateien befinden sich im Verzeichnis beamer-style. An dieser Stelle werden sie jedoch von LaTeX nicht automatisch gefunden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder man kopiert diese Dateien jeweils in das Verzeichnis der TeX-Datei die man bauen möchte. Alternativ kann man die sty-Dateien einmal in das Verzeichnis $HOME/texmf/tex/latex/folien-TUD/ kopieren (Verzeichnis anlegen falls es noch nicht existiert). Dort sollten sie dann von überall gefunden werden.