Erster Entwurf eines Kapitels zu Teilraumkorrekturverfahren

skript-mehrgitter-sander.bib

@@ -28,6 +28,14 @@ year = {2013}
  author = {Wolfgang Dahmen and Arnold Reusken}
 }
 
+@MastersThesis{stolzmann:2020,
+ author = {Henrik Stolzmann},
+ title = {Robuste Mehrgittermethoden in $H(\operatorname{div})$},
+ school = {TU Dresden, Fakultät für Mathematik},
+ year = {2020},
+ type = {Masterarbeit}
+}
+
 @Book{pissanetzky:1984,
  title = {Sparse Matrix Technology},
  publisher = {Academic Press},
@@ -74,3 +82,16 @@ year = {2013}
  volume = {52},
  pages = {427--458}
 }
+
+@Book{smith_bjorstad_gropp:1996,
+ title = {Domain Decomposition -- Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations},
+ publisher = {Cambridge University Press},
+ year = {1996},
+ author = {Barry Smith and Petter Bj{\o}rstad and William Gropp}
+}
+
+@misc{bramble1993multigrid,
+  title={Multigrid methods, Pitman Research Notes in Mathematical Sciences, vol. 294},
+  author={Bramble, J. H.},
+  year={1993}
+}

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -11,6 +11,7 @@
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@@ -49,7 +52,6 @@
 
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 % Bold letters
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+
+\DeclarePairedDelimiter{\set}{\lbrace}{\rbrace}
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 \theoremstyle{plain} %Text ist Kursiv
 \newtheorem{theorem}{Satz}[chapter]
-\newtheorem{hilfssatz}{Hilfssatz}[chapter]
+\newtheorem{hilfssatz}[theorem]{Hilfssatz}
 \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
 \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
 \newtheorem{corollary}[theorem]{Korollar}
@@ -705,7 +727,7 @@ Dabei wählt man einen Parameter $\eta > 0$ und definiert
 
 Wir wenden das bekannte Konvergenzkriterium an:
 \begin{theorem}
-Das Jacobi Verfahren konvergiert genau dann, wenn $\rho \left(I- \eta D^{-1}A \right) <1$.
+Das Jacobi Verfahren konvergiert genau dann, wenn $\rho (I- \eta D^{-1}A ) <1$.
 \end{theorem}
 
 Das Verfahren konvergiert also immer, wenn man nur $\eta$ klein genug wählt.
@@ -727,7 +749,7 @@ Die folgende Rechnung stammt aus~\citet[Beispiel~13.10]{dahmen_reusken:2008}.
 Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems auf einem uniformen Gitter
 mit Dreiecks- oder Viereckselementen.  Eine Zeile von $A$ ist dann
 \begin{equation*}
-    \frac{1}{h^2} \left(4u_{i,j}-u_{i-1,j}-u_{i+1,j}-u_{i,j-1}-u_{i,j+1} \right)=f_i.
+    \frac{1}{h^2} (4u_{i,j}-u_{i-1,j}-u_{i+1,j}-u_{i,j-1}-u_{i,j+1} )=f_i.
 \end{equation*}
 
 \begin{exercise}
@@ -758,10 +780,10 @@ Daraus folgt dass
 \begin{align*}
  \rho (I - \eta D^{-1}A )
  & =
- \sup \left\lbrace \abs[\Big]{1- \frac{1}{4} \eta h^2 \lambda} \; : \; \text{$\lambda$ Eigenwert von $A$} \right\rbrace \\
+ \sup \lbrace \abs[\Big]{1- \frac{1}{4} \eta h^2 \lambda} \; : \; \text{$\lambda$ Eigenwert von $A$} \rbrace \\
  %
  & =
- 1-2 \eta \sin^2 \left( \frac{1}{2} \pi h \right).
+ 1-2 \eta \sin^2 ( \frac{1}{2} \pi h ).
 \end{align*}
 Mit $\eta = 1$ erhält man:
 \todo[inline]{Zeige den allgemeinen Fall!}
@@ -773,7 +795,7 @@ Mit $\eta = 1$ erhält man:
 
 Taylor-Entwicklung:
 \begin{equation*}
-    \cos \left( \pi h \right)=1-\frac{1}{2} \pi^2 h^2+\ldots
+    \cos ( \pi h )=1-\frac{1}{2} \pi^2 h^2+\ldots
 \end{equation*}
 Also ist
 \begin{equation*}
@@ -796,7 +818,7 @@ Da $\frac{\norm{e^k}}{\norm{e^0}} \approx \rho^k$ erhält man
  =
  \log_\rho \frac{1}{R}
  =
- \frac{-\ln R}{\ln \rho \left(I-D^{-1}A \right)} \approx \frac{-\ln R}{\ln \left(1-\frac{1}{2}\pi^2 h^2 \right)} \approx \frac{2}{\pi^2 h^2} \ln R,
+ \frac{-\ln R}{\ln \rho (I-D^{-1}A )} \approx \frac{-\ln R}{\ln (1-\frac{1}{2}\pi^2 h^2 )} \approx \frac{2}{\pi^2 h^2} \ln R,
 \end{equation*}
 da $\ln x \approx (x-1)-\frac{1}{2} (x-1)^2 + \ldots$ ist.
 
@@ -813,8 +835,8 @@ Betrachte noch einmal die Jacobi-Rechenvorschrift:
 \begin{equation*}
  x_i^{k+1}
  =
- \frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-A_{i1}x_1^{k} - A_{i2}x_2^{k}-
-   \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^k - A_{i,i+1}x_{i+1}^k - \ldots - A_{in}x_n^k \right).
+ \frac{1}{A_{ii}} (b_i-A_{i1}x_1^{k} - A_{i2}x_2^{k}-
+   \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^k - A_{i,i+1}x_{i+1}^k - \ldots - A_{in}x_n^k ).
 \end{equation*}
 Eigentlich haben wir für $x_1,\ldots,x_{i-1}$ schon bessere Werte als $x_1^k,\ldots,x_{i-1}^k$, nämlich $x_1^{k+1},\ldots,x_{i-1}^{k+1}$.
 
@@ -824,9 +846,9 @@ Gauß-Seidel-Verfahren:
 \begin{align*}
  x_i^{k+1}
  & =
- \frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-A_{i1}x_1^{k+1} - \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^{k+1}-A_{i,i+1}x_{i+1}^k-\ldots-A_{in}x_n^k \right) \\
+ \frac{1}{A_{ii}} (b_i-A_{i1}x_1^{k+1} - \ldots -A_{i,i-1}x_{i-1}^{k+1}-A_{i,i+1}x_{i+1}^k-\ldots-A_{in}x_n^k ) \\
  & =
- \frac{1}{A_{ii}} \left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} A_{ij}x_j^{k+1} -\sum_{j=i+1}^n A_{ij} x_j^k \right).
+ \frac{1}{A_{ii}} (b_i-\sum_{j=1}^{i-1} A_{ij}x_j^{k+1} -\sum_{j=i+1}^n A_{ij} x_j^k ).
 \end{align*}
 $x_i^{k+1}$ hängt von $x_{i-1}^{k+1}$ ab $\implies$ keine Parallelisierung möglich.
 
@@ -859,6 +881,8 @@ Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
   des Spektralradius der Gauß-Seidel Methode.  Laut \citet{dahmen_reusken:2008}
   steht das bei \cite{hackbusch:1994}.
 
+  \todo[inline]{I overlooked Remark 5.5.2. in [3] (On the top of page 131). There is the explicit statement.}
+
   \begin{exercise}
    Finden Sie die genaue Stelle, und sagen Sie mir bescheid.
   \end{exercise}
@@ -888,7 +912,7 @@ Sei $A$ die Matrix des Poisson-Problems für ein quadratisches Gebiet.
  \begin{equation*}
   \frac{- \ln R}{\ln \rho (I-(D-L)^{-1}A)}
    \approx
-  \frac{- \ln R}{\ln \left(1-\pi^2h^2 \right)} \approx \frac{\ln R}{\pi^2h^2}
+  \frac{- \ln R}{\ln (1-\pi^2h^2 )} \approx \frac{\ln R}{\pi^2h^2}
  \end{equation*}
  Iterationen.
 \end{itemize}
@@ -929,7 +953,7 @@ wobei $\norm{\cdot}_A$ die Energienorm ist.
 \begin{theorem}[{\cite{shewchuk:1994}}]
 Sei $\kappa$ die Kondition der Matrix $A$. Dann gilt nach $k$ Schritten des CG-Verfahrens
 \begin{align*}
- \norm{e^k}_A \leq 2 \left( \frac{\sqrt{\kappa}-1}{\sqrt{\kappa}+1} \right)^k \cdot \norm{e^0}_A.
+ \norm{e^k}_A \leq 2 ( \frac{\sqrt{\kappa}-1}{\sqrt{\kappa}+1} )^k \cdot \norm{e^0}_A.
 \end{align*}
 \end{theorem}
 
@@ -1519,7 +1543,7 @@ Falls $\hat{A}$ nicht klein ist: Mehrgitter!
 Man erhält das Mehrgitterverfahren.  Zuerst konstruieren wir die Hierarchie
 der Steifigkeitsmatrizen $A_j$
 
-\begin{algorithm}[H]\label{MGVerfahrenAlg}
+\begin{algorithm}[H]
   \DontPrintSemicolon
     \textbf{Input:}$A_K = A$\\
     \For {$j = K-1,\dots,0$}{
@@ -1797,9 +1821,1726 @@ Ein möglicher Ausweg: Die Hierarchische-Basis-Methode~\cite{bank_dupont_yserent
 \end{itemize}
 
 
-
 \chapter{Teilraumkorrekturverfahren}
 
+Wir beweisen jetzt die gitterunabhängige Konvergenz von Mehrgitterverfahren für elliptische Probleme.
+
+\medskip
+
+Dafür benutzen wir die Theorie der Teilraumkorrekturverfahren.
+
+\begin{itemize}
+ \item \emph{Nachteil}: Es wird jetzt erstmal etwas trocken.
+
+ \item Vorteil~I: Wir können gitterunabhängige Konvergenz des Mehrgitterverfahrens zeigen,
+   ohne besondere Anforderungen an die Glattheit der Lösung $u$ stellen zu müssen.
+
+ \item Vorteil~II: Es gibt noch viele andere Verfahren, die man als
+   Teilraumkorrekturverfahren interpretieren kann.
+\end{itemize}
+
+\section{Projektionen}
+
+Sei $X$ ein Hilbertraum mit Skalarprodukt $a(\cdot,\cdot) : X \times X \to \R$.
+
+\medskip
+
+Für uns ist $X$ meistens $\R^N$ oder ein Finite-Elemente-Raum $V_h$.
+Es kann aber auch ein Sobolev-Raum wie $H^1_0(\Omega)$ sein.
+
+\medskip
+
+Das Skalarprodukt induziert eine Norm
+\begin{equation*}
+ \norm{v}_a = \sqrt{a(v,v)}
+ \qquad
+ \forall v \in X.
+\end{equation*}
+
+Sei $X_1$ ein linearer Teilraum von $X$, und $e \in X$.
+
+\medskip
+
+\emph{Frage:} Welches Element $e_1$ aus $X$ ist am nächsten an $e$ dran?
+
+\begin{definition}
+ Die Projektion von $e$ auf $X_1$ bzgl.\ $a(\cdot,\cdot)$ ist
+ \begin{equation*}
+  P_1 e \colonequals \argmin_{v \in X_1} \norm{e-v}_a.
+ \end{equation*}
+\end{definition}
+
+Leider kann man mit $\argmin$ schlecht rechnen.
+
+\medskip
+
+Alternativ kann man folgende Charakterisierung verwenden:
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+ \draw [<->] (-3,0) -- (3,0);
+ \draw [<->] ( 0,-1.5) -- (0,2);
+
+ \draw [thick] (-2,-1) -- (2.5,1.25);
+
+ \tikzset{ballstyle/.style={circle,draw,fill=black,inner sep=0pt,minimum size=1.1mm}}
+ \node (P1e) [ballstyle,label={-45:$P_1e$}] at (2,1) {};
+ \node (e) [ballstyle,label={135:$e$}] at (1.5,2) {};
+
+ \draw [dashed] (e) -- (P1e);
+
+ \node at (-2,2) {$X$};
+ \node at (-2,-0.6) {$X_1$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Der \glqq Unterschied\grqq{} $e-Pe$ steht senkrecht auf $X_1$,
+bzlg.\ des Skalarprodukts $a(\cdot,\cdot)$.
+
+\begin{lemma}
+ Sei $e_1 \in X_1$ und $e \in X$.  Es gilt
+ \begin{equation*}
+  e_1 = P_1e
+ \end{equation*}
+ genau dann wenn
+ \begin{equation*}
+  a(e_1 - e,v) = 0 \quad \forall v \in X_1
+  \qquad \text{bzw.} \qquad
+  a(e_1,v) = a(e,v) \quad \forall v \in X_1.
+ \end{equation*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ Wir zeigen nur dass aus $a(e_1,v) = a(e,v) \; \forall v \in X_1$ die Gleichheit $e_1 = P_1 e$ folgt.
+
+ \medskip
+
+ Sei $v \in X_1$ beliebig.  Dann gilt
+ \begin{align*}
+  \norm{e_1-e}^2_a
+  & =
+  a (e_1-e, e_1-e) + \underbrace{a(e_1-e, v-e_1)}_{=0} \\
+  %
+  & =
+  a(e_1-e,v-e) \\
+  %
+  & \le
+  \norm{e_1-e}_a \cdot \norm{v-e}_a \qquad \text{(Cauchy--Schwarz)}.
+ \end{align*}
+ Einmal durch $\norm{e_1-e}_a$ teilen gibt
+ \begin{equation*}
+  \norm{e_1-e}_a \le \norm{v-e}_a \qquad \forall v \in V_1.
+  \qedhere
+ \end{equation*}
+\end{proof}
+
+
+\section{Abstrakte Teilraumkorrekturverfahren}
+
+Wir führen jetzt eine abstrakte Verfahrensklasse ein.  Dabei treffen wir
+alte Bekannte wieder.
+
+\medskip
+
+Sei wieder $X$ ein Vektorraum, diesmal mit:
+\begin{itemize}
+ \item einem Skalarprodukt $(\cdot,\cdot) : X \to X \to \R$,
+
+   \medskip
+   ($X$ sei vollständig bzgl.\ der von $(\cdot,\cdot)$ induzierten Norm),
+
+ \item einer $X$-elliptischen Bilinearform $a(\cdot,\cdot) : X \times X \to \R$.
+\end{itemize}
+
+\medskip
+
+Wir suchen eine Lösung $u^*$ des Variationsproblems
+\begin{equation}
+\label{eq:scm_general_weak_problem}
+ a(u,v) = (f,v)
+ \qquad
+ \forall v \in X.
+\end{equation}
+
+Definiere den linearen Operator $A : X \to X$ durch
+\begin{equation*}
+ (Av,w) = a(v,w)
+ \qquad
+ \forall v,w \in X.
+\end{equation*}
+Dann ist~\eqref{eq:scm_general_weak_problem} äquivalent zu
+\begin{equation*}
+ Au = f.
+\end{equation*}
+
+\subsection{Idee der Teilraumkorrekturverfahren}
+
+Sei wieder $X_1$ ein Teilraum von $X$, und $P_1 : X \to X_1$
+die $a(\cdot,\cdot)$-orthogonale Projektion.
+
+\begin{itemize}
+ \item Sei $u^* \in X$ die Lösung von $Au = f$, und $u^k \in X$
+   die aktuelle Iterierte eines iterativen Verfahrens.
+
+ \begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+ \draw [<->] (-3,0) -- (3,0);
+ \draw [<->] ( 0,-1.5) -- (0,2);
+ \node at (-2,2) {$X$};
+
+ \draw [thick] (-2,-1) -- (2.5,1.25);
+ \node at (-2,-0.6) {$X_1$};
+
+ \tikzset{ballstyle/.style={circle,draw,fill=black,inner sep=0pt,minimum size=1.1mm}}
+ \node (uk) [ballstyle,label={0:$u^k$}] at (1.8,1.8) {};
+ \node (ustar) [ballstyle,label={180:$u^*$}] at (1,0.7) {};
+
+ \draw [dashed] (uk) -- (ustar);
+ \draw [dashed,->] (uk) -- ++(-1.1,-0.55);
+
+ \node at (1,2) {$P_1(u^* - u^k)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+ \item Wir würden gerne $u^* - u^k$ ausrechnen, aber das ist so teuer
+   wie das eigentliche Berechnen von $u^*$.
+
+ \item \emph{Idee:} Billiger ist es, $P_1(u^* - u^k)$ zu berechnen,
+   denn das ist nur ein lineares Problem in $X_1$:
+   \begin{align*}
+    a(P_1(u^* - u^k), v)
+    & =
+    a(u^* - u^k, v) \\
+    & =
+    (f,v) - a(u^k,v)
+    \qquad
+    \forall v \in X_i.
+   \end{align*}
+
+ \item Vorschlag für eine bessere Approximation von $u^*$ deshalb
+  \begin{equation*}
+   u^{k+1} = u^k + P_1(u^* - u^k).
+  \end{equation*}
+\end{itemize}
+
+Das ganze kann natürlich nur dann zu einem konvergenten Verfahren führen,
+wenn man mehrere Teilräume hat.
+
+Für ein Teilraumkorrekturverfahren wählen wir jetzt eine endliche Menge von Teilräumen
+\begin{equation*}
+ X_i \subset X,
+ \qquad
+ i = 1,\dots, K.
+\end{equation*}
+Für jeden Raum $X_i$ definieren wir die $a(\cdot,\cdot)$-Projektion $P_i : X \to X_i$ durch
+\begin{equation*}
+ a(P_iu,v) = a(u,v)
+ \qquad
+ \forall v \in X_i.
+\end{equation*}
+
+\medskip
+
+Die jeweiligen Korrekturen kann man dann auf unterschiedliche Weise kombinieren:
+\begin{itemize}
+ \item Man kann sie addieren:
+  \begin{align*}
+   u^{k+1}
+   & =
+   u^k + P_1 (u^* - u^k) + P_2 (u^* - u^k) \\
+   & =
+   u^k + (P_1 + P_2) (u^* - u^k).
+  \end{align*}
+
+ \item Man kann sie nacheinander anwenden:
+  \begin{align*}
+   u^{k+\frac{1}{2}}
+   & =
+   u^k + P_1 (u^* - u^k) \\
+   u^{k+1}
+   & =
+   u^{k+\frac{1}{2}} + P_2 (u^* - u^{k+\frac{1}{2}}) \\
+   & =
+   u^k + P_1(u^* - u^k) + P_2(u^* - u^k - P_1(u^* - u^k)) \\
+   & =
+   u^k + (P_1 + P_2 - P_2 P_1)(u^* - u^k).
+  \end{align*}
+
+\end{itemize}
+
+Bei mehr als zwei Teilräumen kann man beliebige Kombinationen in betracht ziehen.
+
+\bigskip
+
+Das motiviert die folgende Definition:
+
+\begin{definition}
+Ein lineares Teilraumkorrekturverfahren ist eine Iteration der Form
+\begin{equation*}
+ u^{k+1} = u^k + \mathcal{P}(P_1,\dots,P_K)(u^* - u^k),
+\end{equation*}
+wobei $\mathcal{P}(P_1,\dots,P_K)$ ein Polynom in den Projektionsoperatoren $P_1,\dots,P_K$
+ist.
+\end{definition}
+
+Teilraumkorrekturverfahren sind lineare iterative Verfahren, denn
+\begin{equation*}
+ u^{k+1} = u^k + \mathcal{P}(P_1,\dots,P_K)(u^* - u^k) = u^k + \mathcal{P}(P_1,\dots,P_p)A^{-1}(f-Au^n).
+\end{equation*}
+
+Der Vorkonditionierer ist also $\mathcal{P}A^{-1}$, und die Iterationsmatrix
+ist $I- \mathcal{P}$.
+
+\medskip
+
+Beachte dass zur praktischen Durchführung die Matrix $A^{-1}$ \emph{nicht}
+berechnet werden muss!
+
+\subsection{Das additive Schwarz-Verfahren}
+
+Das additive Schwarz-Verfahren hat die Form
+\begin{align*}
+ u^{n+1}
+ & =
+ u^n + \mathcal{P}(P_1,\dots,P_K) A^{-1}(f-Au^n)
+\end{align*}
+mit
+\begin{equation*}
+\mathcal{P}(P_1,\dots,P_K) = P_1 + \dots + P_K
+\end{equation*}
+
+\todo[inline]{Beispiel: Das Jacobi-Verfahren als additives Schwarz-Verfahren}
+
+\subsection{Das multiplikative Schwarz-Verfahren}
+
+Mit den gleichen (Teil-)Räumen wie eben schreibt man
+\begin{equation*}
+ u^{n+1} = u^n + \Big[I-(I-B_pA)\dots(I-B_1A)\Big] A^{-1} (f-Au^n)
+\end{equation*}
+als Teilraumkorrekturverfahren mit
+\begin{equation*}
+ \mathcal{P}(P_1,\dots,P_p) = I-(I-B_pA)\dots(I-B_1A).
+\end{equation*}
+
+\paragraph{Beispiel: Gauß--Seidel-Verfahren für ein 2x2-System}
+
+Wir betrachten das Gauß--Seidel-Verfahren für das lineare Gleichungssystem
+\begin{equation*}
+ A x = b
+\end{equation*}
+mit einer $2 \times 2$ Matrix $A$.
+
+\begin{itemize}
+ \item Wähle $V = \R^2$ und zwei Teilräume $V_1 = (\cdot,0)$, $V_2 = (0,\cdot)$
+ %
+ \item Die $A$-Orthogonalprojektionen auf die Teilräume sind
+ \todo[inline]{Die $R_i$ sind noch nicht definiert!}
+ \begin{equation*}
+  P_i
+  =
+  R_i^T(R_i A R_i^T)^{-1} R_i A
+  =
+  \begin{cases}
+   \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}A & \text{if $i=1$} \\
+   \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a_{22}^{-1} \end{pmatrix}A & \text{if $i=2$}
+  \end{cases}
+ \end{equation*}
+\end{itemize}
+Also ist z.\,B. der erste Halbschritt des multiplikativen Schwarz-Verfahrens
+\begin{align*}
+ x^{n+1/2}
+ & =
+ x^n + P_1(x^* - x^n) \\
+ & =
+ \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A(x^* - x^n) \\
+ & =
+ \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (b - Ax^n) \\
+  & =
+ \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} (b_1 - a_{11} x_1^n - a_{12} x_2^n\\ 0  \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+
+\section{Konvergenz von Teilraumkorrekturverfahren}
+\label{sec:konvergenz_von_teilraumkorrekturverfahren}
+
+Wir zeigen jetzt ein abstraktes Konvergenzresultat für Teilraumkorrekturverfahren.
+
+\begin{itemize}
+ \item Hilbert-Raum $V$ mit Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$,
+  und einer Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$.
+ %
+ \item Wir beschränken uns auf den einfachen Fall: $a(\cdot,\cdot)$ ist symmetrisch
+    und elliptisch, es gibt also ein $\alpha > 0$ so dass $a(v,v) \ge \alpha (v,v)$ für alle $v \in V$.
+ %
+ \item Erzeugender Operator $A : V \to V$ von $a(\cdot,\cdot)$, also
+   \begin{equation*}
+    (Au,v) = a(u,v)  \qquad \forall u,v \in V
+   \end{equation*}
+ %
+ \item Familie von Teilräumen $V_i \subset V$, $i=1,\dots,K$.
+ %
+ \item $a$-Orthogonalprojektion $P_i : V \to V_i$.
+ %
+ \item Auf jedem Teilraum ist die Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$ definiert.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+\begin{remark}
+ In manchen Darstellungen (z.B.\ bei \citet{smith_bjorstad_gropp:1996}) werden zusätzlich
+ noch Bilinearformen $a_i(\cdot,\cdot) : V_i \times V_i \to \R$ eingeführt.
+ Damit kann man darstellen, dass man die lokalen Probleme
+ \todo[inline]{Welche genau?}
+ möglicherweise inexakt lösen möchte.  Wir machen davon keinen Gebrauch,
+ und lassen diesen Teil der Theorie deshalb weg.
+\end{remark}
+
+
+\subsection{Allgemeine Annahmen}
+
+Die Konvergenztheorie für Teilraumkorrekturverfahren gruppiert sich um zwei Parameter.
+\begin{itemize}
+ \item Diese beschreiben das Verhältnis der Teilräume $V_i$ zueinander.
+\end{itemize}
+
+Es kommen jetzt also zwei Definitionen von Parametern.  Wenn wir später Verfahren untersuchen
+werden wir immer diese Parameter untersuchen.
+
+\begin{definition}
+\label{def:TRK_annahme_1}
+ Sei $C_0$ die kleinste Zahl, so dass es für alle $u \in V$ eine Zerlegung $u = \sum_{i=1}^K u_i$,
+ $u_i \in V_i$ gibt mit
+ \begin{equation*}
+  \sum_{i=1}^K a(u_i,u_i) \le C_0^2 a(u,u).
+ \end{equation*}
+\end{definition}
+Am liebsten hätte man $C_0 \approx 1$.
+
+\todo[inline]{Interpretation; Bild!}
+
+\bigskip
+
+Der zweite Parameter misst, wie orthogonal die Teilräume aufeinanderstehen.
+
+\begin{definition}
+ Seien $0 \le \mathcal{E}_{ij} \le 1$, $i,j = 1,\dots,K$ die kleinsten Werte, für die
+ \begin{equation*}
+  \abs{ a(u_i,u_j) } \le \mathcal{E}_{ij} a(u_i,u_i)^{1/2} a(u_j,u_j)^{1/2}
+  \qquad
+  \forall u_i \in V_i, u_j \in V_j.
+ \end{equation*}
+ Bezeichne mit $\rho(\mathcal{E})$ den Spektralradius der Matrix $\mathcal{E}$.
+\end{definition}
+
+\begin{itemize}
+ \item $\mathcal{E}_{ij}=0$ bedeutet: $V_i$ steht $a(\cdot,\cdot)$-orthogonal auf $V_j$