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......@@ -3349,13 +3349,6 @@ eine Abhängigkeit von $K$.
\end{proof}
\todo[inline]{Den letzten Schritt nochmal nachprüfen!}
Da der größte Eigenwert von $P$ also kleiner als $\rho(\mathcal{E})$ ist folgt insbesondere
\begin{equation}
\label{eq:bound_sum_of_projections_no_coarse_space}
a(P v,v) \le \rho(\mathcal{E}) a(v,v).
\end{equation}
Das werden wir später benutzen.
\subsection{Konvergenz der abstrakten multiplikativen Schwarz-Methode}
......@@ -4176,9 +4169,9 @@ Anschaulich gesprochen, überlappen sich die Unterräume $X_{j}^k$ kaum.
Bevor wir diesen Satz beweisen, zeigen wir das Hilfslemma:
\begin{lemma}\label{smootherinveqinfsum}
Für die additive Methode von Schwarz mit $\eta=1$ gilt für alle $j=1,\dots ,J$
\begin{equation}
\begin{equation*}
((R_{j}^a)^{-1}x,x) = \inf_{\substack{x= \sum_{k=1}^{K} x^k\\x^k\in X_{j}^k }} \sum\limits_{k=1}^{K} A(x^k,x^k) \quad \forall x\in X_{j}.
\end{equation}
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Der Beweis basiert auf dem Beweis von Gleichung (2.1) aus \cite{arnold1997preconditioning}.
......@@ -4309,9 +4302,9 @@ mit $E_{0}=I$.
\begin{lemma}\label{asleqms}
Für die additive Methode von Schwarz $R^a_{j}$ und die multiplikative Methode von Schwarz $R^m_{j}$ gilt
\begin{equation}
\begin{equation*}
(R^a_{j}x,x) \leq \beta^2 (R_{j}^mx,x)\quad \forall x\in X_{j}
\end{equation}
\end{equation*}
mit $\beta$ aus der Überlappungsbedingung \eqref{ssmcondition1}.
\end{lemma}
\begin{proof}
......
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