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Sander, Oliver
skript-mehrgitter
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5b68e26a
Commit
5b68e26a
authored
Jun 22, 2021
by
Sander, Oliver
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5b68e26a
...
...
@@ -8144,6 +8144,71 @@ $1$-Form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$
Hier ist
$
\vec
\omega
_{
(
i,j
)
}$
ist der Wert den die
$
1
$
-Kokette
$
\vec
\omega
$
der orientierten Kante
$
(
\ba
_
i,
\ba
_
j
)
$
zuweist.
\medskip
In der Summe
$
\sum
_{
i,j
}$
kommt jede Kante zweimal vor,
allerdings mit unterschiedlicher Orientierung.
Deshalb kann man alternativ schreiben
\begin{equation*}
\int
_{
(
\bx
,
\by
)
}
\mathsf
{
W
}^
1|
_
T
\vec
\omega
\colonequals
\sum
_{
i < j
}
(
\lambda
_
i(
\bx
)
\lambda
_
j(
\by
) -
\lambda
_
i(
\by
)
\lambda
_
j(
\bx
))
\vec
\omega
_{
(i,j)
}
.
\end{equation*}
\bigskip
Wie macht man jetzt aber aus der Integralform
$
\mathsf
{
W
}^
1
\vec
\omega
$
eine Differentialform? Dafür benutzt man dass
\begin{equation*}
\omega
(
\bx
)(
\bv
_
1,
\dots
,
\bv
_
l)
=
l!
\lim
_{
t
\to
0
}
\int
_{
\Sigma
_
t
}
w,
\end{equation*}
wobei
$
\Sigma
_
t
$
der
$
l
$
-Simplex
$
(
\bx
,
\bx
+
t
\bv
_
1
,
\dots
,
\bx
+
t
\bv
_
l
)
$
ist.
\bigskip
Für
$
l
=
1
$
erhält man einen sechsdimensionalen Vektorraum von
$
1
$
-Formen
auf einem Tetraeder. Mit Vektorstellvertretern geschrieben ist das
gerade der Raum
\begin{equation*}
\Big\{
\bv
: T
\to
\R
^
3
\;
:
\;
\bv
(
\bx
) =
\begin{pmatrix}
a
_
x
\\
a
_
y
\\
a
_
z
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b
_
x
\\
b
_
y
\\
b
_
z
\end{pmatrix}
\times
\bx
\Big\}
.
\end{equation*}
Das sind genau die Nédélec-Elemente niedrigster Ordnung.
\subsubsection
{
Der Fall
$
l
\ge
2
$}
So ähnlich kann man das auch für
$
l
\ge
2
$
machen.
\medskip
Man erhält die Interpolationsformel
\begin{equation*}
(
\mathsf
{
W
}^
l|
_
T
\omega
)(
\bx
)
=
\sum
_
I
\sum
_{
j=0
}^
l (-1)
^
j
\bigg
(
\lambda
_{
i
_
j
}
\bigwedge
_{
k=0,k
\neq
j
}^
l
\bd
\lambda
_{
i
_
k
}
\bigg
)
\cdot
\vec
\omega
_
I.
\end{equation*}
Dabei läuft
$
I
=
(
i
_
0
,
\dots
, i
_
l
)
$
über alle
$
(
l
+
1
)
$
-Teilmengen
von
$
(
0
,
\dots
,n
)
$
, und
$
\vec
\omega
_
I
$
ist der Koketten-Koeffizient
für die dazugehörige
$
l
$
-Seite.
\bigskip
Man erhält:
\begin{itemize}
\item
Für
$
l
=
2
$
: Das Raviart-Thomas-Element niedrigster Ordnung,
\item
für
$
l
=
3
$
: Stückweise konstante Finite Elemente.
\end{itemize}
\chapter
{
Mehrgitter für Probleme in
\texorpdfstring
{$
H
(
\div
)
$}{
H(div)
}
und
\texorpdfstring
{$
H
(
\curl
)
$}{
H(curl)
}}
...
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