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Detailverbesserungen beim H(div)-MG-Konvergenzbeweis

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......@@ -9153,7 +9153,7 @@ Dieses Problem soll im Folgenden $M_h$ heißen. Es hat eine eindeutige Lösung.
\medskip
Uns interessiert der Fall $f=\div \bv_h$ für ein $\bv_h \in \gradv S_h$.
Uns interessiert der Fall $f=\div \bv_h$ für ein $\bv_h \in \gradvh S_h$.
Dafür gilt folgende spezielle Abschätzung:
\begin{lemma}\label{lem:HelpProp}
......@@ -9165,7 +9165,7 @@ Dafür gilt folgende spezielle Abschätzung:
\end{align}
\end{lemma}
In Abschätzung~\eqref{eq:stabilitaet_generisch_III} geht es um Elemente des Raums $(\bI - \bP_h)\bV_h$.
In Abschätzung~\eqref{eq:stabilitaet_generisch_III} geht es um Elemente des Raums $(\bI - \bP_H)\bV_h$.
Die schauen wir uns jetzt genauer an.
\begin{theorem}\label{helpProp}
......@@ -9231,7 +9231,7 @@ d.h.\ $\norm{\bv}_A \colonequals \sqrt{a^d(\bv,\bv)}$.
Dies ist aber gerade das gemischte Problem $M_h$ mit $f = \div \bv_h$:
\begin{alignat*}{2}
(\bv_H,\bphi)+(\div\bphi,s_H) & = 0 &\qquad & \forall \bphi\in \bV_H \\
(\div\bV_H,\psi) \qquad \qquad \; & = (\div \bv_h,\psi) & & \forall \psi\in S_H.
(\div\bv_H,\psi) \qquad \qquad \; & = (\div \bv_h,\psi) & & \forall \psi\in S_H.
\end{alignat*}
\smallskip
......@@ -9421,7 +9421,7 @@ wobei $\bq_h$ so dass
&\leq
\norm{\curlv\bq_{h}}\norm{\boz-\bPi^Q_H\boz}.
\end{align*}
\todo[inline]{Unklar: Darf ich $\bPi^Q_H$ überhaupt auf $\boz$ anwenden?}
\todo[inline]{Unklar: Dieses Argument sieht bei~\citet{arnold2000multigrid} anders aus!}
Ein Satz über die Approximationseigenschaften von $\bQ_H$ liefert
\begin{align}\label{propQtriang2}
\norm{\bq}^2
......@@ -9458,8 +9458,8 @@ wobei $\bq_h$ so dass
\subsection{Inverse Ungleichungen}
Für den Beweis von Theorem \ref{mainTheorem} benötigen wir außerdem inverse Ungleichungen
für die Funktionen aus der diskreten Helmholtz-Zerlegung.
Für den Beweis von der Stabilität~\eqref{eq:stabilitaet_generisch_III} benötigen wir
außerdem inverse Ungleichungen für die Funktionen aus der diskreten Helmholtz-Zerlegung.
\medskip
......@@ -9468,18 +9468,19 @@ durch eine schwächere Norm abgeschätzt wird.
\smallskip
Konkreter: Wenn eine Funktionenraumnorm mit hohen Ableitungen durch eine Norm
mit weniger Ableitungen abgeschätzt wird.
Im Kontext von Funktionenräumen heißt das meistens dass eine Norm mit hohen Ableitungen
durch eine Norm mit weniger Ableitungen abgeschätzt wird.
\begin{lemma}[Inverse Ungleichungen]\label{inversIneq}
Sei $\X_{h} \in \set{\V_{h},\E_{h}}$ mit $\V_{h}$ und $\E_{h}$ aus Kapitel \ref{sectionDecompFESpaces} und sei $\nu\in \X_{h}$.
Sei $\X_h$ entweder die Menge $\V_h$ aller Knoten oder die Menge $\E_h$ aller Kanten,
und sei $\nu\in \X_{h}$.
Dann gelten für Funktionen $\bv^\nu \in \gradvh S^\nu_{h}$ und $\bq^\nu \in \bQ^\nu_{h}$ die Abschätzungen
\begin{equation}\label{inverse_ineq_v}
\norma{\bv^\nu}^2 \leq c(1 + \kappa^2 h^{-2}) \norm{\bv^\nu}^2 \quad \forall \nu \in \X_{h}
\norma{\bv^\nu}^2 \leq c(1 + \kappa^2 h^{-2}) \norm{\bv^\nu}^2
\end{equation}
und
\begin{equation}\label{inverse_ineq_q}
\norm{\curlv \bq^\nu}^2 \leq c\ h^{-2} \norm{\bq^\nu}^2 \quad \forall \nu \in \X_{h}.
\norm{\curlv \bq^\nu}^2 \leq c\ h^{-2} \norm{\bq^\nu}^2.
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
......@@ -9491,29 +9492,53 @@ mit weniger Ableitungen abgeschätzt wird.
Deshalb genügt es $\norm{\div \bv^\nu}^2 \leq c\ h^{-2} \norm{\bv^\nu}$ zu zeigen.
Dafür schreiben wir zunächst
\begin{align*}
\norm{\div \bv^\nu}^2 &= \int_{\Omega} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d \bx\\
&= \int_{\operatorname{supp}{\bv^\nu}} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d \bx\\
&= \sum_{K \in \operatorname{supp}{\bv^{\nu}}} \int_{K} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d\bx.
\norm{\div \bv^\nu}^2
=
\int_{\operatorname{supp}{\bv^\nu}} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d \bx
=
\sum_{K \in \operatorname{supp}{\bv^{\nu}}} \int_{K} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d\bx.
\end{align*}
Nun betrachten wir das Integral genauer und merken an, dass $\bv^\nu|_{K}$ ein Polynom ist.\\
Für Polynome gilt\todo{Warum?}
Für Polynome gilt aber\todo{Warum?}
\begin{equation}\label{divlegD}
\abs{\div \bv}^2\leq c \abs{D \bv}^2.
\abs{\div \bv}^2\leq c \abs{D \bv}^2,
\end{equation}
wobei $D\bv$ die Jacobi-Matrix von $\bv$ ist.
\medskip
Sei $F_{K}\colon \hat{K} \to K$ eine affine Abbildung mit $\bF_{k}\hat{\bx} = \bB_{k}\hat{\bx}+\bb$.
Dann transformieren wir $\bv^{\nu}$ auf das Referenzelement $\hat{K}$ mit $\bv^\nu(x) = \hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))$ und $\hat{\bv}$ einem Polynom auf $\hat{K}$.
Dann ergibt sich mit \eqref{divlegD}, der Normäquivalenz auf $\bV_{h}$ und Satz \ref{normBleqh}
Sei $F_K : \hat{K} \to K$ eine affine Abbildung mit $\bF_K \hat{\bx} = \bB\hat{\bx}+\bb$.
Wir transformieren $\bv^{\nu}$ auf das Referenzelement $\hat{K}$, und erhalten ein
Polynom $\hat{\bv}$ auf $\hat{K}$ so dass $\bv^\nu(\bx) = \hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))$.
Dann ergibt sich mit \eqref{divlegD}
\begin{align*}
\int_{K} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d\bx
& \stackrel{\eqref{divlegD}}{\leq}
c \int_{K} \abs{D\bv^\nu}^2 \,d\bx \\
&=
c\int_{K} \abs{D\left( \hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))\right) }^2 \,d\bx \\
&\leq
c\norm{\bB_{K}}^{-2} \int_{K} \abs{D\hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))}^2 \,d\bx \\
\stackrela{\text{Satz~\ref{normBleqh}}}{\leq}
c\int_{K} \abs{D\left( \hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))\right) }^2 \,d\bx.
\end{align*}
Die Kettenregel liefert
\begin{align*}
\int_{K} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d\bx
\leq
c \int_{K} \abs{D\hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))\bB^{-1}}^2 \,d\bx
\leq
c\norm{\bB^{-1}}^2 \int_{K} \abs{D\hat{\bv}^\nu(\bm{F}_{K}^{-1}(\bx))}^2 \,d\bx
\end{align*}
Wie in Lemma~\ref{} gezeigt gilt $\norm{\bB^{-1}} \le \frac{\hat{h}}{\rho}$, wobei $\hat{h}$
der Durchmesser von $\hat{K}$ und $\rho$ der Inkreisradius von $K$ ist.
\smallskip
Wegen der Quasiuniformität des Gitters ist $\frac{1}{\rho} \le c \frac{1}{h}$.
\todo[inline]{Dieses Argument noch mal in Ruhe überdenken!}
Deshalb folgt
\begin{align*}
\int_{K} \abs{\div \bv^\nu}^2 \,d\bx
& \leq
c h^{-2}\abs{\det \bB_{K}} \int_{\hat{K}} \abs{D\hat{\bv}^\nu(\hat{\bx})}^2 \,d\hat{\bx} \\
&\leq
c h^{-2}\abs{\det \bB_{K}} \norm{\hat{\bv}^\nu}^2_{\bH^1(\hat{K})}\\
......@@ -9522,20 +9547,23 @@ mit weniger Ableitungen abgeschätzt wird.
&\leq
c h^{-2} \norm{\bv^\nu}^2_{\bL^2(K)}.
\end{align*}
Wir haben also $\norm{\div \bv^\nu}^2 \le ch^{-2} \norm{\bv^n}^2$ gezeigt,
Wir haben also $\norm{\div \bv^\nu}^2 \le ch^{-2} \norm{\bv^\nu}^2$ gezeigt,
und damit~\eqref{inverse_ineq_v}.
\bigskip
Für \eqref{inverse_ineq_q} gehen wir analog vor und ersetzen $\abs{\div \bv^\nu}$ mit $\abs{\curlv \bq^\nu}$.
Hier ist $\bq^\nu|_{K}$ wieder ein Polynom und es gilt
Für \eqref{inverse_ineq_q} gehen wir analog vor und ersetzen nur $\abs{\div \bv^\nu}$ durch $\abs{\curlv \bq^\nu}$.
Auch hier ist $\bq^\nu|_{K}$ wieder ein Polynom und es gilt
\begin{equation*}
\abs{\curlv \bq^\nu|_{K}}^2\leq c \abs{D\bq^\nu|_{K}}^2.
\qedhere
\end{equation*}
Damit ergibt sich Ungleichung~\eqref{inverse_ineq_q}.
\end{proof}
Um den Lesefluss aufrecht zu erhalten, formulieren wir Theorem \ref{mainTheorem} erneut.
\subsection{Beweis der Stabilität}
Jetzt kommt endlich der eigentliche Stabilitätssatz.
\begin{theorem}
Seien $H \leq ch$ und $\bv\in (\bI-\bP_{H})\bV_{h}$ gegeben.
Dann existieren die Zerlegungen
......@@ -9543,20 +9571,36 @@ Um den Lesefluss aufrecht zu erhalten, formulieren wir Theorem \ref{mainTheorem}
\bv &= \sum\limits_{v\in \V_{h}} \bv^v,\quad \bv^v \in \bV^v_{h}\\
\bv &= \sum\limits_{e\in \E_{h}} \bv^e,\quad \bv^e \in \bV^e_{h}
\end{align*}
und zwei Konstante $\gamma_{1},\gamma_{2}$, die von $c$ abhängen aber nicht von $h,\rho$ und $\kappa$, sodass
und zwei Konstanten $\gamma_1,\gamma_2$, so dass
\begin{align*}
\sum_{v\in \V_{h}} a^d(\bv^v,\bv^v) &\leq \gamma_{1} a^d(\bv,\bv) \\
\sum_{e\in \E_{h}} a^d(\bv^e,\bv^e) &\leq \gamma_{2} a^d(\bv,\bv)
\end{align*}
gilt.
gilt. Die Konstanten $\gamma_1$, $\gamma_2$ hängen von $c$, aber nicht von
$h$ oder $\kappa$ ab.
\end{theorem}
Man beachte wieder dass wir \emph{keine} Stabilität der Seitenzerlegung zeigen,
obwohl so eine Zerlegung für die Raviart-Thomas-Elemente existiert.
\medskip
In der Tat kann Stabilität der Seitenzerlegung nicht gezeigt werden,
da der Beweis die Existenz einer solchen Zerlegung auch für das
Nédélec-Element benötigt.
\begin{proof}
Sei $\X_{h} \in \set{\V_{h},\E_{h}}$ entweder die Menge der Ecken oder
die Menge der Kanten des Gitters.
Sei $\X_h$ entweder die Menge der Ecken $\V_h$ oder die Menge der Kanten $\E_h$
des Gitters, und sei $\bv\in (\bI-\bP_{H})\bV_{h}$.
\medskip
Für $\bv\in (\bI-\bP_{H})\bV_{h}$ folgt mit Satz~\ref{chExSeqZerlegung}, dass eine diskrete Helmholtz Zerlegung
In einem ersten Schritt konstruieren wir zunächst eine passende Zerlegung
$\bv = \sum_{\nu} \bv^\nu$.
\medskip
Aus Satz~\ref{chExSeqZerlegung} folgt dass eine diskrete Helmholtz Zerlegung
\begin{equation*}
\bv = \til \bv + \curlv \bq
\end{equation*}
......@@ -9572,10 +9616,12 @@ Um den Lesefluss aufrecht zu erhalten, formulieren wir Theorem \ref{mainTheorem}
\end{equation*}
Mit Satz \ref{helpProp} und $H \leq ch$ folgt, dass die diskrete Helmholtz Zerlegung die Abschätzungen
\begin{equation}\label{helpmaintheoprop}
\kappa\norm{\til \bv} \leq ch\norm{\bv}_{A},\quad \norm{\bq} \leq ch \norm{\bv}
\kappa\norm{\til \bv} \leq ch\norm{\bv}_{A},
\qquad
\norm{\bq} \leq ch \norm{\bv}
\end{equation}
erfüllt.
Aus Satz \ref{chExSeqZerlegung} ist bekannt, dass für $\til \bv$ und $\bq$ die Zerlegungen
Aus Satz~\ref{chExSeqZerlegung} ist bekannt, dass für $\til \bv$ und $\bq$ die Zerlegungen
\begin{align*}
\til \bv &= \sum\limits_{\nu\in \X_{h}} \til \bv^\nu,\quad \til \bv^\nu\in\bV^\nu_{h}\\
\bq &= \sum\limits_{\nu\in \X_{h}} \bq^\nu,\quad \bq^\nu\in\bQ^\nu_{h}.
......@@ -9584,23 +9630,36 @@ Um den Lesefluss aufrecht zu erhalten, formulieren wir Theorem \ref{mainTheorem}
Diese Zerlegungen erfüllen nach Satz \ref{chExSeqZerlegung} die Abschätzungen
\begin{equation}\label{maintheodecompoineq}
\sum_{\nu\in \X_{h}} \norm{\til \bv^\nu}^2 \leq c \norm{\til \bv}^2,
\quad
\qquad
\sum_{\nu\in \X_{h}} \norm{\bq^\nu}^2 \leq c \norm{\bq}^2.
\end{equation}
Damit können wir $\bv^\nu := \til \bv^\nu + \curlv\bq^\nu \in \bV^\nu_{h}$ definieren.
Dann ergibt sich mit Lemma \ref{inversIneq}
Damit können wir $\bv^\nu \colonequals \til \bv^\nu + \curlv\bq^\nu \in \bV^\nu_{h}$ definieren.
\bigskip
Wir zeigen jetzt dass diese Zerlegung die geforderte Abschätzung erfüllt.
\medskip
Mit der inversen Abschätzung aus Lemma~\ref{inversIneq} ergibt sich
\begin{align*}
\sum\limits_{\nu\in \X_{h}} \norma{\bv^\nu}^2 \stackrela{\text{Lemma }\ref{helmholtOrthogonal}}{=} \sum\limits_{\nu\in \X_{h}} \left(\norma{\til \bv^\nu}^2 + \norm{\curlv \bq^\nu}^2 \right) \\
\stackrela{\text{Lemma }\ref{inversIneq}}{\leq} c \sum\limits_{\nu\in \X_{h}} \left[ (1 + \kappa^2h^{-2})\norm{\til \bv^\nu}^2 + h^{-2}\norm{\bq^\nu}^2 \right] \\
\stackrela{\eqref{maintheodecompoineq}}{\leq} c ((1 + \kappa^2 h^{-2}) \norm{\til \bv}^2 + h^{-2}\norm{\bq}^2) \\
\stackrela{\eqref{helpmaintheoprop}}{\leq} c ( \norm{\bv}^2 + \norma{\bv}^2 + \norm{\bv}^2)\\
& \leq c \norma{\bv}^2.\qedhere
\sum_{\nu\in \X_{h}} \norma{\bv^\nu}^2
\stackrela{\text{Lemma~\ref{helmholtOrthogonal}}}{=}
\sum_{\nu\in \X_{h}} \left(\norma{\til \bv^\nu}^2 + \norm{\curlv \bq^\nu}^2 \right) \\
%
\stackrela{\text{Lemma~\ref{inversIneq}}}{\leq}
c \sum_{\nu\in \X_{h}} \left[ (1 + \kappa^2h^{-2})\norm{\til \bv^\nu}^2 + h^{-2}\norm{\bq^\nu}^2 \right] \\
\stackrela{\eqref{maintheodecompoineq}}{\leq}
c ((1 + \kappa^2 h^{-2}) \norm{\til \bv}^2 + h^{-2}\norm{\bq}^2) \\
%
\stackrela{\eqref{helpmaintheoprop}}{\leq}
c ( \norm{\bv}^2 + \norma{\bv}^2 + \norm{\bv}^2)\\
%
& \leq
c \norma{\bv}^2.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\emph{Bemerkung:}
Der Beweis kann für Facetten nicht angewandt werden, da nach Satz~\ref{chExSeqZerlegung} keine Zerlegung von $\bQ_{h}$ über die Facetten des Gitters existiert .
Damit haben wir gezeigt, dass die Zerlegung über die Ecken bzw. Kanten eines Gitters die Bedingungen für die Konvergenz von Mehrgittermethoden erfüllen.
\section{Interpolationsoperatoren für Raviart--Thomas- und Nédélec-Elemente}
......
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