Whitney-Formen

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -8144,6 +8144,71 @@ $1$-Form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
 Hier ist $\vec \omega_{(i,j)}$ ist der Wert den die $1$-Kokette $\vec \omega$
 der orientierten Kante $(\ba_i,\ba_j)$ zuweist.
 
+\medskip
+
+In der Summe $\sum_{i,j}$ kommt jede Kante zweimal vor,
+allerdings mit unterschiedlicher Orientierung.
+
+Deshalb kann man alternativ schreiben
+
+\begin{equation*}
+ \int_{(\bx,\by)} \mathsf{W}^1|_T \vec \omega
+ \colonequals
+ \sum_{i < j} (\lambda_i(\bx)\lambda_j(\by) - \lambda_i(\by) \lambda_j(\bx)) \vec \omega_{(i,j)}.
+\end{equation*}
+
+\bigskip
+
+Wie macht man jetzt aber aus der Integralform $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
+eine Differentialform?  Dafür benutzt man dass
+\begin{equation*}
+ \omega(\bx)(\bv_1,\dots,\bv_l)
+ =
+ l! \lim_{t \to 0} \int_{\Sigma_t} w,
+\end{equation*}
+wobei $\Sigma_t$ der $l$-Simplex $(\bx, \bx+t\bv_1,\dots,\bx+t\bv_l)$ ist.
+
+\bigskip
+
+Für $l=1$ erhält man einen sechsdimensionalen Vektorraum von $1$-Formen
+auf einem Tetraeder.  Mit Vektorstellvertretern geschrieben ist das
+gerade der Raum
+\begin{equation*}
+ \Big\{ \bv : T \to \R^3 \; : \;
+  \bv(\bx) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}
+  +
+  \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} \times \bx
+ \Big\}.
+\end{equation*}
+Das sind genau die Nédélec-Elemente niedrigster Ordnung.
+
+
+\subsubsection{Der Fall $l\ge 2$}
+
+So ähnlich kann man das auch für $l \ge 2$ machen.
+
+\medskip
+
+Man erhält die Interpolationsformel
+\begin{equation*}
+ (\mathsf{W}^l|_T\omega)(\bx)
+ =
+ \sum_I \sum_{j=0}^l (-1)^j
+ \bigg( \lambda_{i_j} \bigwedge_{k=0,k\neq j}^l \bd \lambda_{i_k} \bigg)
+ \cdot \vec \omega_I.
+\end{equation*}
+Dabei läuft $I = (i_0,\dots, i_l)$ über alle $(l+1)$-Teilmengen
+von $(0,\dots,n)$, und $\vec \omega_I$ ist der Koketten-Koeffizient
+für die dazugehörige $l$-Seite.
+
+\bigskip
+
+Man erhält:
+\begin{itemize}
+ \item Für $l=2$: Das Raviart-Thomas-Element niedrigster Ordnung,
+ \item für $l=3$: Stückweise konstante Finite Elemente.
+\end{itemize}
+
 
 \chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}