Folien zum Thema "Mathe für Ingenieure"
Dieses Git-Projekt enthält Foliensätze für einen Zyklus "Einführung Mathematik" sowohl Studierende des Maschinenwesens und der Verkehrsingenieurwissenschaften. Es werden sowohl der drei-semestrige Zyklus der Verkehrsingenieure als auch der vier-semestrige Zyklus der Maschinenbauer abgedeckt.
Die Standard-Reihenfolge ist:
Semester 1 und 2
Kapitel 1: Vektorrechnung
- Der Euklidische Raum, Punkte und Vektoren
- Rechnen mit Vektoren, Betrag
- Winkel und Skalarprodukt
- Kreuzprodukt und Spatprodukt
- Geraden im Raum, Abstände von und zu Geraden
- Ebenen im Raum, Darstellungsformeln, Hessesche Normalform, Abstand zu einer Ebene
Kapitel 2: Folgen und Reihen
- Folgen
- Vollständige Induktion
- Definition von Zahlenfolgen
- Beschränktheit und Monotonie
- Konvergenz und Divergenz
- Konvergenzkriterien, Satz von Bolzano-Weierstraß, Cauchy-Kriterium
- Bestimmte Divergenz
- Rechenregeln für Grenzwerte
- Grenzwertbestimmung für rekursive Folgen
- Reihen
- Definition einer Reihe, Konvergenz
- Rechenregeln für Reihen
- Konvergenzkriterien
- Umordnung von Reihen, absolute Konvergenz
Kapitel 3: Reelle Funktionen
- Abbildungen
- Definition, Begriffe
- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
- Gerade und ungerade Funktionen
- Verkettung von Abbildungen
- Umkehrabbildungen
- Beschränktheit und Monotonie von Funktionen
- Polynome, Trigonometrische Funktionen
- Definition eines Polynoms, Begriffe
- Rechnen mit Polynomen
- Gradsatz, Nullstellensatz, Koeffizientenvergleich
- Faktorisierung von Polynomen
- Polynomdivision
- Partialbruchzerlegung
- Definition von sin und cos
- Eigenschaften, Satz von Pythagoras, Additionstheoreme
- Tangens und Kotangens
- Eigenschaften, Additionstheoreme
- Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
- Potenzreihen, exp und log
- Definition von Potenzreihen
- Konvergenzbereich und Konvergenzradius
- Koeffizientenvergleich für Potenzreihen
- Rechenregeln
- Die Exponentialreihe
- Funktionalgleichung
- Rechenregeln der Exponentialfunktion
- Der Logarithmus und seine Eigenschaften
- Die allgemeine Exponentialfunktion
- Grenzwerte und Stetigkeit
- Definition des Grenzwerts einer Funktion
- Definition von Stetigkeit
- Stetige Fortsetzungen
- Bestimmte Divergenz
- Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert
- Das epsilon-delta-Kriterium
- Rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit
- Sprungstellen, Pole und Oszillationsstellen
- Rechenregeln für stetige Funktionen
- Extremalstellen und Stetigkeit
- Zwischenwertsatz und Bisektion
Kapitel 4: Differentialrechnung in R
- Differentiation
- Definition der Ableitung
- Ableitungen wichtiger Funktionen
- Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Ableitungsregeln
- Stetige Differenzierbarkeit
- Höhere Ableitungen
- Einseitige Differenzierbarkeit
- Anwendungen der Differentialrechnung
- Monotoniekriterien
- Extremalstellen und Differenzierbarkeit
- Mittelwertsatz
- Regel von de l'Hopital
- Konvexe Funktionen
- Taylor-Polynome
- Restgliedabschätzungen für Taylor-Polynome
- Das Newton-Verfahren
- Polynom-Interpolation
- Konstruktion, Fehlerabschätzungen, Runges Phänomen
Kapitel 5: Integralrechnung in R
- Definition des Riemann-Integrals durch Ober- und Untersummen
- Kriterien für Riemann-Integrierbarkeit
- Riemann-Summen
- Integrationsregeln, Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Stammfunktionen und unbestimmte Integrale
- Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Partielle Integration
- Berechnung von Flächeninhalten und Bogenlänge
- Fläche und Volumen von Rotationskörpern
- Schwerpunkte
- Die Substitutionsregel
- Logarithmische Integration
- Integration rationaler Funktionen
- Integration rationaler Funktionen in Sinus und Kosinus, Halbwinkelmethode
- Uneigentliche Integrale, der Cauchy-Hauptwert
- Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale
- Numerische Integration
- Summierte Regeln
- Newton-Cotes-Formeln
Kapitel 6: Komplexe Zahlen
- Definition von komplexen Zahlen
- Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen
- Die Gaußsche Zahlenebene
- Der Betrag
- Komplexe Konjugation
- Faktorisierung von Polynomen
- Fundamentalsatz der Algebra
- Polarkoordinaten, Interpretation der Multiplikation
- Potenzieren und Wurzelziehen
- Trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion
- Die Eulersche Formel
Kapitel 7: Lineare Algebra
- Lineare Gleichungssysteme
- Motivation und Definition
- Eine, keine, oder unendlich viele Lösungen
- Das Gauß-Verfahren
- Matrix-Darstellung von linearen Gleichungssystemen
- Der Rang einer Matrix
- Die Lösungsmenge von homogenen linearen Gleichungssystemen
- Vektorräume und lineare Unabhängigkeit
- Definition von Vektorräumen, Beispiele
- Untervektorräume
- Linearkombinationen
- Lineare Hülle, Erzeugendensysteme
- Lineare Unabhängigkeit
- Basis eines Vektorraums, Dimension
- Lineare Abbildungen
- Matrizen und Vektoren im R^n
- Addition uns Multiplikation mit einem Skalar
- Matrix-Vektor-Multiplikation
- Definition einer lineare Abbildungen
- Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen
- Matrix-Matrix-Multiplikation
- Inversion von Matrizen
- Berechnung der inversen Matrix
- Determinanten
- Definition der Determinante
- Entwicklungssatz von Laplace
- Regel von Sarrus
- Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenumformungen
- Rechenregeln für die Determinante
- Determinantenmultiplikationssatz
- Berechnen der Determinante mit dem Gauß-Verfahren
- Cramersche Regel
- Interpretation der Determinante als Volumenänderung
- Eigenwerte
- Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren
- Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren
- Das charakteristische Polynom
- Geometrische und algebraische Vielfachheit
- Zusammenhang zwischen Eigenwerten und der Determinante
- Eigenwerte spezieller Matrizen
- Diagonalisierung von Matrizen
Kapitel 8: Analysis im Rn
- Topologie und Folgen
- Funktionen mehrerer Variablen
- Rechnen mit solchen Funktionen
- Kugeln und offene Mengen
- Inneres, Rand und Abschluss einer Menge
- Folgen von Vektoren
- Konvergenz und Rechenregeln
- Stetigkeit und Ableitungen
- Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen
- Rechenregeln für stetige Funktionen
- Beschränktheit, inf, sup, Satz von Weierstraß
- Partielle Ableitungen
- Richtungsableitung
- Gradient, Richtung des steilsten Anstiegs
- Jacobi-Matrix
- Totale Differenzierbarkeit
- Rechenregeln für Ableitungen
- Höhere partielle Ableitungen, Hesse-Matrix, Satz von Schwarz
- Bestimmung von Extremstellen
- Positiv/negativ (semi-)definite Matrizen
- Ausgleichsrechnung, Taylor, Newton, implizite Funktionen
- Lineare Ausgleichsrechnung, Normalengleichung, Lösbarkeit
- Taylorpolynome, Restglied
- Newton-Verfahren
- Lokale quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens
- Implizite Funktionen
- Der Satz über implizite Funktionen
- Ableitungen von impliziten Funktionen
Kapitel 9: Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Motivation, Bespiele
- Definition, Klassifikation
- Anfangs- und Randwertprobleme
- Richtungsfeld
- Existenz: Satz von Peano
- Eindeutigkeit: Satz von Picard-Lindelöf
- Lösungstechniken für spezielle Gleichungen
- Trennung der Variablen
- Gleichungen die von y' und y'', aber nicht von y abhängen
- (Exkurs: Die Hyperbelfunktionen)
- Ähnlichkeitslösungen
- Lineare skalare Differentialgleichungen
- Definition
- Homogene lineare Gleichungen
- Lösungsmenge von homogenen Gleichungen
- Konstruktion von Lösungen
- Variation der Konstanten
- Lineare Differentialgleichungssysteme
- Definition, Lösbarkeit
- Homogene Systeme, Lösbarkeit
- Fundamentalsysteme
- Wronski-Test
- Gesamtheit aller Lösungen
- Fundamentalsysteme für Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
- Entkoppelung mittels einer Eigenvektorbasis
- Lösungsstruktur von inhomogenen Gleichungssystemen
- Schwingungslösungen, komplexe Eigenwerte
- Numerik
- Numerische Lösungen vs. Lösungen in geschlossener Form
- Das explizite Euler-Verfahren
- Das implizite Euler-Verfahren
- Allgemeinere implizite Verfahren, Mittelpunktsregel
- Fehlerabschätzungen, Konsistenz
- Stabilität von Zeitschrittverfahren, steife Differentialgleichungen
- Runge-Kutta-Verfahren
Semester 3: Verkehrsingenieure
Ab hier teilen sich die Themen. Für Verkehrsingenieurinnen gibt es nur ein weiteres Semester. Dort werden die folgenden drei Themen behandelt:
- Kapitel 10: Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Kapitel 11: Integralrechnung im Rn
- Kapitel 12: Integraltransformationen
Semester 3 und 4: Maschinenbauer
Hierzu gibt es an dieser Stelle noch keine Folien.
Installation
Jedes Kapitel befindet sich in einem Unterverzeichnis mit einem selbsterklärenden Namen.
Um die TeX-Dateien übersetzen zu können braucht man mehrere Stil-Dateien (mit Endung .sty).
Diese Dateien befinden sich im Verzeichnis beamer-style
. An dieser Stelle werden sie
jedoch von LaTeX nicht automatisch gefunden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder man
kopiert diese Dateien jeweils in das Verzeichnis der TeX-Datei die man bauen möchte.
Alternativ kann man die sty-Dateien einmal in das Verzeichnis $HOME/texmf/tex/latex/folien-TUD/
kopieren (Verzeichnis anlegen falls es noch nicht existiert). Dort sollten sie dann von
überall gefunden werden.