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Mehr zu Zerlegungen der Nédélec- Raviart-Thomas-Räume

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......@@ -7416,6 +7416,7 @@ Die folgenden beiden Lemmata über die Interpolationsoperatoren sind dafür hilf
\end{lemma}
Der Beweis ist lang und wird deshalb in Lemma \ref{anhangcommunitativeInterpol2} im Anhang geführt.
\chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
......@@ -7515,9 +7516,9 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
Deshalb skalieren wir die Basisfunktionen $\phi _{T}$ dementsprechend.\\
Es ergeben sich die Zerlegungen
\begin{align*}
s &= \sum_{f\in \F_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^f_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{=:s^f\in S^f_{h}}\Bigg]\\
s &= \sum_{e\in \E_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\phi_{T}}_{=:s^e\in S^e_{h}}\Bigg]\\
s &= \sum_{v\in \V_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{=:s^v\in S^v_{h}}\Bigg].
s &= \sum_{f\in \F_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^f_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{\equalscolon s^f\in S^f_{h}}\Bigg]\\
s &= \sum_{e\in \E_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\phi_{T}}_{\equalscolon s^e\in S^e_{h}}\Bigg]\\
s &= \sum_{v\in \V_{h}} \Bigg[\underbrace{\sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{\equalscolon s^v\in S^v_{h}}\Bigg].
\end{align*}
Die zugehörigen Abschätzungen folgen sofort mit $\nu \in \V_{h}\cup\E_{h}\cup\F_{h}$
\begin{equation*}
......@@ -7547,18 +7548,20 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\end{align*}
Damit folgen die Zerlegungen
\begin{align*}
\bv &= \sum_{f\in \F_{h}} \Bigg[\underbrace{a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^f_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\bphi_{T}}_{=:\bv^f\in \bV_{h}^f} \Bigg]\\
\bv &= \sum_{e\in \E_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{f\in \F^e_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\bphi_{T}}_{=:\bv^f\in \bV^e_{h}}\Bigg]\\
\bv &= \sum_{v\in \V_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{f\in \F^v_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}_{T}\phi_{T}}_{=:\bv^f\in \bV^v_{h}}\Bigg].
\bv &= \sum_{f\in \F_{h}} \Bigg[\underbrace{a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^f_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\bphi_{T}}_{\equalscolon\bv^f\in \bV_{h}^f} \Bigg]\\
\bv &= \sum_{e\in \E_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{f\in \F^e_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\bphi_{T}}_{\equalscolon\bv^f\in \bV^e_{h}}\Bigg]\\
\bv &= \sum_{v\in \V_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{f\in \F^v_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}_{T}\phi_{T}}_{\equalscolon\bv^f\in \bV^v_{h}}\Bigg].
\end{align*}
Definiere für eine kompakte Notation die Menge $\F_{h}^f=\set{f}$.
Dann ergeben sich die zugehörigen Abschätzungen mit $\nu \in \V_{h}\cup\E_{h}\cup\F_{h}$
\todo[inline]{Rest des Beweises fehlt!}
\iffalse
\begin{align*}
\norm{\bv^\nu}_{\bL^2}
&\leq \sum_{f\in \F^\nu_{h}}\norm{a_{f}\bphi_{f}}_{\bL^2(\T_{h}^\nu)} + \sum_{T\in \T^\nu_{h}}\norm{ a_{T}\bphi_{T} }_{\bL^2^(\T^\nu_{h})}\\
&\leq \sum_{T\in \T^\nu_{h}} \left(\sum_{f\in \F^\nu_{h}}\norm{a_{f}\bphi_{f}}_{\bL^2(T)} + \norm{ a_{T}\bphi_{T} }_{\bL^2^(T)} \right).
\norm{\bv^\nu}_{\bL^2}
&\leq
\sum_{f\in \F^\nu_{h}}\norm{a_{f}\bphi_{f}}_{\bL^2(\T_{h}^\nu)}
+ \sum_{T\in \T^\nu_{h}} \norm{ a_{T}\bphi_{T} }_{\bL^2(\T^\nu_{h})}\\
&\leq
\sum_{T\in \T^\nu_{h}} \bigg(\sum_{f\in \F^\nu_{h}}\norm{a_{f}\bphi_{f}}_{\bL^2(T)}
+ \norm{ a_{T}\bphi_{T} }_{\bL^2(T)} \bigg).
\end{align*}
Nutze nun Lemma \ref{chExactSeqHelp} mit $\psi_{\nu}= \bphi_{f}$ bzw. $\psi_{\nu}=\bphi_{T}$ und $r = \bv|_{T}$ und erhalte
\begin{align*}
......@@ -7577,7 +7580,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\sum_{\nu \in \Theta_{h}}\sum_{T\in \T^\nu_{h}} \norm{\bv}_{\bL^2(T)}^2 \leq c^\nu \norm{\bv}^2
\end{equation*}
mit $c^v=c^f=4 $ bzw. $c_e=6$.
Und damit folgt die Behauptung für $\bV_{h}$.\\
Und damit folgt die Behauptung für $\bV_{h}$.
\textbf{3}) Der Raum der N\'ed\'elec Funktionen $\bQ_{h}$ besitzt nach Definition \ref{defNedelec} Freiheitsgrade, die auf Simplizes, Seiten und Kanten definiert sind.
......@@ -7585,17 +7588,17 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
\begin{equation*}
\bq = \sum_{T\in \T_{h}} a_{T}\bphi_{T} + \sum_{f\in \F_{h}} a_{f}\bphi_{f} + \sum_{e\in \E_{h}} a_{e}\bphi_{e}.
\end{equation*}
Mit $\supp\bphi_{e}=\T^e_{h}$ für eine Kante $e$, folgt im Allgemeinen $\bphi_{e} \not \in \bQ_{h}^T$ und $\bphi_{e} \not \in \bQ_{h}^f$.
Mit $\operatorname{supp}\bphi_{e}=\T^e_{h}$ für eine Kante $e$, folgt im Allgemeinen $\bphi_{e} \not \in \bQ_{h}^T$ und $\bphi_{e} \not \in \bQ_{h}^f$.
Daher kann es keine Zerlegung über die Simplizes oder Seiten des Gitters geben.
Wir nutzen dieselbe Idee wie oben mit dem Zusatz, dass Kanten durch zwei Ecken gebildet werden.
Wir definieren für eine Ecke $v$ die Menge
\begin{equation*}
\E^v_{h}&\colonequals\set{e\in \E_{h}| v\subset e}.
\E^v_{h} \colonequals\set{e\in \E_{h}| v\subset e}.
\end{equation*}
Damit folgen die Zerlegungen
\begin{align*}
\bq &= \sum_{e\in \E_{h}}\Bigg[\underbrace{a_{e}\bphi_{e} + \sum_{f\in \F^e_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\bphi_{T}}_{=:\bq^e\in \bQ^e_{h}}\Bigg]\\
\bq &= \sum_{v\in \V_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{e\in \E^v_h} \frac{1}{2}a_{e}\bphi_{e} + \sum_{f\in \F^v_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{=:\bq^v\in \bQ^v_{h}}\Bigg].
\bq &= \sum_{e\in \E_{h}}\Bigg[\underbrace{a_{e}\bphi_{e} + \sum_{f\in \F^e_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^e_{h}} \frac{1}{6}a_{T}\bphi_{T}}_{\equalscolon\bq^e\in \bQ^e_{h}}\Bigg]\\
\bq &= \sum_{v\in \V_{h}}\Bigg[\underbrace{\sum_{e\in \E^v_h} \frac{1}{2}a_{e}\bphi_{e} + \sum_{f\in \F^v_{h}} \frac{1}{3}a_{f}\bphi_{f} + \sum_{T\in \T^v_{h}} \frac{1}{4}a_{T}\phi_{T}}_{\equalscolon\bq^v\in \bQ^v_{h}}\Bigg].
\end{align*}
Für die Normabschätzung definiere die Menge $\E^e_{h} = \set{e}$.
Dann folgt analog zu $\bV_{h}$ mit $\nu\in \V_{h}\cup\E_{h}$
......@@ -7604,8 +7607,7 @@ Bevor wir Satz \ref{chExSeqZerlegung} beweisen zeigen wir folgende Hilfsaussage:
&\leq c (\#\E_{h}^\nu+\#\F^\nu_{h}+1)\norm{\bq}_{\bL^2(\T^\nu_{h})}.
\end{align*}
Insbesondere ist $\#\E^\nu_{h}$ nur von der Konstante der Quasiuniformität des Gitters $\T_{h}$ abhängig, nicht jedoch von der Anzahl der Elemente.
Der Rest der Abschätzung ist analog zu $\bV_{h}$.\\
\fi
Der Rest der Abschätzung ist analog zu $\bV_{h}$.
\end{proof}
\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
......@@ -7792,7 +7794,7 @@ Dafür formulieren wir das Lemma
\end{proof}
\subsection{Der Interpolationsoperator des N\'ed\'elec Elements}\label{interpolNedelec}
\subsection{Der Interpolationsoperator des Nédélec Elements}\label{interpolNedelec}
Analog zum Raviart-Thomas Element wollen wir beliebige Funktionen aus $\bH(\curlv,K)$ durch Funktionen aus $\bm{\Xi}_{k}^K$ approximieren.
Dafür definieren wir den lokalen Interpolationsoperator $\bPi^K:\bH(\curlv,K)\to \Xi_{k}^K$,
\begin{align}\label{defnedinterpol}
......@@ -7878,8 +7880,6 @@ Schließlich erhalten wir
\section{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
\chapter{Mehrgitter für DG-Verfahren}
......
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