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Whitney-Formen

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......@@ -8144,6 +8144,71 @@ $1$-Form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
Hier ist $\vec \omega_{(i,j)}$ ist der Wert den die $1$-Kokette $\vec \omega$
der orientierten Kante $(\ba_i,\ba_j)$ zuweist.
\medskip
In der Summe $\sum_{i,j}$ kommt jede Kante zweimal vor,
allerdings mit unterschiedlicher Orientierung.
Deshalb kann man alternativ schreiben
\begin{equation*}
\int_{(\bx,\by)} \mathsf{W}^1|_T \vec \omega
\colonequals
\sum_{i < j} (\lambda_i(\bx)\lambda_j(\by) - \lambda_i(\by) \lambda_j(\bx)) \vec \omega_{(i,j)}.
\end{equation*}
\bigskip
Wie macht man jetzt aber aus der Integralform $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
eine Differentialform? Dafür benutzt man dass
\begin{equation*}
\omega(\bx)(\bv_1,\dots,\bv_l)
=
l! \lim_{t \to 0} \int_{\Sigma_t} w,
\end{equation*}
wobei $\Sigma_t$ der $l$-Simplex $(\bx, \bx+t\bv_1,\dots,\bx+t\bv_l)$ ist.
\bigskip
Für $l=1$ erhält man einen sechsdimensionalen Vektorraum von $1$-Formen
auf einem Tetraeder. Mit Vektorstellvertretern geschrieben ist das
gerade der Raum
\begin{equation*}
\Big\{ \bv : T \to \R^3 \; : \;
\bv(\bx) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} \times \bx
\Big\}.
\end{equation*}
Das sind genau die Nédélec-Elemente niedrigster Ordnung.
\subsubsection{Der Fall $l\ge 2$}
So ähnlich kann man das auch für $l \ge 2$ machen.
\medskip
Man erhält die Interpolationsformel
\begin{equation*}
(\mathsf{W}^l|_T\omega)(\bx)
=
\sum_I \sum_{j=0}^l (-1)^j
\bigg( \lambda_{i_j} \bigwedge_{k=0,k\neq j}^l \bd \lambda_{i_k} \bigg)
\cdot \vec \omega_I.
\end{equation*}
Dabei läuft $I = (i_0,\dots, i_l)$ über alle $(l+1)$-Teilmengen
von $(0,\dots,n)$, und $\vec \omega_I$ ist der Koketten-Koeffizient
für die dazugehörige $l$-Seite.
\bigskip
Man erhält:
\begin{itemize}
\item Für $l=2$: Das Raviart-Thomas-Element niedrigster Ordnung,
\item für $l=3$: Stückweise konstante Finite Elemente.
\end{itemize}
\chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
......
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